專(zhuān)題2.5生活中的軸對(duì)稱(chēng)（壓軸培優(yōu)強(qiáng)化卷）-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試高分直通車(chē)【北師大版】

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?2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試高分直通車(chē)【北師大版】
專(zhuān)題2.5生活中的軸對(duì)稱(chēng)壓軸培優(yōu)強(qiáng)化卷
班級(jí)：_________ 姓名：______________ 座號(hào)：__________ 分?jǐn)?shù)：___________
注意事項(xiàng)：
本試卷共30題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)、座號(hào)填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2020秋?匯川區(qū)期末）在下列標(biāo)志中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解．
【解析】A、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
2．（2020秋?甘井子區(qū)期末）如圖，電信部門(mén)要在公路l旁修建一座移動(dòng)信號(hào)發(fā)射塔．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)M，N的距離必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)該建（　?。?br />
A．A處 B．B處 C．C處 D．D處
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出即可．
【解析】
根據(jù)作圖可知：EF是線段MN的垂直平分線，
所以EF上的點(diǎn)到M、N的距離相等，
即發(fā)射塔應(yīng)該建在C處，
故選：C．
3．（2020秋?遵義期末）“折疊”是數(shù)學(xué)上常見(jiàn)構(gòu)造新圖形的重要方法如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，將長(zhǎng)方形ABCD沿圖中標(biāo)示的DE折疊，點(diǎn)A恰好落在邊BC的點(diǎn)G處，若∠CDG＝52°，則∠DEG的度數(shù)為（　?。?br />
A．73° B．71° C．68° D．52°
【分析】由長(zhǎng)方形的性質(zhì)可知∠CDG＝52°，則可得出∠ADE的度數(shù)，根據(jù)折疊的性質(zhì)，折疊后的圖形與原圖形全等，即可得出答案．
【解析】∵∠CDG＝52°，
∴∠ADG＝90°﹣∠CDG＝90°﹣52°＝38°，
又∵∠ADE＝∠GDE=12∠ADG=12×38°=19°，∠DAE＝∠DGE＝90°，
∴∠DEG＝90°﹣∠GDE＝90°﹣19°＝71°．
故選：B．
4．（2020秋?鄒城市期末）如圖，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，如果∠DEF＝60°，則∠A的度數(shù)為（　　）

A．20° B．15° C．12° D．10°
【分析】根據(jù)已知條件，利用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．
【解析】∵DE＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF為等邊三角形，
∴∠EDF＝60°，
∵AB＝BC＝CD．
∴△ABC和△BCD為等腰三角形，∠A＝∠ACB，∠CBD＝∠CDB，
∵∠CBD＝∠A+∠ACB＝2∠A，
∴∠CDB＝2∠A，
∵∠ECD＝∠A+∠CDB＝3∠A，CD＝DE，
∴△CDE為等腰三角形，
∴∠ECD＝∠DEC＝3∠A，
∠EDF＝∠A+∠DEC＝4∠A＝60°，
∴∠A＝15°．
故選：B．
5．（2020秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，DE為線段AB的垂直平分線．若△ABC的周長(zhǎng)為18，線段AE的長(zhǎng)度為4，則△BCD的周長(zhǎng)為（　?。?br />
A．10 B．11 C．12 D．14
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB＝2AE＝8，DA＝DB，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
【解析】∵△ABC的周長(zhǎng)為18，
∴AC+BC+AB＝18，
∵DE為線段AB的垂直平分線，AE＝4，
∴AB＝2AE＝8，DA＝DB，
∴AC+BC＝10，
∴△BCD的周長(zhǎng)＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝10，
故選：A．
6．（2020秋?扶余市期末）如圖，點(diǎn)P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)，∠AON＝30°，當(dāng)△AOP為等腰三角形時(shí)，∠A的度數(shù)一定不可能是（　　）

