第六章 平面向量及其應用客觀題題型全覆蓋類型對應典例與向量概念有關的問題典例一平面向量的線性運算典例二平面向量的坐標運算典例三平面向量的數(shù)列積典例四與平面向量有關的最值問題典例五典例一：向量相關的概念問題1．給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若，都是單位向量，則；③若，則或；則所有正確命題的號是（    ）A．③ B．① C．①③ D．①②【答案】B【詳解】零向量的長度為零，方向是任意的，故①正確單位向量是指長度為1的向量，兩個單位向量不一定相等，故②錯誤兩個向量長度相等，推不出這兩個向量相等或者是相反向量，故③錯誤故選：B2．已知非零向量與共線，下列說法不正確的是（ ）A．或 B．與平行C．與方向相同或相反 D．存在實數(shù)，使得【答案】A【詳解】非零向量與共線，對于，，，故錯誤；對于，向量與共線，向量與平行，故正確；對于，向量與共線，與方向相同或相反，故正確；對于，與共線，存在實數(shù)，使得，故正確.故選：A.3．下列結論中，正確的是（    ）A．若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合B．若向量與都是單位向量，則C．若向量與是平行向量，則與的方向相同D．若兩個向量相等，則它們的模相等【答案】D【詳解】A．兩個向量相等，則兩個向量可以平移至起點和終點重合，但兩個向量不一定起點和終點重合，故錯誤；B．單位向量的模長都相等，但是方向不一定相同，故錯誤；C．若兩個向量是平行向量，則這兩個向量的方向也可以相反，故錯誤；D．相等向量的模長相等，方向相同，故正確，故選：D.4．下列關于向量的命題正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【詳解】選項A，向量的長度相等，方向不一定相同，從而得不出，即該選項錯誤；選項B，長度相等,向量可能不平行，該選項錯誤；選項C，顯然可得出，該選項正確；選項D，得不出，比如不共線，且，該選項錯誤.故選：C.（多選）5．已知是三個平面向量，則下列敘述錯誤的是（    ）A．若，則B．若，且，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【詳解】A，若，可取，，則，故A錯誤；B，若，且，當， 時，則與不一定相等，故B錯誤；C，若，當時，與不一定平行，故C錯誤；D，若，則，所以，，故，故D正確.故選：ABC（多選）6.關于平面向量，有下列四個命題，其中說法正確的是（    ）A．若，則B．，若與平行，則C．非零向量和滿足，則與的夾角為D．點，與向量同方向的單位向量為【答案】BCD【詳解】對于A，若且，可滿足條件，但，故A不正確；對于B，由條件，若這兩向量平行，有，解得，故B正確；對于C，由條件可知，以向量和為邊對應的四邊形為一個角是的菱形，則與的夾角為，故C正確；對于D，可得，因此與同方向的單位向量為，故D正確.故選：BCD.典例二、平面向量的線性運算1．在平行四邊形中，（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為四邊形為平行四邊形，所以,所以，故選：D2．已知，是兩個不共線的非零向量，若，則實數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以存在，使得，所以，又因為是兩個不共線的非零向量，所以，解得故選：A3．設，是兩個不共線的平面向量，若，，且與共線，則實數(shù)的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由與共線，即，所以有=，所以，消去可得，則．故選：C．4．已知平面向量，，滿足，設向量，向量，則（    ）A． B．2 C． D．【答案】D【詳解】，故選：D5．若點是所在平面內的一點，滿足，則（    ）A． B．4 C． D．3【答案】C【詳解】，，得．故選：C．6．如圖，在等邊中，，向量在向量上的 投影向量為（    ）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題知D點是BC的四等分點，設三角形邊長為a，則，，，則向量在向量上的投影向量為：，故選：D7．如圖，在平行四邊形中，，若，則（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【詳解】,又∵，不共線 ，根據(jù)平面向量基本定理可得,∴,故選：D.8 ．