專題突破練9　三角恒等變換與解三角形一、單項(xiàng)選擇題1.(2021·深圳高級(jí)中學(xué)月考)在鈍角△ABC中,AB=2,sin B=,且△ABC的面積是,則AC=(　　)A. B.2 C. D.2.(2021·遼寧大連二模)若tan,則=(　　)A.- B.-3 C. D.33.(2021·山東日照期中)已知△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,其中R為△ABC外接圓的半徑.若3asin A+3bsin B+4asin B=6Rsin2C,則sin Asin B-cos Acos B=(　　)A. B. C.- D.-4.(2021·海南二模)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖,發(fā)現(xiàn)了黃金分割率,黃金分割率的值也可以用2sin 18°表示.若實(shí)數(shù)n滿足4sin218°+n2=4,則=(　　)A. B. C. D.5.(2021·山東菏澤期末)明朝早期,鄭和將中國(guó)古代天體測(cè)量方面所取得的成就創(chuàng)造性應(yīng)用于航海,形成了一套自成體系且行之有效的先進(jìn)航海技術(shù)——“過洋牽星術(shù)”.簡(jiǎn)單地說,就是通過觀測(cè)不同季節(jié)、時(shí)辰的日月星辰在天空運(yùn)行的位置和測(cè)量星辰在海面以上的高度來判斷方位,其采用的主要工具為牽星板,由12塊正方形木板組成,最小的一塊邊長(zhǎng)約為2厘米(稱一指).觀測(cè)時(shí),將木板立起,一手拿著木板,手臂垂直,眼睛到木板的距離大約為72厘米,使?fàn)啃前迮c海平面垂直,讓板的下邊緣與海平面重合,上邊緣對(duì)著所觀測(cè)的星辰,與其相切,依高低不同替換、調(diào)整木板,木板上邊緣與被觀測(cè)星辰重合時(shí)所用的是幾指板,觀測(cè)的星辰離海平面的高度就是幾指,然后就可以推算出船在海中的地理緯度.如圖所示,若在一次觀測(cè)中,所用的牽星板為九指板,則sin 2α=(　　)A. B. C. D.6.(2021·河北邯鄲期末)已知cos α+sin 2β=,sin α+sin βcos β=,則cos(α+2β)=(　　)A. B. C. D.-7. (2021·湖南長(zhǎng)沙模擬)小李在某大學(xué)測(cè)繪專業(yè)學(xué)習(xí),節(jié)日回家,來到一個(gè)池塘邊(如圖陰影部分),為了測(cè)量該池塘兩側(cè)C,D兩點(diǎn)間的距離,除了觀測(cè)點(diǎn)C,D外,他又選了兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)P1,P2,且P1P2=a,已經(jīng)測(cè)得∠P1P2D=α,∠P2P1D=β,由于條件不足,需要再觀測(cè)新的角,則利用已知觀測(cè)數(shù)據(jù)和下面三組新觀測(cè)的角的其中一組,就可以求出C,D間距離的是(　　) ①∠DP1C和∠DCP1;②∠P1P2C和∠P1CP2;③∠P1DC和∠DCP1.A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8. (2021·吉林月考)如圖,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,D,E,F分別在邊AB,BC和CA上(異于端點(diǎn)),且D為AB的中點(diǎn).若∠EDF=120°,則四邊形CFDE的面積為(　　) A.2 B. C.3 D.無法確定二、多項(xiàng)選擇題9.(2021·山東師大附中期末)若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足b-2a+4asin2=0,則下列結(jié)論正確的是(　　)A.角C一定為銳角 B.a2+2b2-c2=0C.3tan A+tan C=0 D.tan B的最小值為三、填空題10.(2021·北京延慶模擬)已知△ABC的面積為2,AB=2,B=,則=　　　　　. 11.(2021·山西運(yùn)城模擬)已知tan θ,tan-θ是方程x2+ax-3=0的兩個(gè)根,則a=　　　　　. 12.(2021·廣東揭陽(yáng)一模)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足a=2,a2=2b2+c2,則△ABC的面積的最大值為　　　　　. 13.(2021·山東濰坊一模)某市為表彰在脫貧攻堅(jiān)工作中做出突出貢獻(xiàn)的先進(jìn)單位,制作了一批獎(jiǎng)杯,獎(jiǎng)杯的剖面圖形如圖所示,其中扇形OAB的半徑為10,∠PBA=∠QAB=60°,AQ=QP=PB,工藝制造廠發(fā)現(xiàn),若按此方案設(shè)計(jì),當(dāng)OP最長(zhǎng)時(shí),該獎(jiǎng)杯比較美觀,此時(shí)∠AOB=　　　　　.  
