2021屆西藏自治區(qū)拉薩中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（文）試題  一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】，，因此，.故選：D.【點睛】本題考查交集的計算，同時也考查了一元二次不等式的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．復(fù)數(shù)(其中為虛數(shù)單位)，則（    ）A．5 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加法運算求得復(fù)數(shù)，然后利用模長公式求得模長.【詳解】.
故選：B.3．等差數(shù)列中，，則的值為（    ）A． B．C．10 D．20【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，所以.故選：A4．設(shè)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，再比較b，c即可.【詳解】因為，所以，又，且，，且，所以，所以，故選：B5．“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟融合、文化包容的命運共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019年，我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖，下列描述錯誤的是A．這五年，出口總額之和比進口總額之和大B．這五年，2015年出口額最少C．這五年，2019年進口增速最快D．這五年，出口增速前四年逐年下降【答案】D【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)的含義進行判斷即可.【詳解】對A項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額和進口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進口額，則A正確；對B項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額最少，則B正確；對C項，由統(tǒng)計圖可得，2019年進口增速都超過其余年份，則C正確；對D項，由統(tǒng)計圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯誤；故選：D【點睛】本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題.6．已知為任意角，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】說明命題和是否為真即可．【詳解】，則，因此“”是“”的必要不充分條件．故選：B．【點睛】本題考查充分必要條件的判斷，只要命題為真，則是的充分條件，是的必要條件．7．若向量，，且，則（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】由向量垂直關(guān)系求得x，代入求得兩向量和，從而求得模長.
 【詳解】因為，，，所以，解得，所以，即，故選：B.8．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是頂角為的等腰三角形，側(cè)視圖為直角三角形，則該三棱錐的表面積為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖，可知該三棱錐是底面為腰長為2?底為的等腰三角形，側(cè)面分別是兩個腰為2的等腰直角三角形和一個底為?高為的三角形，從而可求出其表面積【詳解】解：根據(jù)三視圖，知該三棱錐是底面為腰長為2?底為的等腰三角形，側(cè)面分別是兩個腰為2的等腰直角三角形和一個底為?高為的三角形，所以該三棱錐的表面積為，故選：A.9．宋元時期，中國數(shù)學(xué)鼎盛時期中杰出的數(shù)學(xué)家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、楊﹝輝﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家．朱世杰平生勤力研習(xí)《九章算術(shù)》，旁通其它各種算法，成為元代著名數(shù)學(xué)家．他全面繼承了前人數(shù)學(xué)成果，既吸收了北方的天元術(shù)，又吸收了南方的正負開方術(shù)、各種日用算法及通俗歌訣，在此基礎(chǔ)上進行了創(chuàng)造性的研究，寫成以總結(jié)和普及當(dāng)時各種數(shù)學(xué)知識為宗旨的《算學(xué)啟蒙》，其中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長四尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等．如圖，是源于其思想的一個程序框圖．若輸入的分別為，，則輸出的（    ）A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【分析】按流程圖逐一執(zhí)行即可.【詳解】輸入的分別為，時，依次執(zhí)行程序框圖可得：不成立不成立不成立成立輸出故選C【點睛】本題主要考查了程序框圖知識，考查讀圖能力及計算能力，屬于基礎(chǔ)題.10．直角梯形中，∥,，，直線截該梯形所得的位于左邊的圖形面積為,則函數(shù)的圖象大致為     A． B． C． D．【答案】C【詳解】法一：由圖可得 ，從而判斷出選項C才是正確選項.法二：由面積的變化率可得正確選項為C.【點睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的圖像和分段函數(shù)，涉及分類討論思想、函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，以及邏輯思維能力、轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力,具有一定的綜合性，屬于中檔題型. 法一：分析已知條件的而圖形變化規(guī)律建立 ，再根據(jù)方程篩選答案.法二：由面積的變化率先快后穩(wěn)可得正確選項為C.11．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，是直線與的一個交點，若，則A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)與x軸的交點為M，過Q向準(zhǔn)線作垂線，垂足為N，由，可得，又，根據(jù)拋物線的定義即可得出.【詳解】設(shè)與x軸的交點為M，過Q向準(zhǔn)線作垂線，垂足為N，，，又，，，.故選：A.