解三角形選擇題題型全覆蓋類型對(duì)應(yīng)典例基本公式的應(yīng)用典例一圖形結(jié)合問(wèn)題典例二實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題典例三最值范圍問(wèn)題典例四例一、基本公式的應(yīng)用1．已知在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，，，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由得：，在中，由余弦定理得：，即，解得：.故選：B.2．在中，若，，，則邊（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，則，即，解得，故選：A.3．在中，“”是“”的（    ）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要【答案】C【詳解】∵中，由正弦定理，∴當(dāng)必有，根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角知：；當(dāng)時(shí)，在三角形中由，有或 成立，即；∴“”是“”的充要條件.故選：C4．在△中，內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，則的值等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∴∴，∴∴.故選：A.5．若的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，則B的解的個(gè)數(shù)是（    ）A．2 B．1 C．0 D．不確定【答案】A【詳解】由正弦定理知，，即 ，解得，又，由三角函數(shù)性質(zhì)知角B由兩個(gè)解，當(dāng)角B為銳角時(shí)，滿足，即存在；當(dāng)角B為鈍角時(shí)，，，則滿足，即存在；故有兩個(gè)解.故選：A6．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知．則的值為（    ）A． B．2 C． D．【答案】B【詳解】∵，∴由余弦定理可得：，所以，又．∴．∴，∴，．∴．∵，∴．∴．故選：B.7．已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若其三邊與三角滿足關(guān)系式，則的形狀是（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【詳解】由題當(dāng)，三角形為直角三角形當(dāng)，則，又，則三角形為等腰三角形故選：D8．中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，且，所以，所以，所以，所以，故選：A.9．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則為銳角三角形B．若為銳角三角形，有，則C．若，則符合條件的有兩個(gè)D．若，則為等腰三角形【答案】B【詳解】對(duì)于A，若，則，A為銳角，不能判定為銳角三角形，故錯(cuò)；
對(duì)于B，若為銳角三角形，有，則，∴,故正確；
對(duì)于C，知道兩邊一夾角，符合條件的三角形有且只有一個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，
，或即，
為等腰或直角三角形，故不正確．
故選：B．（多選）10.在中，角的對(duì)邊分別為，且，下列四個(gè)命題中正確的是（    ）A．為直角三角形 B．的面積為C． D．的周長(zhǎng)為【答案】ABD【詳解】由，根據(jù)正弦定理可得 由，則 由正弦定理可得,再由余弦定理可得即，即得 所以 所以，所以是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形, 所以選項(xiàng)A正確.所以角為銳角，故選項(xiàng)C不正確.所以的面積為 ，故選項(xiàng)B正確.所以的周長(zhǎng)為： ，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD（多選）11．在中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，有如下判斷，其中正確的判斷是（    ）A．若，則為直角三角形B．若，則C．若，則符合條件的是有兩個(gè)D．若，則是鈍角三角形【答案】BD【詳解】A．因?yàn)?/span>，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故錯(cuò)誤；B．因?yàn)?/span>，所以（為外接圓半徑），所以，由“大邊對(duì)大角”可知，故正確；C．因?yàn)?/span>，所以沒(méi)有符合條件的三角形，故錯(cuò)誤；D．因?yàn)?/span>，所以，所以，所以為鈍角，所以是鈍角三角形，故正確；故選：BD.（多選）12．下列命題中是真命題的有（    ）A．存在，，使B．在中，若，則是等腰三角形C．在中，“”是“”的充要條件D．在中，若，則的值為或【答案】AC【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，正確；對(duì)于B，由可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，錯(cuò)誤；對(duì)于C，(其中是外接圓的半徑)，正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，，所以.因?yàn)?/span>，所以由正弦定理得，從而.又因?yàn)?/span>，所以，從而，錯(cuò)誤；故選：AC.（多選）13．在中，下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若是銳角三角形，則B．若，則C．不存在滿足D．若，則【答案】BCD【詳解】對(duì)A，由是銳角三角形，所以，則，所以，即，故A錯(cuò)；對(duì)B，由，則，故，所以B正確；對(duì)C，在中，由，則，故，則，所以C正確對(duì)D，由，所以，則，又，所以，故D正確故選：BCD（多選）14．對(duì)于，有如下判斷，其中正確的判斷是（    ）A．若，是鈍角三角形B．若，則C．若，則符合條件的有兩個(gè)D．在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積【答案】ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由正弦定理可得，所以，因此是鈍角，故是鈍角三角形. 