?第八章 立體幾何初步
客觀題題型全覆蓋

類型
對應(yīng)典例
空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
典例一
空間中直線、平面的位置關(guān)系
典例二
異面直線的夾角
典例三
線面角
典例四
二面角
典例五
點(diǎn)到平面的距離
典例六
與球有關(guān)的問題
典例七
典例一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
1．如圖，邊長為1的正方形是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則平面圖形以為軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體的體積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由題意可得，，，
由直觀圖畫出原平面圖形如下：

因此，將以為軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是以為底面圓半徑，以為高的圓錐；將以為軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是以為底面圓半徑，以為高的圓柱挖去一個同底等高的圓錐；
因此將平面圖形以為軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體的體積為.
故選：C.
2．祖暅(公元5-6世紀(jì)，祖沖之之子，是我國齊梁時代的數(shù)學(xué)家).他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異.”這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體如圖將底面直徑皆為，高皆為的橢半球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面上，用平行于平面的平面于距平面任意高處截得到及兩截面，可以證明總成立據(jù)此，短軸長為，長軸為的橢球體的體積是（ ）.

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，因為總成立，
所以半橢球體的體積為，
由題意可知，，，
所以半橢球體的體積為，
從而橢球體的體積是.
故選：C.
3．鼎是古代烹煮用的器物，它是我國青銅文化的代表，在古代被視為立國之器，是國家和權(quán)力的象征.圖①是一種方鼎，圖②是根據(jù)圖①繪制的方鼎簡易直觀圖，圖中四棱臺是鼎中盛烹煮物的部分，四邊形是矩形，其中，，，點(diǎn)到平面的距離為，則這個方鼎一次最多能容納的食物體積為（ ）
（假定烹煮的食物全在四棱臺內(nèi)）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】幾何體為四棱臺，所以延長必交于一點(diǎn)，記為O，
且四棱錐相似于，所以.過點(diǎn)作OH⊥面于H，
作OG⊥面于G，則,又，解得：OG=,OH=，
四棱臺的體積.
故選：D
4．如圖，長方體中，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，，分別為線段和棱上任意一點(diǎn)，則的最小值為（ ）

A． B．5 C． D．2
【答案】B
【詳解】取中點(diǎn)，過作面，如圖：

則，故，
而對固定的點(diǎn)，當(dāng)時，最小.
此時由面，可知，
∴，,
故.
故選：B.
5．2020年12月4日，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)宣布該校潘建偉教授等人成功構(gòu)建76個光子的量子計算原型機(jī)“九章”（命名為“九章”是為了紀(jì)念中國古代最早的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》），求解數(shù)學(xué)算法高斯玻色取樣只需200秒，而目前世界最快的超級計算機(jī)要用6億年，這一突破使我國成為全球第二個實現(xiàn)“量子優(yōu)越性”的國家．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”有如下的問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上衰二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”意思為：“今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體（如圖）”，下底面寬丈，長丈，上棱丈，與平面平行．與平面的距離為1丈，則它的體積是（ ）

A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．8立方丈
【答案】B
【詳解】如圖，過點(diǎn)作平面，垂足為，過點(diǎn)作平面，垂足為，
過作，交于，交于，過作，交于，交于，
所以，，且四邊形與四邊形都是矩形；
所以它的體積



（立方丈）
故選：B


（多選）6．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，將分別繞邊，，所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體的體積分別記為，，，側(cè)面積分別記為，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【詳解】
將繞邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，其底面半徑是，母線長為，高為. 所以其體積，其側(cè)面積；

將繞邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，其底面半徑是，母線長為，高為. 所以其體積，其側(cè)面積；

將繞邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是兩個底面重合的圓錐，其底面半徑是，母線長分別為和，高之和為. 所以其體積，其側(cè)面積.

對于選項A，

故A正確；
對于選項B，
，
故B正確；
對于選項C：
，故C正確；
對于選項D：
，而，
所以，故D錯誤.
故選：ABC.

