第八章立體幾何初步（解答題題型全覆蓋）- 學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末備考專題全攻略（人教A版2019）學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

?第八章立體幾何初步
解答題題型全覆蓋

類型
對(duì)應(yīng)典例
證明與體積問(wèn)題
典例一
立體幾何中的探索類問(wèn)題
典例二
線面角
典例三
二面角
典例四
點(diǎn)到平面的距離
典例五
與球有關(guān)的問(wèn)題
典例七
典例一、證明與體積問(wèn)題
1．如圖，在三棱錐中，底面，，，分別為、、的中點(diǎn)．

（1）證明：；
（2）求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【詳解】
（1）∵，，∴
∵底面，平面，∴
又，∴平面
∵面，
∴
（2）

∵為的中點(diǎn)，
∴，到平面的距離相等，
∴
中，，，
∴，∴
∵，分別為，的中點(diǎn)，
∴，，
由底面知，∴
∴
∵，作，垂足為，則面，
在中，，，
∴
∴
2．如圖，三棱錐中，面，△為正三角形，點(diǎn)在棱上，且，、分別是棱、的中點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，，．

（1）求證：；
（2）求幾何體的體積．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【詳解】
證明：（1）∵、分別是棱、的中點(diǎn)，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴，則；
（2）∵△為正三角形，且邊長(zhǎng)為6，面，，
∴，
又，∴，到的距離為，
則，
到平面的距離為到平面距離的一半，為．
∴，
則．
3．如圖，在等腰中，，，，分別為，的中點(diǎn).將沿直線折起到的位置，連接，，得到如圖所示的四棱錐，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）證明：平面；
（2）當(dāng)時(shí)，求四棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析；（2）2.
【詳解】
（1）取中點(diǎn)，分別連接?，
∵?分別為?中點(diǎn)，∴，
∵平面，平面∴平面，
又∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵，∴平面平面，
∵平面，∴平面

（2）如圖，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，
由題意，知，，
在中，，
在中，∵，
∴，∴，
又∵，，且，平面，
∴平面.
∵，∴四棱錐的體積.
又∵，
∴四棱錐的體.

4．如圖矩形是水平放置的一個(gè)平面四邊形OABC的直觀圖，其中，．

（1）畫出平面四邊形OABC的平面圖并標(biāo)出邊長(zhǎng)，并求平面四邊形OABC的面積；
（2）若該四邊形OABC以O(shè)A為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積．
【答案】（1）平面圖見解析，面積為；（2）體積為，表面積為.
【詳解】
（1）平面四邊形的平面圖如下圖所示：

由直觀圖可知菱形的高為：，
所以面積為；
（2）旋轉(zhuǎn)而成的幾何體如下圖所示：

該幾何體可以看成圓柱挖去一個(gè)同底的圓錐再加上一個(gè)同底的圓錐，
由（1）可知圓柱的底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，
所以體積；
所以表面積.

典例二、立體幾何中的探索類問(wèn)題
1．如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為，過(guò)的截面與上底面交于且點(diǎn)P棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱上．

（1）試在棱上找一點(diǎn)D，使得平面，并加以證明；
（2）求四棱錐的體積．
【答案】（1）D為的中點(diǎn)，證明見解析；（2）
【詳解】
（1）D為的中點(diǎn)時(shí)，平面.
證明如下：
平面，平面，平面平面，
，平面，平面，所以平面，
又D為的中點(diǎn)，是平行四邊形，，
又平面，平面，面，
又與在平面內(nèi)相交，面面，
又面，平面；
（2）連接，四棱錐可視為三棱錐和組合而成，
三棱錐可視為，底面積，高為，
設(shè)，
體積為．
三棱錐與等高，體積比為底面積之比，
設(shè)，
則，故，
因此，，即為所求．

2．如圖所示，在四棱錐中，平面PAD，，E是PD的中點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）線段AD上是否存在點(diǎn)N，使平面平面PAB，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由：若存在給出證明．
【答案】（1）證明見解析；
（2）存在，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)滿足題意. 證明見解析解.
【詳解】
（1）因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以?br /> （2）存在，且當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，平面平面. 下面給出證明：
因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，所以平面.
由（1）知，，又是的中點(diǎn)，，所以，所以四邊形是平行四邊形，從而，
又平面，平面，所以平面.
又因?yàn)?，所以，平面平?br />
3．如圖，四棱錐中，四邊形ABED是正方形，若G，F(xiàn)分別是線段EC，BD的中點(diǎn).