【點睛】本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)、向量的共線，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.12．已知函數(shù)的定義域為，若對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，在上單調(diào)遞減，將不等式兩邊同時乘以，變形為，不妨設(shè)，則，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義可知，若使得對任意的，恒成立，則需恒成立，即，求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，即函數(shù)在上單調(diào)遞減.變形為即不妨設(shè)，則，即令則若使得對任意的，恒成立.則需恒成立.則恒成立.即恒成立.所以.即實數(shù)的取值范圍是.故選：B【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，等價變形，構(gòu)造新函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵，本題屬于難題.  二、填空題13．若變量滿足約束條件，則的最小值為__________．【答案】【分析】先畫出二元一次不等式所表示的可行域，目標(biāo)函數(shù)為截距形，，直線的截距越大，值越小，可見最優(yōu)解為，則的最小值為.【點睛】請在此輸入點睛！【詳解】請在此輸入詳解！14．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，則數(shù)列{n}的公比為_________________.【答案】2【分析】根據(jù)等比數(shù)列每一項與首項、公比的關(guān)系，代入解得公比即可.【詳解】設(shè)公比為q，由，得，
因為各項均為正數(shù)，所以，
由，得，
解得，
故答案為：215．已知，是雙曲線的兩個焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線的兩條漸近線交于，，，四個點，若這四個點與，兩點恰好是一個正六邊形的頂點，則該雙曲線的離心率為________．【答案】2．【分析】分析雙曲線的焦點位置，由正六邊形的性質(zhì)得出可得出，再由公式可計算出雙曲線的離心率.【詳解】由正六邊形的圖形特征知，若雙曲線焦點在軸上，且為雙曲線的右焦點，以為直徑的圓與漸近線在第一象限的交點為，則為等邊三角形，則雙曲線斜率為正的漸近線的傾斜角為，，此時，雙曲線的離心率為；綜上所述，雙曲線的離心率為，故答案為.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的求解，解題的關(guān)鍵就是要分析幾何圖形的特征，求出漸近線的斜率，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.16．已知函數(shù)在上連續(xù)，對任意都有；在中任意取兩個不相等的實數(shù)，都有恒成立；若，則實數(shù)的取值范圍是_____________．【答案】【分析】利用函數(shù)的對稱性，由可知函數(shù)關(guān)于直線對稱，然后再根據(jù)所得性質(zhì)構(gòu)造函數(shù)，最后把進行單調(diào)性轉(zhuǎn)化，整理出不等式，最后求解，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由可知函數(shù)關(guān)于直線對稱；在中任意取兩個不相等的實數(shù)，都有恒成立；可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由對稱性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則由可得，整理得，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是．答案為：【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性與構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用，難點在于根據(jù)已有的函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，屬于難題. 三、解答題17．的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)正余弦定理邊角互化即可得，進而得.（2）由正弦定理得，，進而得，由于三角形是銳角三角形，故，進而得周長的取值范圍為.【詳解】解：（1）解法一：由已知，得.由正弦定理，得，即，∵，∴.∵，∴∵，∴.解法二：結(jié)合余弦定理，化簡得∴∵，∴.（2），且，，∴，∴.因為為銳角三角形，所以得，得.∴即周長的取值范圍為.【點睛】本題考查解三角形，解題的關(guān)鍵在于邊角互化，考查運算能力，是中檔題.18．某校在一次期末數(shù)學(xué)測試中，為統(tǒng)計學(xué)生的考試情況，從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨機抽取50名學(xué)生的考試成績，被測學(xué)生成績?nèi)拷橛?/span>65分到145分之間(滿分150分)，將統(tǒng)計結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，，第二組，，第八組，，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分. （1）求第七組的頻率，并完成頻率分布直方圖；（2）用樣本數(shù)據(jù)估計該校的2000名學(xué)生這次考試成績的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表該組數(shù)據(jù)平均值)；（3）若從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機抽取2名，求他們的分差的絕對值小于10分的概率.【答案】（1）0.08，圖見解析；（2）102；（3）.【分析】（1）由頻率和為1，求得第七組的頻率，并補全頻率分布直方圖；（2）利用平均數(shù)求解公式，用樣本數(shù)據(jù)估計該校的2000名學(xué)生這次考試成績的平均分即可.（3）樣本成績屬于第六組的有人，樣本成績屬于第八組的有人，求得基本事件總數(shù)和分差的絕對值小于10分包含的基本事件個數(shù)，從而求得概率.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：.完成頻率分布直方圖如下：(2)用樣本數(shù)據(jù)估計該校的2000名學(xué)生這次考試成績的平均分為：(3)樣本成績屬于第六組的有人，設(shè)為a，b，c，樣本成績屬于第八組的有人，設(shè)為d，e，從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機抽取2名，基本事件為(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，則總數(shù)，他們的分差的絕對值小于10分包含的基本事件為：(a,b)，(a,c)，(b,c)，(d,e)，其個數(shù)，他們的分差的絕對值小于10分的概率.19．