典例二、空間中直線、平面的位置關(guān)系
1．已知空間中兩平面，直線，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】且，知：；而且，則與平面的關(guān)系可能有、、，
∴“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
2．如圖，在正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，則下列直線中與直線相交的是（ ）

A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
【答案】D
【詳解】通過圖像易知：
直線、直線、直線與直線不在同一平面內(nèi)，
直線與在同一平面內(nèi)且不平行，
故直線與相交，
故選：D.
3．設(shè)，，為不重合的平面，，為不重合的直線，則其中正確命題的序號為（ ）
①，，則
②，，，則
③，，，則
④，，，則
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D
【詳解】①中，，可以相交并垂直于，①錯誤
②中，直線可能不在平面內(nèi)，②錯誤
③中，垂直于互相垂直的兩條直線的兩個平面垂直，故③正確；
④中，兩個平面垂直于第三個平面，這兩個平面的交線也垂直于第三個平面，故④正確，
故選：D
4．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列判斷正確的是（ ）
A．若α⊥β，mα，nβ，則直線m與n一定平行
B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n可能相交?平行或異面
C．若m⊥α，nα，則直線m與n一定垂直
D．若mα，nβ，αβ，則直線m與n一定平行
【答案】C
【詳解】

如圖示，在正方體中
對于A：若α⊥β，mα，nβ，不妨取面ABCD為平面α，面ABA1B1為平面β，若取m為BC，n為A1B1，則直線m與n異面，故A錯誤；
對于B：若m⊥α，n⊥β，α⊥β，不妨取面ABCD為平面α，面ABA1B1為平面β，則直線m與n垂直，不可能平行，故B錯誤；
對于C：若m⊥α，nα，因為nα，過n作平面，則ln.因為m⊥α，所以m⊥l，又ln，所以m⊥n.故C正確；
對于D：若mα，nβ，αβ，不妨取面ABCD為平面α，面A1B1C1D1為平面β，則兩個平面內(nèi)的直線m與n可能平行，也可能異面.故D錯誤.
故選：C.
5．三棱柱中，點(diǎn)在上，且，若平面，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】如圖，連接，交于，連接，
平面，平面，平面平面，
，中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
，.
故選：A.

6．在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動時，有平面，則線段的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【詳解】取CD中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連接PQ、PN、QN，如圖所示：

因為P、N分別為CD、BC中點(diǎn)，
所以，
同理，P、Q分別為CD、中點(diǎn)，
所以，
又，平面PQN，，平面，
所以平面平面，
因為平面，
所以平面，又點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動，
所以點(diǎn)M在平面和平面的交線上，即，
在中，，，，
所以，
所以，

所以N點(diǎn)到PQ的最小距離.
所以線段的最小值為.
故選：B
7．已知棱長為1的正方體，是的中點(diǎn)，動點(diǎn)在正方體內(nèi)部或表面上，且平面，則動點(diǎn)的軌跡所形成區(qū)域的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】

如圖所示 E、F、G、M分別是、、、的中點(diǎn)，
則，，所以平面，平面，且，
所以平面 平面，故點(diǎn)P的軌跡為矩形.
，所以，所以.
故選：A
8．如圖，是正方體棱的中點(diǎn)，是棱上的動點(diǎn)，下列命題中：①若過的平面與直線垂直，則為的中點(diǎn)；②存在使得；③存在使得的主視圖和側(cè)視圖的面積相等；④四面體的體積為定值.其中正確的是（ ）

A．①②④ B．①③
C．③④ D．①③④
【答案】D
【詳解】
①當(dāng)為的中點(diǎn)，將平移至，則為的四等分點(diǎn)，即，過點(diǎn)作，設(shè)=4，則=4，=5，，

所以
所以在△中，，故
所以，
所以過的平面與直線垂直
②過作，易知為的中點(diǎn)，此時和相交，所以和異面，故②錯誤；
③當(dāng)為時，的主視圖和側(cè)視圖的面積相等，故③成立；
④因為,故面，故上任一點(diǎn)到平面距離相等，且的面積固定，故為定值的，故④正確；
故選：D.
8．如圖，在正方體，中，是棱的中點(diǎn)，是線段（不含端點(diǎn)）上的一個動點(diǎn)，那么在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，下列說法中正確的有（ ）

A．存在某一位置，使得直線和直線相交
B．存在某一位置，使得平面
C．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離總相等
D．三棱錐的體積不變
【答案】BCD
【詳解】
對于A，假設(shè)存在，則四點(diǎn)共面，而點(diǎn)不在平面內(nèi)，故A錯誤．
對于B，因為，所以平面，所以當(dāng)是直線與平面的交點(diǎn)時就滿足要求，故B正確．
對于C，因為的中點(diǎn)在平面內(nèi)，所以點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離總相等，故C正確．
對于D，連接，交于O，則O為中點(diǎn)，
所以，又平面，平面，
所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，
從而三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，故D正確．

