2022屆云南省昆明一中、寧夏銀川一中高三下學(xué)期聯(lián)合考試一模數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則B中所含元素的個數(shù)為（       ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】根據(jù)集合B的形式，逐個驗證的值，從而可求出集合B中的元素.【詳解】時，，3，4，時，，3，時，， 時，無滿足條件的值；故共6個，故選：D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則z=（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則計算可得；【詳解】解：因為，所以；故選：A3．已知在平行四邊形ABCD中，，，對角線AC與BD相交于點M，（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量加法的幾何意義可得，應(yīng)用向量線性運算的坐標表示，即可求的坐標.【詳解】由題設(shè)，.故選：D.4．線性回歸分析模型中，變量X與Y的一組樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的點均在直線上，表示解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻率，則（       ）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)判斷即可【詳解】因為樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的點在一條直線上，所以，故選：C.5．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，直角三角形中較小的銳角為θ，那么（       ）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】先求得直角三角形的直角邊，由此求得，進而求得.【詳解】由題意可知，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為1，設(shè)圖中直角三角形較短的直角邊長為，可得出直角三角形較長的直角邊長為，由勾股定理可得，解得，，所以，因此，.故選：A6．已知雙曲線C：的焦點為，，以為直徑的圓交一條漸近線于點，則雙曲線的方程為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圓直徑的性質(zhì)以及雙曲線的幾何性質(zhì)解題.【詳解】由題可知：為直角三角形，所以，而，所以，，所以雙曲線方程為，故選：B7．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程．比如在表達式中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值，它可以通過方程解得，類比上述方法，則（       ）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】可設(shè)，得出，注意到，解出即可．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，于是得出，其中，對等式兩邊平方，得，即，解得（舍）或.故選：C．8．設(shè)函數(shù)的最大值為a，最小值為b，則(       )A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】利用分類常數(shù)法化簡f(x)解析式為，根據(jù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求解.【詳解】∵，函數(shù)為奇函數(shù)，由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，∴，從而，故選：D．9．設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，若，則（       ）A．198 B．388 C．776 D．2021【答案】B【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合等差中項的性質(zhì)求得，進而應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式求.【詳解】由得：，即，所以.故選：B.10．在長方體中，，為棱的中點，則（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知可得與相似，進而可得平面，從而可得.【詳解】連結(jié)，，因為，所以，所以與相似，所以，所以，即：，所以平面，所以.故選：B.【點睛】本題考查簡單幾何體，線面垂直得線線垂直，屬于基礎(chǔ)題.11．設(shè)拋物線C：的焦點為F，準線為l，點A為C上一點，以F為圓心，FA為半徑的圓交l于B，D兩點，若，△ABD的面積為，則（       ）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】畫出圖形，由題意可得為等邊三角形，可得∥,，，然后由△ABD的面積為，列方程可求出【詳解】如圖，設(shè)準線與軸交于點，因為，，所以,所以，因為，所以為等邊三角形，所以，所以,所以∥,，所以，，由拋物線定義，點到準線的距離，所以，所以，故選：A．12．已知球O的半徑，圓錐在球O內(nèi)，則圓錐的體積的最大值為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓錐的高為h，圓錐的底面半徑為r，即可表示出圓錐的體積，又，即可得到，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得解；【詳解】解：設(shè)圓錐的高為h，圓錐的底面半徑為r，要使圓錐的體積盡可能大，則，則，而，所以，所以，令，解得或，所以當時，當時，所以當時取得最大值，所以；故選：A.二、填空題13．若實數(shù)x，y滿足，則的最大值為___________.【答案】【分析】利用直線截距求目標函數(shù)的最大值.【詳解】如圖，由得，聯(lián)立解得點B為，由圖可知直線平移過點時z最大，此時.故答案為：314．若數(shù)列滿足，則數(shù)列前15項的和_________．【答案】3【分析】由，裂項相消求和即可【詳解】因為，所以．故答案為：3.15．已知函數(shù)，若時，取得極值0，則___________.【答案】【分析】由題意可得，列方程組可求出，然后再檢驗時，函數(shù)是否能取得極值，即可得答案【詳解】由，得，因為時，取得極值0，所以，，解得或，當時，，此時函數(shù)在在處取不到極值，經(jīng)檢驗時，函數(shù)在處取得極值，所以，所以.故答案為：1816．已知實數(shù)滿足：，，，則的最大值為______．【答案】【分析】結(jié)合圓的性質(zhì)、點到直線距離公式求得所求的最大值.【詳解】的值轉(zhuǎn)化為單位圓上的兩點到直線的距離之和，由得：，所以三角形是等腰直角三角形，設(shè)是的中點，則，且，則在以點為圓心，半徑為的圓上，，兩點到直線的距離之和為的中點到直線的距離的兩倍.到直線的距離為，所以到直線的距離的最大值為，所以的最大值為．故答案為：.三、解答題17．