專題突破練9　三角恒等變換與解:三角形1.C　解析: 設(shè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.依題意,三角形ABC是鈍角三角形,c=2,sin B=,S△ABC=acsin B=,解得a=1,a<c,所以A為銳角.當(dāng)C為鈍角時(shí),cos B=,b=,此時(shí)cos C==0,C=,不符合題意.當(dāng)B為鈍角時(shí),cos B=-=-,故b=,此時(shí)cos C=>0,所以C為銳角,符合題意,故AC=.2.A　解析: 因?yàn)?/span>,由于cos α=1-2sin2,sin α=2sincos,所以=-tan=-.3.C　解析: 由正弦定理=2R,得sin A=,sin B=,sin C=,代入3asin A+3bsin B+4asin B=6Rsin2C,得=6R,化簡(jiǎn)得3a2+3b2+4ab=3c2,即a2+b2-c2=-ab,所以cos C==-.故sin Asin B-cos Acos B=-cos(A+B)=cos C=-.4.A　解析: .5.C　解析: 由題圖,知角α所對(duì)直角邊長(zhǎng)為18厘米,相鄰直角邊長(zhǎng)為72厘米,則斜邊長(zhǎng)為18厘米.于是sin α=,cos α=,∴sin 2α=2sin αcos α=2×.6.C　解析: 由cos α+sin2β=知2cos α-cos 2β=2①,因?yàn)?/span>sin α+sin βcos β=,所以2sin α+sin 2β=②,將①②兩個(gè)等式平方相加得4+1-4cos(2β+α)=4+,解得cos(α+2β)=.7.D　解析: 根據(jù)題意,△P1P2D的三個(gè)角和三條邊均可以求出,①中,,故CD=,故①可以求出CD;③與①條件等價(jià).②中,在△P1P2C中,,故P1C=,在△P1CD中,利用余弦定理求解CD即可.8.C　解析: 設(shè)∠BDE=θ(0<θ<60°),在△BDE中,由正弦定理得DE=,則S△BDE=DE·DBsin θ=.在△ADF中,∠FDA=60°-θ,由正弦定理得DF=,S△ADF=DF·ADsin(60°-θ)=,所以S△BDE+S△ADF=,所以四邊形CFDE的面積為S△ABC-(S△ADF+S△BDE)=4=3.9.BC　解析: ∵b-2a+4asin2=0,∴b-2a+4asin2=0,∴b-2a+4acos2=0,∴b-2a+4a·=0,∴b+2acos C=0,∴cos C<0,∴角C一定為鈍角,A錯(cuò)誤;b+2acos C=0?b+2a·=0?a2+2b2-c2=0,B正確;b+2acos C=0?sin B+2sin Acos C=0?3sin Acos C+cos Asin C=0?3tan A+tan C=0,C正確;tan B=-tan(A+C)=,經(jīng)檢驗(yàn)“=”取得到,D錯(cuò)誤,綜上選BC.10.　解析: 設(shè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則AB=2=c,S△ABC=acsin B=×a×2×=2,解得a=4,∴b2=a2+c2-2accos B=16+4-2×4×2×=12,∴b=2,∴.11.-4　解析: 因?yàn)?/span>tan θ,tan是方程x2+ax-3=0的兩個(gè)根,所以tan θ+tan=-a,tan θtan=-3,Δ=a2-4×(-3)≥0,所以tan=tan=-=1,故a=-4.12.　解析: 由余弦定理及題意可得a2=b2+c2-2bccos A=2b2+c2=4,所以cos A=-,則sin A=,則△ABC的面積S=bcsin A=.13.解析: 由題意可知,四邊形ABPQ為等腰梯形.如圖,連接OP,過點(diǎn)O作OM⊥QP垂足為點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)C,則OC⊥AB,OM平分∠AOB,M為線段PQ的中點(diǎn).設(shè)∠AOC=θ,則AB=20sin θ,OC=10cos θ,設(shè)AQ=QP=BP=x,過點(diǎn)Q作QE⊥AB垂足為點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PF⊥AB垂足為點(diǎn)F,因?yàn)?/span>∠PBA=∠QAB=60°,所以AE=BF=x,CM=PF=x,EF=QP=x,所以AB=2x,所以AB=20sin θ=2x,即x=10sin θ,所以OM=OC+CM=10cos θ+x=10cos θ+5sin θ,所以OP2=OM2+MP2=(10cos θ+5sin θ)2+(5sin θ)2=100cos2θ+75sin2θ+100sin θcos θ+25sin2θ=100+50sin 2θ,因?yàn)?/span>sin 2θ∈[-1,1],所以當(dāng)sin 2θ=1即θ=時(shí),OP2最大,也就是OP最長(zhǎng),此時(shí)∠AOB=.

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