設點在內部，且有，點是邊的中點，設與的面積分別為，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，所以設為的中點，由為的中點.則,所以,則三點共線，且,如圖.所以,則點到的距離是點到的距離的倍.所以故選：C9．是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則點的軌跡一定經(jīng)過的（    ）A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心【答案】B【詳解】因為分別表示向量方向上的單位向量，所以的方向與的角平分線一致，又因為，所以，所以向量的方向與的角平分線一致所以點的軌跡一定經(jīng)過的內心．故選：B．（多選）10．設點M是所在平面內一點則下列說法正確的是（    ）A．若點M是邊的中點，則B．若，則點M在邊的延長線上C．若點M是的重心，則D．若且，則的面積是的面積的【答案】ACD【詳解】對于A選項：因為點M是邊的中點，由向量的加減法運算得：則整理得：，故A選項正確；對于B選項：因為所以即,所以點M在邊的延長線上，故B選項錯誤；對于C選項：點M是的重心，所以,故C選項正確；對于D選項：因為且，所以，整理得,如圖取AC，AB三等分點靠近A點，則,所以，故的面積是的面積的，故D選項正確.故選：ACD.典例三：平面向量的坐標運算（多選）1．已知向量，，則下列說法正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若與的夾角為120°，則或D．若與的夾角為銳角，則【答案】AB【詳解】由，得，故A正確；由，得，故B正確；當與的夾角為120°時，，即，解得或.代入驗證為增根，則舍去，故，故C錯誤；當與的夾角為銳角時，有，則解得且，故D錯誤；故選：AB.2．已知，，，，則銳角x等于（    ）A． B． C．或 D．或【答案】D【詳解】.解，，，或，，或.故選：D．3．如圖，半徑為1的扇形的圓心角為，點C在弧上，且，若，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【詳解】如圖所示，以O為原點，OB為x軸，建立直角坐標系，，，即，，，即，又，，，解得，，故選：B4．在三角形中，為線段上的動點，若，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意得點為線段三等分點靠近點的點，點為線段三等分點靠近點的點，所以，，所以，所以.故選：B.5．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E為CD的中點，則的值為（    ）A．1 B． C．5 D．【答案】A【詳解】解：以所在直線為軸，以為原點，如圖建立坐標系，則，則，所以，，則.故選:A6．已知向量，，，則的最小值為（    ）A．B．C．D．【答案】D【詳解】因為向量，，所以，因此，當且僅當時，取得最小值.故選：D.（多選）7.已知平面向量，，都是單位向量，且，則的值可能為（    ）A．0 B．1 C．-1 D．2【答案】ABD【詳解】因為平面向量，，都是單位向量，且，所以不妨設，，，則，因為，所以，當時，取最大值為，當時，取最小值為，故選:ABD.（多選）8．已知等腰中，P為內部及邊上的點，則的值可能是（    ）A． B． C．24 D．16【答案】ACD【詳解】如圖，以為軸，的中垂線為軸建立如圖所示的直角坐標系，顯然在軸上，由，得，設，則，，因為為內部及邊上的點，所以時，取得最小值，時，取得最大值24（內部及邊上到點距離最大），故選：ACD．典例四：平面向量的數(shù)量積（多選）1．已知m，n是實數(shù)，為向量，則下列運算中正確的有（    ）A． B．若，則C． D．【答案】AD【詳解】A選項：，滿足向量的運算法則，所以A正確；B選項：當時，，但是，不一定相等，所以B不正確；C選項：表示與共線的向量，表示與共線的向量，所以兩個向量不一定相等，所以C不正確；D選項：，滿足向量的數(shù)量積的運算法則，所以D正確.故選：AD2．已知向量滿足，且，向量與與的夾角都是，則與的夾角為（    ）A．0 B． C． D．【答案】C【詳解】設與的夾角為θ，,得，解得.故選：C.3．已知，若向量，，則向量與所成的角為銳角的概率是（    ）A． B．C． D．【答案】B【詳解】向量與所成的角為銳角等價于，且與不同向，則，則滿足的向量有，，，，，，其中或時，與同向，故舍去，共有4種情況滿足條件，又的取法共有種，則向量與所成的角為銳角的概率是故選：B4．已知向量，，，則向量與的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得，所以，，因為，因此，.