專題5.21 《相交線與平行線》幾何模型之綜合探究壓軸題-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題5.21 《相交線與平行線》幾何模型之綜合探究壓軸題
（專項(xiàng)練習(xí)）
一、填空題
1．請(qǐng)閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識(shí)點(diǎn)時(shí)的一段筆記，然后解決問(wèn)題.
小明:老師說(shuō)在解決有關(guān)平行線的問(wèn)題時(shí)，如果無(wú)法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來(lái)幫助解答，今天老師介紹了一個(gè)“美味”的模型一“豬蹄模型”.即

已知:如圖1，，為、之間一點(diǎn)，連接，得到.

求證:
小明筆記上寫出的證明過(guò)程如下:
證明:過(guò)點(diǎn)作，
∴
∵，
∴
∴.
∵
∴
請(qǐng)你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個(gè)問(wèn)題.
（1）如圖，若，，則___________.

（2）如圖，，平分，平分，，則___________.

二、解答題
2．探究題
學(xué)習(xí)近平行線的性質(zhì)與判定之后，我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以幫我們解決許多問(wèn)題．
小明遇到了下面的問(wèn)題：如圖1，，點(diǎn)P在、內(nèi)部，探究，，的關(guān)系小明過(guò)點(diǎn)P作的平行線，可證，，之間的數(shù)量關(guān)系是：
______．
如圖2，若，點(diǎn)P在AC、BD外部，，，的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？
請(qǐng)你補(bǔ)全下面的證明過(guò)程．
過(guò)點(diǎn)P作．
______

____________
______

______．
隨著以后的學(xué)習(xí)你還會(huì)發(fā)現(xiàn)平行線的許多用途．
試構(gòu)造平行線解決以下問(wèn)題：
已知：如圖3，三角形ABC，求證：．

3．學(xué)習(xí)完平行線的性質(zhì)與判定之后，我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以幫我們解決許多問(wèn)題．
（1）小明遇到了下面的問(wèn)題：如圖l1∥l2，點(diǎn)P在l1、l2內(nèi)部，探究∠A，∠APB，∠B的關(guān)系．小明過(guò)點(diǎn)P作l1的平行線，可得到∠APB，∠A，∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：∠APB=________________.
（2）如圖2，若AC∥BD，點(diǎn)P在AC、BD外部，∠A，∠B，∠APB的數(shù)量關(guān)系如何？
為此，小明進(jìn)行了下面不完整的推理證明.請(qǐng)將這個(gè)證明過(guò)程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)內(nèi)填上依據(jù)．過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC．
∴∠A=∠APE（________________________________）
∵AC∥BD，
∴BD∥PE（________________________________）
∴∠B=∠BPE，
∵∠APB=∠BPE-∠APE，
∴∠APB=________________.（________________）
（3）隨著以后的學(xué)習(xí)你還會(huì)發(fā)現(xiàn)平行線的許多用途．如圖3，在小學(xué)中我們已知道，三角形ABC中，∠A+∠B+∠C=180°．試構(gòu)造平行線說(shuō)明理由.

4．學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)和判定后,我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以幫助我們解決許多問(wèn)題.

（1）小明遇到下面的問(wèn)題:如圖1, ∥,點(diǎn)在的內(nèi)部,探究的關(guān)系,小明過(guò)點(diǎn)作的平行線，可證之間的關(guān)系是:= .
（2）如圖2. , 點(diǎn)在的外部，的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出證明過(guò)程.
（3）隨著以后的學(xué)習(xí)你還會(huì)發(fā)現(xiàn)平行線的許多用途.試構(gòu)造平行線解決以下問(wèn)題：已知，如圖3，三角形.求證： .
5．課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化功能.
（1）問(wèn)題情景：如圖1，已知點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接、，求的度數(shù).

