(1)若a=1,求b的值;
(2)求證:f(x)≥g(x).
2.(2021·遼寧朝陽一模)已知函數(shù)f(x)=ex-asin x-x,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為x+y-1=0.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)證明:對?x∈R,f(x)>0恒成立.
3.(2021·河北石家莊三模)已知函數(shù)f(x)=aln x-x2+x+3a.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若00,令f'(x)=0,即-2x2+x+a=0,Δ=1+8a.
當(dāng)Δ≤0,即a≤-18時,f'(x)≤0,
∴f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.
當(dāng)Δ>0,即a>-18時,由f'(x)=0,得x1=1+1+8a4,x2=1-1+8a4,則x1>x2.
①當(dāng)a≥0時,x1>0,x2≤0,x∈(0,x1)時,f'(x)>0,x∈(x1,+∞)時,f'(x)0,
∴f(x)在區(qū)間(0,x2)和(x1,+∞)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(x2,x1)上單調(diào)遞增.
綜上所述,當(dāng)a≤-18時,f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減;
當(dāng)a≥0時,f(x)在區(qū)間0,1+1+8a4上單調(diào)遞增,在區(qū)間1+1+8a4,+∞上單調(diào)遞減;
當(dāng)-180,當(dāng)ln x+30時,由于00,u(x)單調(diào)遞增,
故u(x)min=u(ln(2a))=2a-2aln(2a)-1≥0.
令h(x)=x-xln x-1,則h'(x)=-ln x.
令h'(x)=0,得x=1,當(dāng)02x1,且x1>0,x2>0,
∴x1ln x1-ax12+x1=0,x2ln x2-ax22+x2=0,即ln x1+1=ax1,ln x2+1=ax2,
∴a=ln x1+ln x2+2x1+x2=ln x2-ln x1x2-x1,
即ln(x1x2)+2=(x1+x2)lnx2x1x2-x1.
令t=x2x1,則t>2,于是ln(x1x2)+2=(t+1)lntt-1,
令g(t)=(t+1)lntt-1,則g'(t)=t-1t-2lnt(t-1)2.
令h(t)=t-1t-2ln t,則h'(t)=(t-1)2t2>0,
∴h(t)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,∴h(t)>h(2)=32-2ln 2>0,∴g'(t)>0,∴g(t)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(t)>g(2)=3ln 2,
∴l(xiāng)n(x1x2)+2>3ln 2,即ln(x1x2)>3ln 2-2=ln8e2,
∴x1x2>8e2,
∴x12+x22>2x1x2>4e(由于x1≠x2,故不取等號).

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