故選：C.5．已知滿足則與夾角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，向量滿足，可得，所以，又由，所以，設向量與夾角為，則.故選：A.6．已知向量、滿足，，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，可得，因為，因此，.故選：D.7．己知非零平面向量滿足，則的最小值是（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【詳解】依題意，，，，當時，上述最后等式不成立，從而有，，當且僅當時取“=”，又，當且僅當與同方向時取“=”，則有，解得，當且僅當=時取“=”，所以的最小值是4.故選：A（多選）8.已知O為的外心，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】由題知：，，則，故A錯誤；同理，；，故B正確；，，C正確；，則，由外心的性質有，，，則，即 ，由正弦定理有：，D正確；故選：BCD.9．已知向量，，且對任意，恒成立，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由得，即對任意恒成立，所以，，所以，所以A錯誤；由得，由，所以B錯誤；由，得，所以C正確；由，所以D錯誤.故選：C.10．如圖，在中，，點P為邊上的一動點，則最小值為（    ） A． B． C． D．0【答案】A【詳解】由題意，設，，，所以，，又，，所以，當時，是最小值，所以的最小值是．故選：A典例五：與平面向量有關的最值問題1．已知平面向量、滿足，，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知可得，，由三角不等式可得，即，故選：C.2．已知A、B、C三點共線（該直線不過原點O），且，則的最小值為（    ）A．10 B．9 C．8 D．4【答案】C【詳解】因為A、B、C三點共線（該直線不過原點O），且，所以當且僅當，即時等號成立．故選：C3．已知的外心為，角的對邊為，則的值是（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【詳解】取BC中點D，連接OD，AD，如圖所示：因為O為的外心，所以OD為BC的垂直平分線，所以，即，所以，又，同理，根據(jù)題意得：，所以，所以.故選：D4．如圖，在等腰△中，已知分別是邊的點，且，其中且，若線段的中點分別為，則的最小值是（    ）A． B．C． D．【答案】C【詳解】在等腰△中，，則，∵分別是邊的點，∴，，而，∴兩邊平方得：，而，∴，又，即，∴當時，最小值為，即的最小值為.故選：C5．半徑為的圓上有三點??滿足，點是圓內一點，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，與交于點，由得： 四邊形是菱形，且，則，，由圖知，，而，∴，同理，，而，∴，∴，∵點是圓內一點，則，∴，故選：A.6．已知、、是直線上三個相異的點，平面內的點，若正實數(shù)、滿足，則的最小值為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】∵，∴，由于、、是直線上三個相異的點，所以，又，，由基本不等式得，當且僅當時取等號．故選：B．7．如圖，在平面四邊形ABCD中，，若點E為邊CD上的動點，則的最小值為（ ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】連接BD,可知為等腰三角形，而，
 所以為等邊三角形，，設 =所以當時，上式取最小值 ，故選：A.8．在邊長為1的菱形中，，若點，滿足，，其中且，則的最大值為（    ）A． B．3 C． D．【答案】C【詳解】由題意可得由可得，由可得，又，所以則，當且僅當，即時取等號，此時故選：C.（多選）9．如圖，點是直線上的動點，點在直線外，點在直線上，則（    ）A．有最小值B．有最大值C．D．直線上有且只有一點(不同于點)，使得【答案】ACD【詳解】，為定點，則為定值，，為定值，設為，則，這是關于的二次函數(shù)，由二次函數(shù)性質知它有最小值，無最大值，A正確B錯誤；，由圖可知，所以，即，C正確；若，則，，，記與的夾角為，則，不重合，則，所以，，即與夾角為鈍角，這樣的點只有一個，D正確．故選：ACD．  

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