A．120° B．75° C．60° D．30°
【分析】分三種情形討論即可：a、當(dāng)點(diǎn)O為等腰三角形頂點(diǎn)．b、當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形頂點(diǎn)．C、當(dāng)點(diǎn)P為頂點(diǎn)．
【解析】當(dāng)點(diǎn)O為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，∠A＝75°，
當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，∠A＝120°，
當(dāng)點(diǎn)P為頂點(diǎn)時(shí)，∠A＝30°，
綜上，∠A的度數(shù)為30°或75°或120°，一定不可能等于60°，
故選：C．
7．（2019秋?江夏區(qū)期末）如圖，兩車(chē)從南北方向的路段AB的A端出發(fā)，分別向東、向西行進(jìn)相同的距離到達(dá)C、D兩地，若C與B的距離為a千米，則D與B的距離為（　?。?br />
A．a(chǎn)千米 B．12a千米 C．2a千米 D．無(wú)法確定
【分析】先根據(jù)題意得到AB垂直平分CD，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可判斷C，D到B的距離相等．
【解析】∵AB⊥CD，AC＝AD，
∴AB垂直平分CD，
∴BC＝BD＝a千米，
故選：A．
8．（2019秋?南岸區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于問(wèn)題：如圖1，已知∠AOB，只用直尺和圓規(guī)判斷∠AOB是否為直角？小意同學(xué)的方法如圖2：在OA、OB上分別取C、D，以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若測(cè)量得OE＝OD，則∠AOB＝90°．則小意同學(xué)判斷的依據(jù)是（　?。?br />
A．等角對(duì)等邊
B．線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩段距離相等
C．垂線段最短
D．等腰三角形“三線合一”
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【解析】由作圖可知，CE＝CD，
∵OE＝OD，
∴CO⊥ED（等腰三角形的三線合一），
∴∠AOB＝90°．
故選：D．
9．（2020秋?昌平區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是線段BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AC的延長(zhǎng)線上，且DE＝DF＝AD，點(diǎn)D從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，△BED周長(zhǎng)的變化規(guī)律是（　?。?br />
A．不變 B．一直變小
C．先變大后變小 D．先變小后變大
【分析】由“AAS”可證△BED≌△CDF，由全等三角形的性質(zhì)可得BD＝CF，BE＝CD，可得△BED周長(zhǎng)＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，即可求解．
【解析】∵AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，
∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴∠DEA+∠DFA＝60°，
∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，
∴∠EDB＝∠DFA，
∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，
∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，
∴△BDE≌△CFD（AAS），
∴BD＝CF，BE＝CD，
∴△BED周長(zhǎng)＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，
∴點(diǎn)D在BC邊上從B至C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
∴AD的長(zhǎng)先變小后變大，
∴△BED周長(zhǎng)先變小后變大，
故選：D．
10．（2020秋?封開(kāi)縣期末）如圖，等邊△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3.5cm，點(diǎn)P、Q分別為AB、AD上的兩個(gè)定點(diǎn)且BP＝AQ＝2cm，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E使PE+QE最短，則PE+QE的最小值為（　?。?br />
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q′，連接PQ′交BD于E，連接QE，此時(shí)PE+EQ的值最?。钚≈礟E+PQ＝PE+EQ′＝PQ′．
【解析】如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，
∴AD＝DC＝3.5cm，
作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q′，連接PQ′交BD于E，連接QE，此時(shí)PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝2cm，AD＝DC＝3.5cm，
∴QD＝DQ′＝1.5（cm），
∴CQ′＝BP＝2（cm），
∴AP＝AQ′＝5（cm），
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等邊三角形，
∴PQ′＝PA＝5（cm），
∴PE+QE的最小值為5cm．
故選：C．

二．填空題（共8小題，每題3分，滿(mǎn)分24分）
11．（2020秋?淮安區(qū)期末）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和4，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為　10?。?br /> 【分析】分2是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解．
【解析】①2是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能組成三角形；
②2是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為2、4、4，
能組成三角形，
周長(zhǎng)＝2+4+4＝10，
綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為10．
故答案為：10．
12．（2020秋?泰興市期末）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，△ABC的面積為60，AB＝16，BC＝14，則DE的長(zhǎng)等于　4?。?br />
【分析】作DF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF＝DE，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．
【解析】作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE，
∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC=12×AB×DE+12×BC×DF=12×(AB+BC)?DE=12×(16+14)?DE=60，
∴DF＝DE＝4．
故答案為：4．