某學(xué)校利用假期開展“互聯(lián)網(wǎng)+教育”活動，為了解學(xué)生一周內(nèi)利用網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)時長，采用隨機抽樣的方法，得到該校100名學(xué)生一周的學(xué)習(xí)時長（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如下：(1)求圖中m的值；(2)估計該校學(xué)生一周學(xué)習(xí)時長的中位數(shù)；(3)從圖中，這兩組中采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求抽取的2人恰在同一組的概率【答案】(1)(2)中位數(shù)為240分鐘(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1得到方程，即可求出參數(shù)的值；（2）設(shè)該校學(xué)生一周學(xué)習(xí)時長的中位數(shù)為，首先判斷，再根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)的計算規(guī)則得到方程，解出即可；（3）按照分層抽樣可知圖中內(nèi)抽取4人，記為A，B，C，D，在內(nèi)抽取2人，記為E，F，用列舉法列出所有可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；(1)解：依題意，解得；(2)解：設(shè)該校學(xué)生一周學(xué)習(xí)時長的中位數(shù)為，由頻率分布直方圖可知，，解得，該校學(xué)生周學(xué)習(xí)時長的中位數(shù)為240分鐘.(3)解：按照分層抽樣可知在內(nèi)抽取4人，記為A，B，C，D，在內(nèi)抽取2人，記為E，F，從這六名學(xué)生中隨機抽取兩名的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共種等可能的取法，其中抽取的2人恰在同一組的有，，，，，，共種取法，所以抽取的2人恰在同一組的概率為.18．在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知：，且.(1)求A的大小；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件及正弦定理進行角化邊，然后利用余弦定理，可得出結(jié)合角的范圍，進而可以得出角的大?。?/span>（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，可由，求出，代入已知得出，利用二倍角公式，可得，再利用兩角差的正弦公式即可求解.(1)根據(jù)正弦定理，由得：，又因為，所以，由余弦定理得：；又因為，所以.(2)因為，所以，因為為鈍角，所以為銳角，所以，于是，，所以..19．如圖，在四棱柱中，底面ABCD為菱形，其對角線AC與BD相交于點O，，.(1)證明：平面ABCD；(2)求三棱錐與三棱錐組成的幾何體的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，，可證明，再證明，從而可證明結(jié)論.（2）由，可得答案.(1)連接，，由題意，，，，知與為全等三角形，所以，故.不妨設(shè)，則，，，在中由余弦定理可得，故，在中，，故，AO與BD相交于點O，且AO與BD都包含于平面ABCD，所以平面.(2)由（1）可知，，，所以，三棱錐與三棱錐組成的幾何體的體積為.20．已知函數(shù)在處的切線為.(1)求實數(shù)a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)用表示不超過實數(shù)t的最大整數(shù)，如：，，若時，，求的最大值.【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)2【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，再分析最值的范圍即可的解.(1)函數(shù)的定義域，因為，由已知得：，所以，由得，由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)時，不等式等價于，令，所以，由（1）得在上單調(diào)遞增，又因為，，所以在上有唯一零點，且，當時，，當時，，所以的最小值為，由得，所以，由于，所以，因為，所以的最大值為2.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)零點的存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性可確定在上有唯一零點，設(shè)零點，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定的最小值為，再根據(jù)函數(shù)零點的定義得出，進而求出是解題的關(guān)鍵所在.21．如圖，已知橢圓，曲線與軸的交點為，過坐標原點的直線與相交于、，直線、分別與交于點、.(1)證明：以為直徑的圓經(jīng)過點；(2)記、的面積分別為、，若，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用斜率公式結(jié)合韋達定理計算得出，可得出，即可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)的斜率為，則的方程為，將直線的方程分別與曲線、的方程聯(lián)立，可求得點、的坐標，同理可得出點、的坐標，可求得、，進而可得出的表達式，利用基本不等式可求得的取值范圍.(1)證明：若直線的斜率不存在，則該直線與軸重合，此時直線與曲線只有一個交點，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.由得，設(shè)、，則、是上述方程的兩個實根，于是，.又因為點，所以，所以，即，所以為直徑的圓經(jīng)過點.(2)解：由已知，設(shè)的斜率為，則的方程為，由解得或，則點的坐標為，又直線的斜率為，同理可得點的坐標為.所以，由得，解得或，則點的坐標為，又直線的斜率為，同理可得點的坐標，于是，因此，當時，即當時，等號成立，所以，所以的取值范圍為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.22．在直角坐標系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（k為參數(shù)）．設(shè)與的交點為M，當m變化時，M的軌跡為曲線C．(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)直線：，求與C的交點的極坐標．【答案】(1)（除，兩點）(2)，【分析】（1）消去參數(shù)得與的普通方程，再消去即可得出C的普通方程；（2）得出的極坐標方程，與曲線C的極坐標方程聯(lián)立求得交點即可.(1)由直線的參數(shù)方程，消去參數(shù)得的普通方程：；由直線的參數(shù)方程，消去參數(shù)得的普通方程：．設(shè)，由題設(shè)得，消去m得．所以的普通方程為（除，兩點）．(2)的極坐標方程為（除，兩點），直線的極坐標方程為（），聯(lián)立得，由于原點也在曲線C上，所以與C的交點有兩個點，交點的極坐標為，．23．設(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小值；(2)記函數(shù)的最小值為m，若a，b，c為正數(shù)，且，求的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)分類討論即可得f(x)最小值；(2)根據(jù)柯西不等式不等式即可求解.(1)由當x＜－1時，f(x)＞3；當－1≤x<時，<f(x)≤3；當x≥時，f(x)≥，∴函數(shù)的最小值為；(2)由(1)得，∴由柯西不等式可得：，當且僅當時取等號，∴的最大值是． 

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