天天同學(xué)看過(guò)圖形后立即想出：，請(qǐng)你補(bǔ)全他的推理過(guò)程.
解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作，∴ ， .
又∵，∴.
解題反思：從上面的推理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問(wèn)題得以解決.
（2）問(wèn)題遷移：如圖2，，求的度數(shù).
（3）方法運(yùn)用：如圖3，，點(diǎn)在的右側(cè)，，點(diǎn)在的左側(cè)，，平分，平分，、所在的直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在與兩條平行線之間，求的度數(shù).
6．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：婷婷在一本書上看到這樣一道題，如圖1，l1//l2，點(diǎn)P在l1、l2內(nèi)部，求證：∠APB=∠A+∠B。
解答過(guò)程如下：
證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P做PE//l1，
∵l1//l2，
∴PE//l1//l2
∴APE=∠A，∠BPE=∠B，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠A+∠B
聰明的婷婷發(fā)現(xiàn)：構(gòu)造這樣一條平行線可以是問(wèn)題簡(jiǎn)單、明了，那么請(qǐng)你根據(jù)這個(gè)問(wèn)題的解決方法，解決下列問(wèn)題：
（1）如圖2，若AC//BD，點(diǎn)P在AC、BD外部，求證：∠APB=∠B-∠A（提示：可過(guò)點(diǎn)P作PE//AC）
（2）隨著以后的學(xué)習(xí)你還會(huì)發(fā)現(xiàn)平行線的許多用途,構(gòu)造平行線解決以下問(wèn)題：
已知：如圖3，ΔABC，求證：∠A+∠B+∠C =180°.

7．學(xué)習(xí)完平行線的性質(zhì)與判定后，我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以解決許多問(wèn)題.
(1)小明遇到了下面的問(wèn)題:如圖1，直線l1//l2，點(diǎn)P在l1、l2內(nèi)部，試探究∠A、∠APB、∠B之間的數(shù)量關(guān)系。小明過(guò)點(diǎn)P作l1的平行線，可證∠A、∠APB、∠B之間的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)你寫出小明具體的證明過(guò)程.
(2)隨著以后的學(xué)習(xí)你還會(huì)發(fā)現(xiàn)平行線的許多用途，試構(gòu)造平行線解決以下問(wèn)題:如圖2，已知三角形ABC，求證:∠A+∠B+∠C=180°.

8．（問(wèn)題情景）通過(guò)作平行線來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化是我們常用到的方法．
如圖1，在△ABC中，DE∥BC分別交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=2，BE=4，求BC+DE的值．我們可以過(guò)點(diǎn)D作BE的平行線（如圖2），也可過(guò)點(diǎn)E作CD的平行線解決問(wèn)題．
（問(wèn)題解決）（1）請(qǐng)回答：BC+DE的值為　?。?br /> （類比探究）（2）如圖3，已知?ABCD和矩形ABEF，AC與DF交于點(diǎn)G，AC=BF=DF，參考上述思考問(wèn)題的方法，求∠AGF的度數(shù)．

（遷移應(yīng)用）（3）如圖4，已知：AB、CD交于E點(diǎn)，連接AD、BC，AD=3，BC=1．且∠B與∠D互為余角，∠A與∠C互為補(bǔ)角，則∠AED= 度，若CD=，求AB的長(zhǎng)．

9．問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)來(lái)求∠APC．
(1)按小明的思路，請(qǐng)你求出∠APC的度數(shù)；
(2)問(wèn)題遷移：如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當(dāng)點(diǎn)P在B，D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠APC與α，β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)聯(lián)想拓展：在(2)的條件下，如果點(diǎn)P在B，D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)O，B，D三點(diǎn)不重合)，請(qǐng)直接寫出∠APC與α，β之間的數(shù)量關(guān)系；
(4)解決問(wèn)題：我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以幫我們解決許多問(wèn)題，隨著以后的學(xué)習(xí)你還會(huì)發(fā)現(xiàn)平行線的許多用途．試構(gòu)造平行線解決以下問(wèn)題．
已知：如圖3，三角形ABC，求證：∠A+∠B+∠C＝180°

10．學(xué)習(xí)完平行線的性質(zhì)與判定之后，我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以幫我們解決許多問(wèn)題．
（1）小明遇到了下面的問(wèn)題：如圖，，點(diǎn)在、內(nèi)部，探究，，的關(guān)系，小明過(guò)點(diǎn)作的平行線，可推出，，之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你補(bǔ)全下面的推理過(guò)程，并在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)睦碛桑?br /> 解：過(guò)點(diǎn)作，

，（）

（2）如圖，若，點(diǎn)在、外部，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，小明過(guò)點(diǎn)作，請(qǐng)仿照問(wèn)寫出推理過(guò)程．