（1）求證：平面ABC.
（2）在線段CD上是否存在一點(diǎn)P，使得平面平面ABC？并說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見詳解；（2）P為線段CD中點(diǎn)，理由見詳解．
【詳解】
證明：由四邊形ABED為正方形可知，
連接AE必與BD相交于中點(diǎn)F，又G是線段EC的中點(diǎn)，故，

面ABC，面ABC，
面ABC；
當(dāng)P為線段CD中點(diǎn)時(shí)，有平面平面ABC，
證明：由點(diǎn)分別為中點(diǎn)可得：

面ABC，面ABC，
面ABC，
由可知，面ACD，
且，
故平面平面ABC．
4．如圖，在多面體中，底面為正方形，四邊形是矩形，平面平面

（1）求證：平面平面；
（2）若過(guò)直線的一個(gè)平面與線段和分別相交于點(diǎn)和（點(diǎn)與點(diǎn) 均不重合），求證：；
（3）判斷線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在；.
【詳解】
（1）證明：∵四邊形是正方形，．
又∵平面平面，平面平面，
且平面，∴平面．
又平面，∴平面平面．
（2）證明：平面平面，∴平面，
又平面，平面平面，
又，．
（3）解：線段上存在一點(diǎn)，使得平面平面，此時(shí)．
證明如下：設(shè) 的中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br /> 所以平面．設(shè)，連接，
在△中，因?yàn)椋裕?br /> 又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br /> 又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br /> 5．如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，E為中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）若M，N分別是線段的中點(diǎn)，F(xiàn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn)G，使得平面？若存在，請(qǐng)求出的比值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2）存在點(diǎn)G，使得平面，且.
【詳解】
（1）證明：連接交于，再連接，
因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?br /> 所以為的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，
所以在中，，
又平面，平面，
所以平面.

（2）存在點(diǎn)G，使得平面.
與的交點(diǎn)記為.
當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，
可知，
所以，
M，N分別是線段的中點(diǎn)，
所以，
又，且平面，平面，
所以平面平面，又平面，
所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，平面.

典例三、線面夾角
1．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，E是的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；
（2）若，求直線與底面所成角的正切值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【詳解】
（1）證明：連接交于．

在正方形中，有，
又是的中點(diǎn)，所以，平面，平面
所以直線平面．
（2）解：取的中點(diǎn)．
由為的中位線，得，
又底面，得底面，
所以是直線與底面所成角．
設(shè)，
因?yàn)椋?br /> 所以．
所以直線與底面所成角的正切值為.
2．如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形ACFE為平行四邊形，設(shè)BD與AC相交于點(diǎn)G，，，，．

(1)證明：平面平面ABCD；
(2)若AE與平面ABCD所成角為45°，求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析；(2)．
【詳解】
(1)連接EG，因四邊形ABCD為菱形，則，，，
在和中，，，，
有，得，即有，因，平面ACFE，平面ACFE，從而得平面ACFE，
又平面ABCD，所以平面平面ABCD；

(2)由(1)知，斜線EA在平面ABCD內(nèi)的射影是AC，故為AE與面ABCD所成的角，即，
菱形ABCD中，，，則，，而，有，
又平面ACFE，則四棱錐E-ABCD的體積為：
3．如圖，四棱臺(tái)的底面為正方形，面，．

（1）求證：平面；
（2）若平面平面，求直線m與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【詳解】
（1）證明：連結(jié)交交于點(diǎn)O，連結(jié)，，
由多面體為四棱臺(tái)可知四點(diǎn)共面，
且面面，面面，面面，
∴，
∵和均為正方形，，
∴，所以為平行四邊形，
∴，面，面，
∴平面．

（2）
∵面，平面，平面，
∴，又∵，∴
∴求直線m與平面所成角可轉(zhuǎn)化為求與平面所成角，
∵和均為正方形，，且，
∴，，∴，
又∵面，∴
∴面，∴面面，
由面面，設(shè)O在面的投影為M，則，
∴為與平面所成角，
由，可得，又∵，
∴
∴，直線m與平面所成角的正弦值為.