故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)樵?/span>中，，，所以，又，所以. 故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由正弦定理，矛盾，因此，符合條件的不存在. 故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：在三角形中，① 如果已知兩邊及夾角，顯然可以直接用三角形面積公式求出三角形面積；② 如果已知兩邊及其一邊的對(duì)角，可以先用余弦定理求出第三邊，然后再用面積公式求出三角形面積. 故D正確.故選：ABD.（多選）15．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，下列說(shuō)法中正確的是（    ）A．是的充要條件B．若，則為鈍角三角形C．若為銳角三角形，則D．三角形的面積公式為【答案】ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)樵?/span>中，，，所以，又，所以，即是的充要條件，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由得，因此是銳角，但是不能得出是鈍角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若是銳角三角形，則，因此，由是銳角可知也是銳角，又是銳角，所以，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由正弦定理知，所以的面積，故D正確.故選：ACD.（多選）16．在中，角A，B，C所對(duì)的邊外別為a，b，c，下列說(shuō)法中正確的是（    ）A．若，則B．若，則為等腰三角形C．D．若，則為鈍角三角形【答案】ACD【詳解】由可知，再根據(jù)正弦定理可得，所以，故A正確；由及正弦定理可知，即，又所以或，可知為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；由正弦定理知，，故C正確；因?yàn)?/span> ，又，故中有且只有一個(gè)角為鈍角，故D正確.故選：ACD 例二、圖形結(jié)合問(wèn)題1．無(wú)字證明來(lái)源于《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明.現(xiàn)有如圖所示，其中?為邊上異于端點(diǎn)的兩點(diǎn)，，，且是邊長(zhǎng)為的正三角形，則下列不等式一定成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由圖可知，在和中分別由余弦定理可得：，，所以.故選：D2．已知在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，是的平分線，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【詳解】在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，，，，.故選：B.3．在平面四邊形中，，若的取值范圍是，則的長(zhǎng)為（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【詳解】設(shè)，如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，平移，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，，所以，以上兩式相乘得，.故選：D4．如圖，在直角三角形中，，，D為邊上一點(diǎn)，已知且，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，，在中，，，則，由正弦定理可得：，即，所以.故選：C.5．如圖所示，在四邊形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD為∠ABC的平分線，則BD=（    ）A．6 B．9 C．7 D．8【答案】D【詳解】由正弦定理得，由，可得，，所以四點(diǎn)共圓，，由余弦定理．故選：D.（多選）6．已知a，b，c分別為的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，，且邊與角滿足關(guān)系式，若有唯一解，則a可以?。?/span>    ）A． B．8 C．7 D．【答案】ABD【詳解】由，根據(jù)正弦定理可得右邊： 左邊：所以即，由 則所以，即所以，由則所以，則由，有唯一解.如圖以點(diǎn)為圓心，邊為半徑作圓弧，若圓弧與邊相切，則滿足條件的三角形唯一,此時(shí) 若，則以點(diǎn)為圓心，邊為半徑作圓弧，如圖，滿足條件的三角形唯一,故或故滿足條件的有A，B，D故選:：ABD7．如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，記為的面積，為的面積，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，因?yàn)?/span>，，所以.令，則.令，得，可得，即，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：C. 例三、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題1．杭師大附中天文臺(tái)是學(xué)校圖書(shū)館處的標(biāo)志性建筑．小金同學(xué)為了測(cè)量天文臺(tái)的高度，選擇附近學(xué)校宿舍樓三樓一陽(yáng)臺(tái)，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B、M、D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A、天文臺(tái)頂C的仰角分別是和，在陽(yáng)臺(tái)A處測(cè)得天文臺(tái)頂C的仰角為，假設(shè)和點(diǎn)M在同一平面內(nèi)，則小金可測(cè)得學(xué)校天文臺(tái)的高度為（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，，，即，∴△中，，則，而，∵在△中，米.故選：C2．說(shuō)起延安革命紀(jì)念地景區(qū)，可謂是家喻戶曉，它由寶塔山、棗園革命舊址、楊家?guī)X革命舊址、中共中央西北局舊址、延安革命紀(jì)念館組成.尤其寶塔山，它可是圣地延安的標(biāo)志，也是中國(guó)革命的搖籃，見(jiàn)證了中國(guó)革命的進(jìn)程，在中國(guó)老百姓的心中具有重要地位.