13．（2020秋?灤州市期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD為BC邊上的高，且AD＝BD．則∠3＝　22.5　°．

【分析】求出∠ADB＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABD＝∠BAD＝45°，根據(jù)角平分線的定義求出∠2，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BEA＝∠ADB＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠2＝∠3即可．
【解析】∵AD為BC邊上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD=12（180°﹣∠ADB）＝45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2=12∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°＝∠ADB，
∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，
∴∠3＝∠2＝22.5°．
故答案為：22.5°．
14．（2020秋?歷城區(qū)期末）將一張長(zhǎng)方形紙片折疊成如圖所示的形狀，若∠CBD＝34°，則∠ABC＝　73°?。?br />
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠ABC即可．
【解析】如圖，由折疊的性質(zhì)可得：∠ABC'＝∠ABC，
∵∠ABC'+∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠ABC＝73°，
故答案為：73°．
15．（2021春?浦東新區(qū)期中）一張長(zhǎng)方形紙片沿直線AB折成如圖所示圖案，已知∠1＝50°，則∠OBA＝　65°　．

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出2∠OBA+∠1＝180°，代入∠1的度數(shù)即可得出答案．
【解答】解：由折疊可得出2∠OBA+∠1＝180°，
∵∠1＝50°，
∴∠OBA＝65°，
故答案為：65°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2019秋?雨花區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中MP，NO分別垂直平分AB，AC．若∠BAC＝106°，則∠PAO的度數(shù)是　32°?。?br />
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C＝74°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)得到∠PAB＝∠B，∠OAC＝∠C，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．
【解析】∵∠BAC＝106°，
∴∠B+∠C＝180°﹣106°＝74°，
∵M(jìn)P是線段AB的垂直平分線，
∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠B，
同理，∠OAC＝∠C，
∴∠PAO＝∠BAC﹣（∠PAB+∠OAC）＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝32°，
故答案為：32°．
17．（2020秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABD和△ABC關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng)，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分面積為　6?。?br />
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
【解答】解：∵△ABD和△ABC關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng)，
∴S△BEF＝S△CEF，
∴S陰＝S△ADC=12S△ABC＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
18．（2019秋?錦江區(qū)校級(jí)期末）如圖，等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為30cm，P、Q兩點(diǎn)分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以6cm/s的速度按順時(shí)針?lè)较蛟谌切蔚倪吷线\(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以14cm/s的速度按逆時(shí)針?lè)较蛟谌切蔚倪吷线\(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)第一次在三角形ABC的頂點(diǎn)處相遇的時(shí)間為t1，第二次在三角形ABC頂點(diǎn)處相遇的時(shí)間為t2，則t2＝　25s?。?br />
【分析】根據(jù)相遇問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系求得第一次兩點(diǎn)相遇的時(shí)間為1秒和以后每相遇一次的時(shí)間1.5秒，設(shè)P、Q相遇次數(shù)為n次，則當(dāng)6×1+6×1.5（n﹣1）＝10k（k為正整數(shù)）時(shí)，P、Q兩點(diǎn)就在三角形ABC的頂點(diǎn)處相遇，由此關(guān)系求得k的最小兩個(gè)整數(shù)，便可得t1和t2的值．
【解析】∵等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為30cm，
∴△ABC的邊長(zhǎng)為10cm，
由題意知，P、Q第一次時(shí)間為20÷（6+14）＝1（秒）
以后每隔30÷（6+14）＝1.5秒，P、Q就會(huì)相遇一次，
設(shè)P、Q相遇次數(shù)為n次，則
當(dāng)6×1+6×1.5（n﹣1）＝10k（k為正整數(shù)）時(shí)，P、Q兩點(diǎn)就在三角形ABC的頂點(diǎn)處相遇，
整理得，9n＝10k+3，
∴n=10k+39=k+k+39（k為正整數(shù)）
∴當(dāng)k＝6時(shí)，即n＝6+1＝7時(shí)，P、Q兩點(diǎn)第一次在三角形ABC的頂點(diǎn)處相遇，
則t1＝1+1.5（n﹣1）＝10（秒）；
當(dāng)k＝15時(shí)，即n＝15+2＝17時(shí)，P、Q兩點(diǎn)第二次在三角形ABC的頂點(diǎn)處相遇，
則t2＝1+1.5（n﹣1）＝25（秒）．
故答案為：25s．
三．解答題（共8小題，滿(mǎn)分66分）
19．（2020秋?市中區(qū)期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，4），B（4，2），C（3，5），請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形△A1B1C1．
（2）直接寫(xiě)出A1、B1、C1的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)且S△PAB＝4，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形△A1B1C1．
（2）結(jié)合（1）所畫(huà)圖形即可寫(xiě)出A1、B1、C1的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)且S△PAB＝4，利用割補(bǔ)法即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解析】（1）如圖，△A1B1C1即為所求；

