專題突破練6　利用導(dǎo)數(shù)證明問題1.(2021·海南海口月考)已知函數(shù)f(x)=x2+2ax(a>0)與g(x)=4a2ln x+b的圖象有公共點(diǎn)P,且在點(diǎn)P處的切線相同.(1)若a=1,求b的值;(2)求證:f(x)≥g(x).                2.(2021·遼寧朝陽一模)已知函數(shù)f(x)=ex-asin x-x,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為x+y-1=0.(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)證明:對(duì)?x∈R,f(x)>0恒成立.                    3.(2021·河北石家莊三模)已知函數(shù)f(x)=aln x-x2+x+3a.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若0<a<,求證:f(x)<-x2+x.                4.(2021·江蘇百校聯(lián)盟3月聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=aex+sin x+x,x∈[0,π].(1)證明:當(dāng)a=-1時(shí),函數(shù)f(x)有唯一的極大值點(diǎn);(2)當(dāng)-2<a<0時(shí),證明:f(x)<π.                    5.(2021·廣東湛江一模)已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=2ax+1.(1)若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值集合;(2)若a>0,且方程f(x)-g(x)=0有兩個(gè)不同的根x1,x2,證明:<ln 2a.               6.(2021·廣州一模)已知函數(shù)f(x)=xln x-ax2+x(a∈R).(1)證明:曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線l恒過定點(diǎn);(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,且x2>2x1,證明:.                   專題突破練6　利用導(dǎo)數(shù)證明問題1.(1)解 設(shè)P(x0,y0)(x0>0),則+2ax0=4a2ln x0+b.又f'(x)=2x+2a,g'(x)=,∴2x0+2a=∵a=1,+x0-2=0,∴x0=1,則4×1×0+b=1+2=3,解得b=3.(2)證明 由(1)得2x0+2a=,即+ax0-2a2=0,得x0=a.∴a2+2a2-4a2ln a-b=0.令h(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-4a2ln x-b(a>0),則h'(x)=2x+2a-當(dāng)0<x<a時(shí),h'(x)<0;當(dāng)x>a時(shí),h'(x)>0,故h(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(a,+∞)上單調(diào)遞增.∴x=a時(shí),函數(shù)h(x)取得極小值即最小值,且h(a)=a2+2a2-4a2ln a-b=0,因此h(x)≥0,故f(x)≥g(x).2.(1)解 f'(x)=ex-acos x-1.∵曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為x+y-1=0,∴f'(0)=-1,∴1-a-1=-1,得a=1.(2)證明 由于f(x)=ex-sin x-x,要證明對(duì)?x∈R,f(x)>0恒成立,需證明對(duì)?x∈R,ex-x>sin x.令g(x)=ex-x,∴g'(x)=ex-1.令g'(x)=0,得x=0.∴當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),g'(x)<0,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g'(x)>0.∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.故g(x)min=g(0)=1,即對(duì)?x∈R,ex-x≥1都成立,∴ex-x-sin x≥1-sin x≥0,兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立,∴ex-x>sin x,∴對(duì)?x∈R,f(x)>0恒成立.3.(1)解 f'(x)=-2x+1=,x>0,令f'(x)=0,即-2x2+x+a=0,Δ=1+8a.當(dāng)Δ≤0,即a≤-時(shí),f'(x)≤0,∴f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.當(dāng)Δ>0,即a>-時(shí),由f'(x)=0,得x1=,x2=,則x1>x2.①當(dāng)a≥0時(shí),x1>0,x2≤0,x∈(0,x1)時(shí),f'(x)>0,x∈(x1,+∞)時(shí),f'(x)<0,∴f(x)在區(qū)間(0,x1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(x1,+∞)上單調(diào)遞減.②當(dāng)-<a<0時(shí),x1>0,x2>0,x∈(0,x2)∪(x1,+∞)時(shí),f'(x)<0,x∈(x2,x1)時(shí),f'(x)>0,∴f(x)在區(qū)間(0,x2)和(x1,+∞)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(x2,x1)上單調(diào)遞增.綜上所述,當(dāng)a≤-時(shí),f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)a≥0時(shí),f(x)在區(qū)間0,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,+∞上單調(diào)遞減;當(dāng)-<a<0時(shí),f(x)在區(qū)間0,和,+∞上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)證明 由已知得需證a(ln x+3)<∵a>0,x>0,>0,當(dāng)ln x+3<0時(shí),不等式顯然成立.當(dāng)ln x+3>0時(shí),由于0<a<,∴a(ln x+3)<(ln x+3),因此只需證(ln x+3)<,即證令g(x)=(x>0),∴g'(x)=令g'(x)=0,得x=e-2.當(dāng)x∈(0,e-2)時(shí),g'(x)>0,當(dāng)x∈(e-2,+∞)時(shí),g'(x)<0,即g(x)在區(qū)間(0,e-2)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(e-2,+∞)上單調(diào)遞減.∴g(x)max=g(e-2)=令h(x)=(x>0),則h'(x)=當(dāng)x∈(0,2)時(shí),h'(x)<0,當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),h'(x)>0,∴h(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,∴h(x)min=h(2)=∴g(x)max≤h(x)min,但兩邊取最值的條件不一樣,故f(x)<-x2+x.4.