如圖，寶塔山的坡度比為（坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比），在山坡處測(cè)得，從處沿山坡往上前進(jìn)到達(dá)處，在山坡處測(cè)得，則寶塔的高為（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題可知，，則，，設(shè)坡角為，則由題可得，則可求得，在中，，由正弦定理可得，即，解得，故寶塔的高為44m.故選：A.3．魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（    ）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【詳解】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.4．設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，為測(cè)量A，B兩點(diǎn)間的距離，小明同學(xué)在A的同側(cè)選定一點(diǎn)C，測(cè)出A，C兩點(diǎn)間的距離為80米，，請(qǐng)你幫小明同學(xué)計(jì)算出A，B兩點(diǎn)間的距離，距離為（    ）米．
 A． B．C． D．【答案】B【詳解】由正弦定理可知，故選：B5．為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在沿岸相距的兩點(diǎn)處分別測(cè)得，，則間的距離為（    ）A． B．2 C． D．4【答案】B【詳解】在中，，即，，和中，，是等邊三角形，，在中，，所以，．故（多選）6．如圖，某校測(cè)繪興趣小組為測(cè)量河對(duì)岸直塔(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)C與D(B，C，D不在同一直線上)，測(cè)得.測(cè)繪興趣小組利用測(cè)角儀可測(cè)得的角有：，則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù)可計(jì)算出塔的高度的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】解一個(gè)三角形，需要知道三個(gè)條件，且至少一個(gè)為邊長(zhǎng). A. 在中，已知，可以解這個(gè)三角形得到，再利用、解直角得到的值；B. 在中，已知無(wú)法解出此三角形，在中，已知無(wú)法解出此三角形，也無(wú)法通過(guò)其它三角形求出它的其它幾何元素，所以它不能計(jì)算出塔的高度；C. 在中，已知，可以解得到,再利用、解直角得到的值；D. 如圖，過(guò)點(diǎn)作,連接.由于,所以，所以可以求出的大小，在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值.故選：ACD7．明末鄧玉函以畢的斯克斯1612年版《三角法》為底本，并采用斯蒂文著作《數(shù)學(xué)記錄》中部分內(nèi)容，編譯出中國(guó)第一部三角學(xué)著作《大測(cè)》，將歐洲當(dāng)時(shí)最新、最重要的三角學(xué)成果介紹到中國(guó)，對(duì)中國(guó)三角學(xué)影響極大．在《大測(cè)》中提及割圖八線，即對(duì)一個(gè)角而言的八個(gè)三角函數(shù)，因其可用第一象限單位圓中八條線長(zhǎng)（如圖中，，，，，，，）表示而得名．若圖中，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，，所以.所以．在中，由正弦定理及，得.所以，由余弦定理知.即，解得或（舍去）.所以.故選C．選：B 例四、最值、范圍問(wèn)題1．在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?/span>，由正弦定理可知， ，又，所以所以，所以即，又是銳角所以，即，所以，解得，所以，所以.故選：B.2．設(shè)銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由正弦定理得.因?yàn)?/span>為銳角三角形，所以即所以，所以，所以的取值范圍是.故選：A.3．在中，，平分交于，且，則的面積的最小值為（    ）A．3 B． C．4 D．【答案】B【詳解】因?yàn)?/span>的面積等于與的面積之和，所以，又因?yàn)?/span>，，代入得，又因?yàn)?/span>，所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以的面積的最小值為．故選B．4．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足，若能蓋住的最大圓面積為，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】中，，即，而，則，因能蓋住的最大圓面積為，即內(nèi)切圓面積為，其半徑為r=1，由三角形面積計(jì)算知，即，由余弦定理得，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”，顯然，從而得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為6.故選：B5．在中，，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)，則當(dāng)k取最大值時(shí)，（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，且，所以，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，，所以，即，即，所以，令，得，下面采用基本不等式和導(dǎo)數(shù)兩種方法求解：方法一：利用基本不等式求解：，要使最大，需最大，當(dāng)取最大值時(shí)，必有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以時(shí)，有最大值，的最大值為，此時(shí)，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.下面采用導(dǎo)數(shù)的方法求解：求導(dǎo)得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.故選：B.

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