（2）A1、B1、C1的坐標(biāo)分別為：（1，﹣4）、（4，﹣2）、（3，﹣5）；
（3）∵點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，
∴設(shè)P（0，y），
①如圖，點(diǎn)P在點(diǎn)A下方，作AM⊥y軸于點(diǎn)M，作BN⊥y軸于點(diǎn)N，

∴S△PAB＝S梯形AMNB﹣S△PAM﹣S△PBN
=12（1+4）×2-12×（4﹣y）×1-12×（2﹣y）×4
＝4，
解得y＝2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）；
②如圖，點(diǎn)P在點(diǎn)A上方，作AM⊥y軸于點(diǎn)M，作BN⊥y軸于點(diǎn)N，

∴S△PAB＝S△PBN﹣S△PAN﹣S△ABN
=12（y﹣2）×4-12×（y﹣2）×1-12×4×2
＝4，
解得y=223．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）或（0，223）．
20．（2020秋?射陽(yáng)縣期末）如圖，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，F(xiàn)G分別為AB，AC的垂直平分線，E，G分別為垂足．
（1）直接寫(xiě)出∠BAC的度數(shù)；
（2）求∠DAF的度數(shù)；
（3）若BC的長(zhǎng)為30，求△DAF的周長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案；
（3）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算．
【解析】（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；
（2）∵DE，F(xiàn)G分別為AB，AC的垂直平分線，
∴DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，
∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；
（3）△DAF的周長(zhǎng)＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．
21．（2020秋?丹徒區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．
（1）求證：CF＝EF；
（2）求∠EFB的度數(shù)．

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得BF＝CF，由直角三角形的性質(zhì)可證CF＝EF；
（2）由垂直平分線的性質(zhì)可證AE＝EC，由等腰三角形的性質(zhì)可求∠B＝∠ACB＝67.5°，即可求解．
【解析】證明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF，
又∵CE⊥AB，
∴CF＝EF；
（2）∵DE垂直平分AC，
∴AE＝EC，
又∵∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝∠EAC＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∵EF＝CF＝BF，
∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，
∴∠EFB＝45°．
22．（2020秋?興化市期末）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)M、D，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)N、E，△ADE的周長(zhǎng)是7．
（1）求BC的長(zhǎng)度；
（2）若∠B+∠C＝60°，則∠DAE度數(shù)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，EA＝EC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
【解析】（1）∵DM是線段AB的垂直平分線，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周長(zhǎng)為7，
∴DA+DE+EA＝7，
∴BC＝DA+DE+EC＝7；
（2）∠DAE度數(shù)是60°，
理由如下：∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠B+∠C＝60°，
∴∠ADE+∠AED＝2∠B+2∠C＝120°，
∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°．
23．（2019秋?永安市期末）已知，△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是AB、BC、AC上一點(diǎn)，且∠DEF＝60°．
（1）如圖1，若∠1＝50°，求∠2；
（2）如圖2，連接DF，若∠1＝∠3，求證：DF∥BC．