如圖，已知面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，（1）求證：面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析.（2）【分析】（1）推導(dǎo)出平面，，，由此能證明面．（2）三棱錐的體積，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：（1）面，四邊形為矩形，平面，平面，，四邊形為直角梯形，，，，，，，，，面，面，面．（2）面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，，平面，點到平面的距離為，，三棱錐的體積：．【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．20．已知橢圓：（）的兩個焦點是，，且離心率.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作橢圓的一條切線交圓：于，兩點，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本小題根據(jù)題意先求，，，再求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）本小題先設(shè)切線方程，再根據(jù)點到直線的距離公式與弦長公式表示出三角形的面積，最后求最值即可.【詳解】解：（1）由題可知，，，∴ ，又∵ ，∴ .∴ 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由已知可知，切線的斜率存在，否則不能形成.設(shè)切線的方程為，聯(lián)立，整理得：，則，化簡得：，則.點到直線的距離，所以，即，故的面積為 ∵，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，則，即面積的最大值為.【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點到直線的距離公式、弦長公式以及函數(shù)的最值等問題，是偏難題.21．已知函數(shù)，.（1）若點為函數(shù)與圖象的唯一公共點，且兩曲線存在以點為切點的公共切線，求的值；（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意可知，與圖象的在唯一公共點處的切線相同，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義有，，可以解得a的值；（2）通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點情況，導(dǎo)數(shù)中含有參數(shù)，需對參數(shù)分類討論求解即可.【詳解】（1）由題意可知，與圖象的在唯一公共點處的切線相同，又因為，，所以，，即，由可得或，由點唯一可得或，即或，由及，可得，綜上可得，；（2）由，則，（i）若即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為時，，且，故要使得有2個零點，只有即，當(dāng)時，只有一個零點，故（ii）若，即時，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，不符合題意；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時，，且，，故要使得有2個零點，則，即，令，，則，故在上單調(diào)遞增，且，故在上恒成立，不可能有2個零點，③當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故不可能有2個零點，綜上22．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點的極坐標(biāo)為，點在曲線上，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）【詳解】試題分析：（1）設(shè)出P的極坐標(biāo)，然后由題意得出極坐標(biāo)方程，最后轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為；（2）利用（1）中的結(jié)論，設(shè)出點的極坐標(biāo)，然后結(jié)合面積公式得到面積的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值為.試題解析：解：（1）設(shè)P的極坐標(biāo)為（）（＞0），M的極坐標(biāo)為（）由題設(shè)知|OP|=，=.由|OP|=16得的極坐標(biāo)方程因此的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)點B的極坐標(biāo)為 （）.由題設(shè)知|OA|=2，，于是△OAB面積當(dāng)時， S取得最大值.所以△OAB面積的最大值為.點睛:本題考查了極坐標(biāo)方程的求法及應(yīng)用，重點考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力.在求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解，或者直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解.要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程.23．已知，，設(shè)函數(shù)，.（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為1，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）利用零點分段法，求出各段的取值范圍然后取并集可得結(jié)果.（2）利用絕對值三角不等式可得，然后使用柯西不等式可得結(jié)果.【詳解】（1）由，所以由當(dāng)時，則所以當(dāng)時，則當(dāng)時，則綜上所述：（2）由當(dāng)且僅當(dāng)時取等號所以由，所以所以令根據(jù)柯西不等式，則當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號由故，又則【點睛】本題考查使用零點分段法求解絕對值不等式以及柯西不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題. 

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