證明 (1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=x+sin x-ex,f'(x)=1+cos x-ex.因?yàn)?/span>x∈[0,π],所以1+cos x≥0.令g(x)=1+cos x-ex,x∈[0,π],則g'(x)=-ex-sin x<0,所以g(x)在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞減.又因?yàn)?/span>g(0)=2-1=1>0,g(π)=-eπ<0,所以存在x0∈(0,π),使得f'(x0)=0,且當(dāng)0<x<x0時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x0<x<π時(shí),f'(x)<0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,x0],單調(diào)遞減區(qū)間是[x0,π].所以函數(shù)f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0.(2)當(dāng)-2<a<0,0≤x≤π時(shí),令h(x)=f(x)-π=aex+sin x+x-π,則h'(x)=aex+cos x+1,令p(x)=aex+cos x+1,則p'(x)=aex-sin x<0,所以函數(shù)h'(x)在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞減.因?yàn)?/span>h'(0)=a+2>0,h'(π)=aeπ<0,所以存在t∈(0,π),使得h'(t)=0,即aet+cos t+1=0,且當(dāng)0<x<t時(shí),h'(x)>0;當(dāng)t<x<π時(shí),h'(x)<0.所以函數(shù)h(x)在區(qū)間[0,t]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[t,π]上單調(diào)遞減.所以h(x)max=h(t)=aet+sin t+t-π,t∈(0,π).因?yàn)?/span>aet+cos t+1=0,所以只需證φ(t)=sin t-cos t+t-1-π<0即可,而φ'(t)=cos t+sin t+1=sin t+(1+cos t)>0,所以函數(shù)φ(t)在區(qū)間(0,π)上單調(diào)遞增,所以φ(t)<φ(π)=0,故f(x)<π.5.(1)解 令u(x)=f(x)-g(x)=ex-2ax-1,則u'(x)=ex-2a.若a≤0,則u'(x)>0,所以u(x)在R上單調(diào)遞增,而u(0)=0,所以當(dāng)x<0時(shí),u(x)<0,不符合題意;若a>0,由u'(x)=0,得x=ln(2a),當(dāng)x<ln(2a)時(shí),u'(x)<0,u(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>ln(2a)時(shí),u'(x)>0,u(x)單調(diào)遞增,故u(x)min=u(ln(2a))=2a-2aln(2a)-1≥0.令h(x)=x-xln x-1,則h'(x)=-ln x.令h'(x)=0,得x=1,當(dāng)0<x<1時(shí),h'(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),h'(x)<0,故h(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,故h(x)≤h(1)=0,即x-xln x-1≤0,所以2a-2aln(2a)-1≤0,故2a-2aln(2a)-1=0,所以2a=1,即a=,故a的取值集合為(2)證明 方程f(x)-g(x)=0有兩個(gè)不同的根x1,x2,不妨令x1<x2,則2a=要證<ln 2a,即證(x2-x1)(x2-x1)-1,令t=,則t>0,即證e2t-1>2tet,令G(t)=e2t-1-2tet,則G'(t)=2et(et-t-1),易證et>t+1,故G'(t)>0,故G(t)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以G(t)>G(0)=0.故原不等式成立.6.證明 (1)f'(x)=ln x-2ax+2,則f'(1)=2-2a,所以切線l的斜率為2-2a.又f(1)=1-a,所以切線l的方程為y-(1-a)=(2-2a)(x-1),即y=(2-2a)x-,可得當(dāng)x=時(shí),y=0,故切線l恒過定點(diǎn),0.(2)∵x1,x2是f(x)的零點(diǎn),x2>2x1,且x1>0,x2>0,∴a=,即ln(x1x2)+2=令t=,則t>2,于是ln(x1x2)+2=,令g(t)=,則g'(t)=令h(t)=t--2ln t,則h'(t)=>0,∴h(t)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,∴h(t)>h(2)=-2ln 2>0,∴g'(t)>0,∴g(t)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,∴g(t)>g(2)=3ln 2,∴ln(x1x2)+2>3ln 2,即ln(x1x2)>3ln 2-2=ln,∴x1x2>,(由于x1≠x2,故不取等號(hào)).

相關(guān)試卷

2024年高考數(shù)學(xué)二輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)專題突破練6利用導(dǎo)數(shù)證明問題（Word版附解析）：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)二輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)專題突破練6利用導(dǎo)數(shù)證明問題（Word版附解析），共8頁。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破練6利用導(dǎo)數(shù)證明問題含答案：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破練6利用導(dǎo)數(shù)證明問題含答案，共11頁。試卷主要包含了已知函數(shù)f=a-x等內(nèi)容，歡迎下載使用。

適用于新高考新教材廣西專版2024屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題突破練6利用導(dǎo)數(shù)證明問題：

這是一份適用于新高考新教材廣西專版2024屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題突破練6利用導(dǎo)數(shù)證明問題，共6頁。試卷主要包含了已知f=x-aln，已知函數(shù)f=kln x+等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問題請(qǐng)聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請(qǐng)先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時(shí)請(qǐng)及時(shí)更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對(duì)1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號(hào)

    打開微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部