故選：BCD
10．如圖，矩形中，已知為的中點(diǎn)．將沿著向上翻折至得到四棱錐．平面與平面所成銳二面角為，直線與平面所成角為，則下列說法錯誤的是（ ）

A．若為中點(diǎn)，則無論翻折到哪個位置都有平面平面
B．若為中點(diǎn)，則無論翻折到哪個位置都有平面
C．
D．存在某一翻折位置，使
【答案】C
【詳解】
若為中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則面，又面，所以平面平面，故A正確；
取中點(diǎn)，則，，又，
所以四邊形PECQ是平行四邊形，又平面，平面，所以平面，故B正確；
過作平面，則在上，所以平面與平面所成銳二面角為（或其補(bǔ)角），
，故C錯誤；
若，又，則，故D正確，
故選：C．



典例三、異面直線的夾角
1．如圖，為圓錐底面直徑，點(diǎn)是底面圓上異于的動點(diǎn)，已知，圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，當(dāng)與所成角為時，與所成角為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】

設(shè)圓錐母線長為，則，解得，
，與所成角，
， 中，
作與圓交于點(diǎn)，
連接，四邊形為平行四邊形，，
連接，則為與所成角，
中，可得，
，
故選：C.
2．在正方體中，，，分別為，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）


A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
連接，在正方體中，
由，分別為，的中點(diǎn)，則
所以，所以（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角
設(shè)正方體的棱長為2，則,

所以在中，
故選：B


3．已知直四棱柱中，底面為正方形，若直四棱柱的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，則當(dāng)該直四棱柱的側(cè)面積最大時，異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
連接BD，由題易知為直四棱柱外按球的直徑，設(shè)，，
則，所以，
則該直四棱柱的側(cè)面積為，
當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，連接，交于，易知，所以為異面直線與所成的角.因為，，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：D．

4．在長方體中，，，，過點(diǎn)作直線與直線及直線所成角均為70°，這樣的直線的條數(shù)為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【詳解】
，，
則
，
而，，
所以，，
所以直線和直線所成的角為，
設(shè)與直線平行的直線為，與直線平行的直線為，
將直線、直線和直線平移至點(diǎn)，
則當(dāng)三條直線在同一平面時，這樣的直線不存在；
若三條直線不在同一平面，,是的角平分線，在PD的上方有一條直線PE與所成的角為70°，同理也滿足題意.所以這樣的直線有四條．
故這樣的直線條數(shù)為4．
故選：A

5．已知長方體中，，，是上任意一點(diǎn)(不是端點(diǎn))，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
如圖所示，取中點(diǎn)，連接，，

∵是中點(diǎn)，且為正方形，
∴∥∥
則與所成角即為與所成角，設(shè)角度為
又∵AB⊥平面
∴⊥平面
又∵平面,
∴
∴
∵==3為定值，
∴要使最小，則最小，
當(dāng)最小時,需⊥
∵∠=∠
∴△∽△
∴
又∵
∴
此時
∴異面直線與所成角的正切值的最小值為.
故選：D.
6．如圖，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)(不含端點(diǎn))，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．平面
B．存在點(diǎn)使得
C．存在點(diǎn)使得異面直線與所成的角為60°
D．三棱錐的體積為定值
【答案】ABD
【詳解】
如圖，易證，平面，則有平面，故A正確；

設(shè)中點(diǎn)為，若為中點(diǎn)，則有，，，
則平面，則，
因為，所以，故B正確；
設(shè)正方體棱長為2，取中點(diǎn)為，連接，
因為，所以異面直線與所成的角即為，
在直角三角形中，，即，故C錯誤；
易知點(diǎn)到平面的距離為定值，則三棱錐的體積為定值，故D正確.
故選：ABD
7．在正方體中，M是棱的中點(diǎn)，P是底面ABCD內(nèi)(包括邊界)的一個動點(diǎn)，若平面，則異面直線MP與所成角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】如圖，以不軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，，
，，
所以，同理，
又平面，平面，所以平面，
同理平面，而，平面，
所以平面平面，
P是底面ABCD內(nèi)(包括邊界)的一個動點(diǎn)，若平面，則在線段上．
因為，所以與所成的角，就是與所成的銳角或直角．
是等邊三角形，與所平角最大為（為中點(diǎn)時），最小為（與或重合時），
所以所求角的范圍是．
故選：C．