4．已知直角梯形，，，，為的中點(diǎn)，將沿翻折至.

（1）求證：；
（2）若，求與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【詳解】
（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BD于E，連接EF，中，令PD=1，則BD=2PD=2，，，如圖：

直角梯形中，顯然有，而，則，又，即△為正三角形，
而為的中點(diǎn)，則，又，中，由余弦定理得，
即，是直角三角形，有，而PE⊥BD，，
所以面，面，故；
(2)過(guò)B作BQ⊥平面PAD與平面PAD交于點(diǎn)Q，連接PQ，則PQ是PB在平面PAD內(nèi)射影，是直線PB與平面PAD所成角，如圖：

因面，即平面面，平面面，過(guò)點(diǎn)P作PO⊥EF于O，則面，
由(1)，，，
中，PD=DF=1，則，
，，
由得，即，，，
所以與平面所成角的正弦值為.
5．已知三棱柱，是正三角形，四邊形是菱形且，是的中點(diǎn)，.

（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【詳解】
（1）設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)，，如圖：

由得，由是正三角形得，
又，故平面，因此；
（2）三棱柱中，四邊形是菱形，設(shè)中點(diǎn)為，平面交于，連結(jié)，設(shè)，
平面ABC//平面A1B1C1，平面平面ABC=AD，平面平面A1B1C1=MN，
則，而AC//A1C1，由等角定理得，，則有，
M是A1C1中點(diǎn)，，即得，
由(1)平面得平面平面，則為在平面內(nèi)的射影，
四邊形AMNE為平行四邊形，即AM//EN，所以為與平面所成的角，
由四邊形是直角梯形，得，
中，，則，
中，，，，
所以，直線與平面所成角的正弦值為.

典例四、二面角
1．如圖，圓柱，矩形為過(guò)軸的圓柱的截面，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）若，三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【詳解】
（1）矩形為過(guò)軸的圓柱的截面，設(shè)，連接，則為中點(diǎn)，如圖：

點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則CC1是圓柱OO1的母線，是矩形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，，
有四邊形是平行四邊形，，平面，平面，
所以平面；
（2）設(shè)圓錐底面半徑，由點(diǎn)C是弧AB中點(diǎn)得，因，三棱錐的體積為，平面，
三棱錐的體積，即，得，，
取中點(diǎn)，連接，如圖：

因，平面平面，則有平面，
而，則，，
，，為二面角的平面角，
由，得：.
所以二面角的余弦值為.
2．如圖，在多面體ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四邊形ACDE為直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，∠ABC=60°，CD=1，AE=AC=2，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)BC的長(zhǎng)為多少時(shí)，DF⊥平面ABE．
（2）求平面ABE與平面BCD所成的銳二面角的大小．
【答案】（1）BC=2；（2）60°．
【詳解】
（1）取AB的中點(diǎn)G，連接FG，CG，∵F為BE的中點(diǎn)
∴，又∵，∴
∴四邊形CDFG為平行四邊形，∴CG//DF
∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面
∴AE⊥平面ABC，∴AE⊥CG，
要使DF⊥平面ABE，則只需CG⊥平面ABE，由線面垂直定理，只需，故BC=2.
BC=2時(shí)，，又，，平面，
所以平面，即DF⊥平面ABE；

（2）過(guò)B作BHCD，則，連接，所以平面平面＝，
證明如下：設(shè)平面平面平面＝，由，平面，平面，得平面，所以，即，而平面的交線只有一條，所以．
由（1），同理，所以，
則即所求二面角的平面角
而，∴所成銳二面角為.

3．已知是正三角形，線段和都垂直于平面，且，為的中點(diǎn)，設(shè)平面平面 .