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和解答即可；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義以及平行線的判定解答即可．
【解析】（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，
∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，
∴∠2＝∠1＝50°；
（2）∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，
又∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∠1＝∠3，
∴∠FDE＝∠DEB，
∴DF∥BC．
24．（2020秋?洮北區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P關(guān)于OA、OB軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為C、D，連接CD，交OA于M，交OB于N．
（1）若CD的長(zhǎng)為18厘米，求△PMN的周長(zhǎng)；
（2）若∠C＝21°，∠D＝28°，求∠MPN的度數(shù)．

【分析】（1）直接利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線段關(guān)系即可得出答案；
（2）直接利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)角關(guān)系即可得出答案．
【解析】（1）∵點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為C、D，連接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM＝CM，ND＝NP，
∵△PMN的周長(zhǎng)＝PN+PM+MN，PN+PM+MN＝CD＝18cm，
∴△PMN的周長(zhǎng)為：18cm；

（2））∵P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)，
∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD，
∴CM＝PM，PN＝DN，
∴∠C＝∠MPC，∠D＝∠NPD，
∵∠PRM＝∠PTN＝90°，
∴在四邊形OTPR中，∠CPD+∠O＝180°，
∵∠D+∠C+∠CPD＝180°，
∴∠C+∠D＝∠O＝49°，
∴∠MPN＝180°﹣49°×2＝82°．

25．（2019秋?辛集市期末）如圖所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度是1厘米/秒的速度，點(diǎn)N的速度是2厘米/秒，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？
（2）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得等邊三角形△AMN？

【分析】（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M，N的運(yùn)動(dòng)路程，N的運(yùn)動(dòng)路程比M的運(yùn)動(dòng)路程多10cm，列出方程求解即可；
（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長(zhǎng)，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等邊三角形；
（3）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表示出CM，NB的長(zhǎng)，列出方程，可解出未知數(shù)的值．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，
x×1+10＝2x，
解得：x＝10；

（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，
∵三角形△AMN是等邊三角形，
∴t＝10﹣2t，
解得t=103，
∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)103秒后，可得到等邊三角形△AMN．

26．（2019秋?淶水縣期末）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等邊三角形△ACD，E為AC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，連接BD．
（1）如圖1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度數(shù)；
（2）如圖2，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)M，交EF于點(diǎn)N，連接BN．
①補(bǔ)全圖2；
②若BN＝DN，求證：MB＝MN．

【分析】（1）分別求出∠ADF，∠ADB，根據(jù)∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB計(jì)算即可；
（2）①根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可；
②設(shè)∠ACM＝∠BCM＝α，由AB＝AC，推出∠ABC＝∠ACB＝2α，可得∠NAC＝∠NCA＝α，∠DAN＝60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，根據(jù)∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，構(gòu)建方程求出α，再證明∠MNB＝∠MBN即可解決問(wèn)題；
【解析】（1）解：如圖1中，

在等邊三角形△ACD中，
∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC．
∵E為AC的中點(diǎn)，
∴∠ADE=12∠ADC＝30°，
∵AB＝AC，
∴AD＝AB，
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°，
∴∠ADB＝∠ABD＝10°，
∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°．

（2）①補(bǔ)全圖形，如圖所示．

②證明：連接AN．
∵CM平分∠ACB，
∴設(shè)∠ACM＝∠BCM＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α． 在等邊三角形△ACD中，
∵E為AC的中點(diǎn)，
∴DN⊥AC，
∴NA＝NC，
∴∠NAC＝∠NCA＝α，
∴∠DAN＝60°+α，
在△ABN 和△ADN 中，
AB=ADBN=DNAN=AN
∴△ABN≌△ADN（SSS），
∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，
∴∠BAC＝60°+2α，
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴60°+2α+2α+2 α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°，
∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°，
∴∠MNB＝∠MBN，
∴MB＝MN．