11．如圖，中，按要求解答下列問(wèn)題：
（1）尺規(guī)作圖：（保留作圖痕跡，不必寫作法與證明）
①作的平分線交于點(diǎn)D；
②過(guò)點(diǎn)D作的平行線交于點(diǎn)E；
（2）根據(jù)作出的正確圖形，判定的形狀是________．

12．（1）讀讀做做：平行線是平面幾何中最基本、也是非常重要的圖形．在解決某些平面幾何問(wèn)題時(shí)，若能依據(jù)問(wèn)題的需要，添加恰當(dāng)?shù)钠叫芯€，往往能使證明順暢、簡(jiǎn)潔．請(qǐng)根據(jù)上述思想解決教材中的問(wèn)題：如圖①，AB∥CD，則∠B+∠D　　∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；
（2）倒過(guò)來(lái)想：寫出（1）中命題的逆命題，判斷逆命題的真假并說(shuō)明理由．
（3）靈活應(yīng)用：如圖②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分線上取兩個(gè)點(diǎn)M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求證：∠CAM＝∠BAN．

13．（數(shù)學(xué)閱讀）在數(shù)學(xué)課上，老師出了這樣一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖，直線，現(xiàn)想在直線、之間作一條直線平行于直線、，并且使直線上的點(diǎn)到直線、之間的距離相等．小明做了如下操作：分別作、的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線、的平行線，過(guò)點(diǎn)分別作直線、、的垂線，垂足分別為、、，此時(shí)直線上的點(diǎn)到直線、的距離相等．
　　
（知識(shí)運(yùn)用）
（1）試說(shuō)明：；
（理解應(yīng)用）
（2）若，，直線交于點(diǎn)．試問(wèn)的度數(shù)為，是三角形；周長(zhǎng)為；
（問(wèn)題遷移）
（3）若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．如圖，連接，將折疊，頂點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，點(diǎn)剛好落在其中的一條平行線上，試求的度數(shù)．
14．問(wèn)題情境：
我們知道，“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，所以在某些探究性問(wèn)題中通過(guò)“構(gòu)造平行線”可以起到轉(zhuǎn)化的作用．
已知三角板中，，長(zhǎng)方形中，．
問(wèn)題初探：
（1）如圖（1），若將三角板的頂點(diǎn)放在長(zhǎng)方形的邊上，與相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，求的度數(shù)．
分析：過(guò)點(diǎn)作，則有，從而得，從而可以求得的度數(shù)．
由分析得，請(qǐng)你直接寫出：的度數(shù)為_(kāi)___________，的度數(shù)為_(kāi)__________．
類比再探：
（3）若將三角板按圖（2）所示方式擺放（與不垂直），請(qǐng)你猜想寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

15．探究題：學(xué)完平行線的性質(zhì)與判定之后，我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以幫我們解決許多問(wèn)題．
（1）小明遇到了下面的問(wèn)題：如圖1，，點(diǎn)在內(nèi)部，探究之間的關(guān)系．小明過(guò)點(diǎn)作的平行線，可證得之間的數(shù)量關(guān)系是：．

（2）如圖2，若，點(diǎn)在的外部，之間的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

（3）試構(gòu)造平行線解決以下問(wèn)題：如圖3，一條河流的兩岸當(dāng)小船行駛到河中點(diǎn)時(shí)，與兩岸碼頭所形成的夾角為即)，當(dāng)小船行駛到河中點(diǎn)時(shí)，恰好滿足請(qǐng)你求出此時(shí)點(diǎn)與碼頭所形成的夾角的度數(shù)．

16．利用平行線的性質(zhì)探究：
如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成①②③④四個(gè)部分，規(guī)定線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接PA、PB，構(gòu)成∠PAC、∠APB、∠PBD三個(gè)角．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，小明同學(xué)在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系時(shí)，利用圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BD，得出結(jié)論：∠APB=∠PAC+∠PBD．請(qǐng)你參考小明的方法解決下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，在圖2中畫出圖形，寫出∠PAC、∠APB、∠PBD三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③、第④部分時(shí)，在圖3、圖4中畫出圖形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并選擇其中一種情形加以證明．

17．已知：如圖，AC∥BD，折線AMB夾在兩條平行線間．(1)判斷∠M，∠A，∠B的關(guān)系；(2)請(qǐng)你嘗試改變問(wèn)題中的某些條件，探索相應(yīng)的結(jié)論．建議：①折線中折線段數(shù)量增加到n條(n＝3，4，…)；
②可如圖1，圖2，或M點(diǎn)在平行線外側(cè)．