（1）求證：；
（2）當(dāng)平面與平面所成的銳二面角為時(shí)，求幾何體的體積.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【詳解】
（1）證明：如圖所示，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，連接，

平面，平面，，
，所以，、分別為、的中點(diǎn)，
為的中點(diǎn)，所以，，
平面，平面，平面，平面，
所以，平面平面，因此，；
（2）是等邊三角形，且為的中點(diǎn)，則，
則，所以，，故，即，
因?yàn)槠矫?，平面，?br /> ，平面，
平面，，
故平面與平面所成的銳二面角為，
所以，為等腰直角三角形，且，則，
，，
，
因此，幾何體的體積為.
4．如圖，在棱柱中，底面為平行四邊形，，，且在底面上的投影恰為的中點(diǎn)．

（1）過(guò)作與垂直的平面，交棱于點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由；
（2）若二面角為，求棱柱的體積．
【答案】（1）是中點(diǎn)，證明見解析；（2）．
【詳解】
（1）是中點(diǎn)，證明如下：
平行四邊形中，，，則，，，所以，
取中點(diǎn)，是中點(diǎn)，則，所以，
又平面，平面，所以，，平面，所以平面．

（2）二面角為，則二面角為，作交延長(zhǎng)線于，連接，則是平行四邊形，，是中點(diǎn)，所以是中點(diǎn)，，
由是等邊三角形，所以，
所以，，
因此平面，所以平面，而平面，所以，
，平面，所以平面，
又平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，
又，所以，
，
所以棱柱為．
5．如圖，點(diǎn)是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形的底邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，將沿折起，此時(shí)點(diǎn)記作點(diǎn)．

（1）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，證明：平面平面；
（2）若二面角的大小為120°，求三梭錐的體積．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【詳解】
解：（1）證明：如圖，要使三棱錐的體積最大，則平面平面，
所以平面．
又平面，所以．
又，，平面，平面，
所以⊥平面．又平面，
所以平面⊥平面.

（2）如圖，由題意知，，，
而二面角的大小為120°，所以．
根據(jù)折疊過(guò)程可程，所以，
所以三棱錐的高，
所以三棱錐的體積．

典例五、點(diǎn)面距離
1．如圖，四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點(diǎn)M、N分別為直線上的點(diǎn)，且滿足．

（1）求證：平面；
（2）若，，求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【詳解】
（1）連接BD，∵，

∴MN∥BD，
∵M(jìn)N平面ABCD，BD平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（2）設(shè)N點(diǎn)到平面PBC的距離為d1，D點(diǎn)到平面PBC的距離為d2，
∵，
∴,
依題可得VD-PBC=VP-DBC,
又PA⊥平面ABCD，
∴VP-DBC=SΔBCD·PA=,
∴VD-PBC=SΔPBC·d2=,
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB⊥AB，
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，
∵PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
依題可得SΔPBC=,
∴,
∴,
即點(diǎn)N到平面PBC的距離為．
2．已知直角梯形ABCE中，，，，，，以AD為折痕將折至處，得到四棱錐.
（1）求證：；
（2）連接AC?BD交于點(diǎn)F，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求點(diǎn)F到平面PCD的距離.
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【詳解】
（1）證明：由可知點(diǎn)D為線段EC靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，
，，中，

而為等邊三角形，
也是等邊三角形，取AD中點(diǎn)M，連接MB?MP則，
而，平面
（2）解與交于點(diǎn)
當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，平面平面
由（1）可知等邊中，而平面平面，
平面平面
，而等邊中，，
，中，，，

由余弦定理得
中，中，

點(diǎn)F到平面PCD的距離

3．已知多面體如圖所示，其中四邊形為矩形，，平面．

（1）求證：平面；
（2）若，點(diǎn)到平面的距離為，求的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【詳解】
（1），則，，
，平面，
平面，，
平面，平面，所以，平面，
四邊形為矩形，則，
平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
平面，故平面；
（2）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則，
由（1）可知，平面，則，
平面，、平面，，，
故，，，
取的中點(diǎn)，連接，則，

，
所以，，
由題意可得，即，
化簡(jiǎn)可得，故.

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