第六章平面向量及其應用（解三角形解答題題型全覆蓋）- 學年高一數(shù)學下學期期末備考專題全攻略（人教A版2019）學案-學案下載-教習網(wǎng)

解三角形解答題題型全覆蓋類型對應典例正、余弦定理的基本應用典例一與角平分線、中線有關的問題典例二結構不良問題典例三最值范圍問題典例四例一：正、余弦定理的基本應用1．在平面四邊形中，，，.（1）若△的面積為，求；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）在△中，，，∴，可得，在△中，由余弦定理得，.（2）設，則，在中，，易知：，在△中，，由正弦定理得，即，，可得，即.2．在中，分別為角的對邊，且．（1）求角B；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【詳解】解：（1）因為，由正弦定理可得，因為，所以，所以，即，所以，所以；（2）由余弦定理可得，將及代入上式得，，整理得，即，所以或，因為，所以，所以，所以3．中，角的對邊分別為，（1）若為銳角三角形，其面積為，求a的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因為且，所以且，所以，又因為為銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以；（2）因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以.4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a且（1）求角C的大小；（2）若，c=1，求△ABC的面積.【答案】（1）；（2）或.【詳解】（1）因為，在中，，即，所以，所以，可得，所以，即，所以，因為，所以.（2）由正弦定理可得，因為，所以，因為且，所以或，所以或，當時，；當時，.5．已知、、分別為三個內(nèi)角、、的對邊，，且，.（1）求角的大?。?/span>（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，即，可得，，則，所以，，即，即，，則，故，因此，；（2）因為，由正弦定理可得，即，所以，，因為，由余弦定理可得，則，因此，. 例二：與角平分線，中線有關的問題1．已知的內(nèi)角的對應邊分別為，且有．（1）求；（2）設是的內(nèi)角平分線，邊，的長度是方程的兩根，求線段的長度．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由正弦定理得：，即，又，，又，，，，又，；（2）為方程的兩根，，，由（1）知：，，，，即，解得：.2．在中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，面積是面積的3倍.（1）求；（2）若AD=2，DC=1，求BD和AC的長.【答案】（1）；（2）BD=2，.【詳解】（1）由面積是面積的2倍，得，而∠BAD=∠CAD，所以AB=2AC，由正弦定理，得（2）由，得BD=2DC，所以BD=2.又因為AD=2，DC=1，在和中，由余弦定理得，所以有，結合（1）知AB=2AC，解得.3．在中，、、分別為內(nèi)角、、的對邊，已知，且邊上的中線長為．（1）證明：；（2）求面積的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1），由余弦定理可得，則，故；（2）設邊的中點為點，則，所以，，所以，，故，由余弦定理可得，兩式相加得，故，可得，所以，設邊上的高為，則，故，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，面積的最大值為.4．在中，線段是的角平分線，且（1）求.（2）若求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】解（1）平分（2）如圖，過點作交于點，并延長交于點，顯然在中，在中，由正弦定理得即，所以所以所以所以又例三：結構不良1．從條件①，②中任選一個，補充到下面的問題中并作答.問題：在中，角，，的對邊分別為，，，且，，求邊.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【詳解】選條件①時，，所以，故．．故，所以．選條件②時，由于，，利用正弦定理，故．由于，所以，由于，所以，所以，解得，由于，故，所以，故，由正弦定理得：．2．從①；②的面積；③的周長為，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，且______．求及邊上的中線的長．【答案】答案見解析.【詳解】若選①，則，又，所以有．∵，∴，∴，由A為三角形中的角得：，所以，∴，∴由如右圖所示，令邊上中線長為，則：．∴．若選②的面積，則．∵∴，∴由A為三角形中的角得：∴，，∴余下同（1）可求得邊上中線長為．