1．二次函數(shù)與線段的和差在x軸上是否存在點(diǎn)P，使PB+PA最短？若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出最小值。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。【方法技巧】（將軍飲馬模型）在兩定點(diǎn)中任選一個(gè)點(diǎn)(為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，常常取軸上的點(diǎn))，求出該點(diǎn)關(guān)于題中的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的那條直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把此對(duì)稱點(diǎn)與余下定點(diǎn)相連，那么此直線與在x軸上的交點(diǎn)既是點(diǎn)P。2．二次函數(shù)與周長(zhǎng)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAD的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。注意到AD是定線段，其長(zhǎng)度是個(gè)定值，因此只需PA+PD最小。3．二次函數(shù)與距離在直線BD下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線BD的距離最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出最大距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.因?yàn)?/span>BD是定線段，點(diǎn)P到直線BD的距離最大，意味著△BDP的面積最大4．二次函數(shù)與面積① 三角形面積最值：找公共邊、平移、表示面積② 四邊形面積最值：設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，采用公式法或割補(bǔ)法表示四邊形面積（1）在直線BD下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，將△PBD分割成2個(gè)同底的三角形，則：(y上動(dòng)-y下動(dòng))(x右定-x左定)（2）在直線BD下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使四邊形DOBP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出四邊形面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。四邊形DOBP是不規(guī)則圖形，通常用割補(bǔ)法求解，則：或（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S△PBC=2S△ABD？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,t2-2t-3)后，把到圖形△ABD的面積算出，借助于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)把動(dòng)三角形PBC的面積表示出來(lái)，再代入已知中的面積等式求解即可。  題型一：函數(shù)與最值問(wèn)題【例1】（2021·山東）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為A．（1）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)（用含有字母m的代數(shù)式表示）；（2）若點(diǎn)，在拋物線上，且，則m的取值范圍是          ；（直接寫出結(jié)果即可）（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最小值等于6，求m的值．       題型二：函數(shù)與線段、周長(zhǎng)問(wèn)題【例2】（2021·四川）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），連結(jié)BC、BE、CE．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）判斷△BCE的形狀，并說(shuō)明理由；（3）如圖2，以C為圓心，為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點(diǎn)P，使得BP＋EP的值最小，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．      【例3】（2021·黑龍江）如圖，拋物線與軸交于除原點(diǎn)和點(diǎn)，且其頂點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線的對(duì)稱軸上存在定點(diǎn)，使得拋物線上的任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離總相等．①證明上述結(jié)論并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)．證明：當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，是定值，并求出該定值；（3）點(diǎn)是該拋物線上的一點(diǎn)，在軸，軸上分別找點(diǎn)，使四邊形周長(zhǎng)最小，直接寫出的坐標(biāo)．           題型三：函數(shù)與三角形面積【例4】（2021·湖南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的邊與y軸交于E點(diǎn)，F是的中點(diǎn)，B、C、D的坐標(biāo)分別為．（1）求過(guò)B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）試判斷拋物線的頂點(diǎn)是否在直線上；（3）設(shè)過(guò)F與平行的直線交y軸于Q，M是線段之間的動(dòng)點(diǎn)，射線與拋物線交于另一點(diǎn)P，當(dāng)的面積最大時(shí)，求P的坐標(biāo)．             題型四：函數(shù)與四邊形面積【例5】（2021·四川）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，，．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P，使四邊形PBAC的面積最大．求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）在（2）的結(jié)論下，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q．使點(diǎn)P、B、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在．請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．               1．（2021·甘肅）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)．點(diǎn)為直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為分別交直線于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)，連接，求的面積；（3）①是軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②在①的條件下，第一象限有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，求周長(zhǎng)的最小值．          2．（2021·福建）已知拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．（1）若拋物線過(guò)點(diǎn)，求的最小值；（2）已知點(diǎn)中恰有兩點(diǎn)在拋物線上．①求拋物線的解析式；②設(shè)直線l：與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線上，且，過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和于點(diǎn)B，C．求證：與的面積相等．       3．（2020?衡陽(yáng)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），（2，0）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，y的最大值與最小值的差；（3）一次函數(shù)y＝（2﹣m）x+2﹣m的圖象與二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范圍．   4．（2021·天津）已知拋物線（a，c為常數(shù)，）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，若，求該拋物線的解析式；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作直線l平行于x軸，是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，是直線l上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)a為何值時(shí)，的最小值為，并求此時(shí)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．      5．（2021·江蘇）如圖，二次函數(shù)（是實(shí)數(shù)，且）的圖像與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)位于第一象限，且在對(duì)稱軸上，，點(diǎn)在軸的正半軸上，．連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接．（1）求、、三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含的式子表示）；（2）已知點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)的周長(zhǎng)的最小值等于，求的值．
    6．（2020?涼山州）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+x的圖象過(guò)O（0，0）、A（1，0）、B（，）三點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若線段OB的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)C，與二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分相交于點(diǎn)D，求直線CD的解析式；（3）在直線CD下方的二次函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交直線CD于Q，當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．     7．（2020?杭州）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是實(shí)數(shù)，a≠0）．（1）若函數(shù)y1的對(duì)稱軸為直線x＝3，且函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a，b），求函數(shù)y1的表達(dá)式．（2）若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（r，0），其中r≠0，求證：函數(shù)y2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，0）．（3）設(shè)函數(shù)y1和函數(shù)y2的最小值分別為m和n，若m+n＝0，求m，n的值．        8．（2020?安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2），B（2，3），C（2，1），直線y＝x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，拋物線y＝ax2+bx+1恰好經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)中的兩點(diǎn)．（1）判斷點(diǎn)B是否在直線y＝x+m上，并說(shuō)明理由；（2）求a，b的值；（3）平移拋物線y＝ax2+bx+1，使其頂點(diǎn)仍在直線y＝x+m上，求平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值．                       9．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，點(diǎn)，在軸上，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，且與直線交于另一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）為軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為，連接，．探究是否存在最小值．若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．          10．（2020?武威）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OA＝2OC＝8OB．點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）若PC∥AB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接AC，求△PAC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．   11．（2020?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且A點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），直線BC的解析式為yx+2．（1）求拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，EB，BD，DC．求四邊形BECD面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）將拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移個(gè)單位，已知點(diǎn)M為拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為平移后的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．在（2）中，當(dāng)四邊形BECD的面積最大時(shí)，是否存在以A，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
 

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