典例四、線面角
1．已知正方體的體積為，點(diǎn)在面上，且，到的距離分別為2，，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【詳解】
如圖所示:

設(shè)正方體的邊長為，則，故，即，
∴，連接，，
∴，則點(diǎn)在上且為中點(diǎn)，連接與交于，連接，
可知平面，則為直線與平面所成角，
在直角三角形中，∴.
故選：B.
2．許多球狀病毒的空間結(jié)構(gòu)可抽象為正二十面體．正二十面體的每一個面均為等邊三角形，共有12個頂點(diǎn)、30條棱．如圖所示，由正二十面體的一個頂點(diǎn)和與相鄰的五個頂點(diǎn)可構(gòu)成正五棱錐，則與面所成角的余弦值約為（ ）（參考數(shù)據(jù)）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由題意，在面上的射影，如下圖示，

∴五個三角形都是等腰三角形且，易知，而，令，
∴，又正二十面體的每一個面均為等邊三角形即，且面，
∴與面所成角的余弦值為.
故選：A
3．如圖，在大小為的銳二面角中，，，、，，，、分別為、的中點(diǎn).記直線與半平面的夾角為，直線與半平面的夾角為.若，則（ ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【詳解】
如下圖所示，構(gòu)造直三棱柱，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，

則，，則，同理可得，
且，、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，
所以，四邊形為平行四邊形，所以，，同理可知，
所以，，，故，
且，、分別為、的中點(diǎn)，且，
設(shè)，則，，，
，則為的中點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，
，，，平面，
平面，則，故，
在中，，則，
，則，所以，，
由于、均為銳角，所以，，則，
過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，
平面，平面，，
又，，，所以，，
且為銳角，所以，，
，，
所以，，
易知、，且余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，.
故選：A.
4．如圖，在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
如圖，設(shè)正方體棱長為1，，則，

以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則，故，，又，則，所以．
在正方體中，可知體對角線平面，
所以是平面的一個法向量，
所以．
所以當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)或1時，取得最小值．
所以.
故選：A．
典例五、二面角
1．如圖，已知，分別是正方體的棱，的中點(diǎn)，設(shè)為二面角的平面角，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
如圖，設(shè)正方體的棱長為，
在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
則即是二面角的平面角，
且，由
解得，∴，∴，

故選:：C.
2．已知菱形，，將△沿折起，使二面角的大小為，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由題意可得如下示意圖，E為BD中點(diǎn)，∠AEC=60°，

∵是菱形，，
∴，即△AEC為等邊三角形，則A到CE的高為，
又，，，有面，面，
∴面面，且面面，故為三棱錐的高，
∵，
∴.
故選：A.
3．如圖，將矩形紙片折起一角落得到，記二面角的大小為，直線，與平面所成角分別為，，則（ ）．

A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】

如圖，過作平面，垂足為，過作，垂足為，
設(shè)，
因為平面，平面，故，
而，故平面，而平面，
所以，故，
又，.
在直角三角形中，，同理，
故，同理，
故，故，
整理得到，
故，
整理得到即，
若，由 可得即，
但，故，即，矛盾，
故.
故A正確，B錯誤.
由可得，
而均為銳角，故，，故CD錯誤.
故選：A.
（多選）4．已知正方體中，以下結(jié)論正確的有（ ）

A．點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動時，三棱錐A-D1PC的體積不變
B．點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動時，直線AP與平面AD1C所成角的大小不變
C．點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動時，二面角P-AD1-C的大小不變
D．M是平面上到點(diǎn)D和C1距離相等的點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡是過點(diǎn)D1的直線
【答案】ACD
【詳解】
因為，，且平面，平面，所以平面，所以上的點(diǎn)到平面的距離相等，所以三棱錐的體積不變，故A正確；由圖可知，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動時，直線與平面所成角和直線與平面所成角不相等，故B錯誤；因為平面，所以二面角的大小等于平面與平面所成角的大小，所以二面角的大小不變，故C正確；因為是平面上到點(diǎn)和距離相等的點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是平面與線段的垂直平分線所在平面的交線，即點(diǎn)的軌跡是平面與平面的交線，所以點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)的直線，故D正確；
故選：ACD.
5．如圖，矩形中，已知，，為的中點(diǎn)． 將沿著向上翻折至，記銳二面角的平面角為，與平面所成的角為，則下列結(jié)論不可能成立的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
記中點(diǎn)為，連接，連接與交于點(diǎn)， 依題意知四邊形是正方形.