若選③的周長為，則．，∵，∴，∴由A為三角形中的角得：∴，∴，余下同（1）可求得邊上中線長為．3．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知，且滿足_______，試判斷的形狀，并寫出推理過程．【答案】條件選擇見解析，為等邊三角形，理由見解析.【詳解】因為，由正弦定理可得，即，所以，，則，可得.選①：，由正弦定理可得，，則，故，故，，則，故，則，可得，得，所以，為等邊三角形；選②：且，由正弦定理可得，，則，則，，則，故，所以，，則，得，所以，為等邊三角形；選③：，由正弦定理可得，，則，故，即，整理可得，，則，所以，為等邊三角形.4．如圖四邊形中，，，，、， .（1）求；（2）求面積的最大值.從①且為銳角；②；③這三個條件中任選一個補充在上面的問題中并作答【答案】（1）條件選擇見解析，；（2）.【詳解】（1）選①，，是銳角，，由余弦定理可得，則，，則是四邊形的外接圓直徑，是的外接圓直徑，；選 ②：，，，由余弦定理可得，則，，則是四邊形的外接圓直徑，是的外接圓直徑，；選③：，由余弦定理可得，，，，則是四邊形的外接圓直徑，是的外接圓直徑，；（2）由（1），，在中，由余弦定理可得，所以，，當且僅當時，等號成立.因此，. 例四、最值范圍問題1、在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，．（1）求角的大?。?/span>（2）若，求周長的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）解法一因為，所以由正弦定理可得．又，所以，所以．因為，所以，所以，又，所以．解法二因為，所以由余弦定理可得，整理得，即，因為，所以，所以，又，所以．（2）因為，，所以由正弦定理得，則，，故的周長．易知，所以，因為在時單調遞增，在時單調遞減，所以，則，所以，故周長的取值范圍為．2．在銳角中，角、、的對邊分別為、、，若，．（1）求角的大小和邊長的值；（2）求面積的最大值．【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）因為，所以，，因為角是銳角，所以，因為，所以由正弦定理與余弦定理易知，，整理得，解得.（2）因為，所以，，因為，，，所以，則，因為，所以，則，，故，面積的最大值為.3．的內(nèi)角??的對邊分別為??，.（1）求；（2）若，求周長最大時，的面積.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴，，.（2）∵，據(jù)（1）可得，∴，∴，∴，∴，當且僅當時等號成立，即當時，取得最大值，即周長取得最大值，此時.4．在中，角所對的邊分別為，且（1）求角B的大??；（2）若為銳角三角形，其外接圓的半徑為2，求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因為，所以，所以，因為，所以；（2）因為為銳角三角形，所以，則，即，解得，又因為其外接圓的半徑為2，所以，所以，，，，，因為，所以，所以，所以面積的取值范圍是．5．在①；②，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．在中，內(nèi)角的對邊分別為．已知__________．（1）求角A；（2）設的面積為S，若，求面積S的最大值．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）選①，由得，又，所以，，，，，所以，又，所以；選②，由得，即，所以，又，所以；（2），由得，所以，又，，所以，，所以，即時，．6．隨著人們生活水平的不斷提高，人們對餐飲服務行業(yè)的要求也越來越高，由于工作繁忙無法抽出時間來享受美食，這樣網(wǎng)上外賣訂餐應運而生.現(xiàn)有美團外賣送餐員小李在A地接到兩份外賣單，他須分別到B地?D地取餐，再將兩份外賣一起送到C地，運餐過程不返回A地.A，B，C，D各地的示意圖如圖所示，，，，，，假設小李到達B?D兩地時都可以馬上取餐(取餐時間忽略不計)，送餐過程一路暢通.若小李送餐騎行的平均速度為每小時20千米，請你幫小李設計出所有送餐路徑(如：)，并計算各種送餐路徑的路程，然后選擇一條最快送達的送餐路徑，并計算出最短送餐時間為多少分鐘.(各數(shù)值保留3位小數(shù))(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】答案見解析【詳解】解：在中，由正弦定理可知：，即：，解得：，由，即：，解得：，(由余弦定理可得，解得或者，)在中，由余弦定理可知：即，解得或(舍)；①若送餐路徑為：，則總路程=②若送餐路徑為：，則總路程=③若送餐路徑為：，則總路程=④若送餐路徑為：，則總路程=所以最短送餐路徑為，此路徑的送餐時間為：(分鐘).

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