，故銳二面角的平面角為，
平面，過作于，則，
而相交于平面內(nèi)，
故平面，故連接，則與平面所成的角為.
記，因為中，，
中，，所以①，選項A成立；
將①平方得：，所以，，
易見，都是銳角，則，∴，而，
根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，，選項C成立；
因為，，若使，則需，
即當(dāng)，可以成立，即B可能成立；
另外，由，都是銳角，且知，，知.
由選項C知，∴，選項D錯誤．
故選：D.

典例六、點(diǎn)到平面的距離
1．已知圓柱中，點(diǎn)，，為底面圓周上的三點(diǎn)，為圓柱的母線，，，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【詳解】
如圖所示，由題意知：平面，平面，
∴平面平面，又面面，
∴過點(diǎn)作，則平面，即為點(diǎn)到平面的距離，
在△中，，故，
故選：A

2．圓臺如圖所示，為圓的一條直徑， 為圓弧上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)，若，，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
如圖，連接、、、，易知底面，

因為，，所以，，
因為為圓弧上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)，所以，，
因為為圓的一條直徑，所以，，，
因為底面，所以三棱錐的體積，
因為是圓的圓心，、、都在圓上，所以，
因為，，，所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由等體積法易知，解得，
故選：D.

典例七、與球有關(guān)的問題
1．在矩形中，，沿對角線進(jìn)行翻折，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
因為在翻折過程中，始終不變，
所以的中點(diǎn)到，，，四點(diǎn)的距離始終相等，三棱錐外接球的直徑為，
所以外接球的表面積為，
故選：D
2．正三棱錐P－ABC底面邊長為2，M為AB的中點(diǎn)，且PM⊥PC，則三棱錐P－ABC外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】

由圖，設(shè)，則，而，
因為PM⊥PC，所以由勾股定理得即解得，
由對稱性可知：三棱錐P－ABC外接球的球心在三棱錐P－ABC的高PD上，
假設(shè)為O點(diǎn)，則，因為,
所以，
又由于點(diǎn)D是三角形ABC的外心，且三角形ABC為等邊三角形，
所以,
在三角形ODC中，由勾股定理得,
即，
解得，
所以三棱錐P－ABC外接球的體積為.
故選：C
3．已知正方體的外接球的體積為，若分別為棱的中點(diǎn)，則三棱錐內(nèi)切球的半徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】

設(shè)正方體外接球的半徑為，由正方體的外接球的體積為得：.
設(shè)正方體的棱長為，則，解得：；
由題意得：，，，，
，，，.
又，，平面，平面，
三棱錐的表面積；
設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，
根據(jù)等體積法得：，
即.
故選：B.
4．在棱長為的正方體中，球同時與以為公共頂點(diǎn)的三個面相切，球同時與以為公共頂點(diǎn)的三個面相切，且兩球相切于點(diǎn)，若球，的半徑分別為，，則（ ）
A．
B．
C．這兩個球的體積之和的最小值是
D．這兩個球的表面積之和的最小值是
【答案】C
【詳解】
球同時與以為公共頂點(diǎn)的三個面相切，以為對角線可構(gòu)造一個正方體，邊長為
所以同理

則
所以
故這兩個球的體積之和為：
因為，所以
即，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立;
這兩個球的表面積之和
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立
故A,B,D項均錯誤.
故選：C.
5．在棱長為的正方體中，為棱上一點(diǎn)，且到的距離與到的距離相等，則四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
連接交于點(diǎn)，連接、、、，如下圖所示，

在正方體中，四邊形為正方形，且，則為的中點(diǎn)，
因為，所以.
設(shè)，則，易知，，
，由已知可得，可得，解得，
將三棱錐補(bǔ)成長方體，
設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，則，
因此，三棱錐的外接球的表面積為.
故選：B.
6．學(xué)生到工廠參加勞動實踐，用薄鐵皮制作一個圓柱體，圓柱體的全面積為，則該圓柱體的外接球的表面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
設(shè)圓柱的高為，底面圓的半徑為，該圓柱外接球的半徑為，
由題意可得，則；所以，，則，
根據(jù)圓柱與球的對稱性可得：，
所以該圓柱體的外接球的表面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
故選：B.
7．在三棱錐中，平面平面，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，是等邊三角形，則
因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，
過作平面，則，
因為，所以三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)球心為，連接，設(shè)外接球半徑為，
由已知，，，，
在直角梯形中，，，，
所以球表面積為．
故選：C．

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