18．問(wèn)題情境：我市某中學(xué)班級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組遇到問(wèn)題：如圖1，AB∥，，，求度數(shù)．
經(jīng)過(guò)討論形成的思路是：如圖2，過(guò)P作∥，通過(guò)平行線性質(zhì)，可求得度數(shù)．
（1）按該數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的思路，請(qǐng)你幫忙求出度數(shù)；
（2）問(wèn)題遷移：如圖3，∥，點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，，．請(qǐng)你判斷、、之間有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；
（3）拓展應(yīng)用：如圖4，已知兩條直線∥，點(diǎn)在兩平行線之間，且的平分線與的平分線相交于點(diǎn)Q，求的度數(shù)．

19．課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．
閱讀理解：
如圖1，已知點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接，，求的度數(shù)．
　　　　　　
（1）閱讀并補(bǔ)充下面推理過(guò)程．
解：過(guò)點(diǎn)作
，__________．
__________

解題反思：從上面的推理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問(wèn)題得以解決．
方法運(yùn)用：
（2）如圖2，已知，試說(shuō)明：（提示：過(guò)點(diǎn)做）．
深化拓展：
（3）已知，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，．平分，平分，，所在的直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在與兩條平行線之間．
①如圖3，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，若，則的度數(shù)為_(kāi)_______．
②如圖4，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，且，．若，則的度數(shù)為_(kāi)_______．（用含的代數(shù)式表示）
20．問(wèn)題情境：如圖1，，，，求的度數(shù)．
　　
小明的思路是：如圖2，過(guò)作，通過(guò)平行線性質(zhì)，可得______．
問(wèn)題遷移：如圖3，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，，．
（1）當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，、、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如果點(diǎn)在、兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)與點(diǎn)、、三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出、、之間有何數(shù)量關(guān)系．

參考答案
1．240° 51°
【分析】
（1）作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得AB∥EM∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，然后利用等量代換計(jì)算∠B+∠F+∠C；
（2）分別過(guò)G、H作AB的平行線MN和RS，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用∠ABG和∠DCG分別表示出∠H和∠G，從而可找到∠H和∠G的關(guān)系，結(jié)合條件可求得∠H．
【詳解】
（1）解：作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，

AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，
∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF +180°，
∵，
∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°；
（2）解：如圖，分別過(guò)G、H作AB的平行線MN和RS，

∵平分，平分，
∴∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，
∴∠BHC=180°-∠RHB-∠SHC=180°-(∠ABG+∠DCG)，
∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG-180°，
∴∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC，
又∵∠BGC=∠BHC+27°，
∴180°-2∠BHC=∠BHC+27°，
∴∠BHC =51°．
故答案為：（1）240°；（2）51°．
【點(diǎn)撥】
本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．
2．（1）；（2）；PE；BD；；；（3）證明見(jiàn)解析．
【分析】
如圖，過(guò)P作，根據(jù)平行線性質(zhì)得，，
；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作．由平行線性質(zhì)得：，，；
(3) 如圖3，過(guò)點(diǎn)A作，由平行線性質(zhì)得，，，．
【詳解】
如圖，過(guò)P作，

，
，
，，
，
故答案為．
如圖2，過(guò)點(diǎn)P作．

，
，
，
，
，
；
故答案為，PE，BD，，；
證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作，

，，
，
．
【點(diǎn)撥】
本題考核知識(shí)點(diǎn)：平行線的性質(zhì).解題關(guān)鍵點(diǎn)：作平行線，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)．
3．（1）∠APB=∠A+∠B；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠APB，∠A，∠B之間的數(shù)量關(guān)系；（2）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC，易知BD∥PE，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠A=∠APE，∠B=∠BPE等量代換可得結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)A作直線DE∥BC，由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，由平角的定義知∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，等量代換即可.
【詳解】
解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC．

∴∠A=∠APE
∵AC∥BD
∴BD∥PE
∴∠B=∠BPE
∵∠APB=∠BPE+∠APE，
∴∠APB=∠A+∠B
所以∠APB，∠A，∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：∠APB=∠A+∠B
（2）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC．
∴∠A=∠APE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵AC∥BD，
∴BD∥PE（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條件直線也平行）
∴∠B=∠BPE，
∵∠APB=∠BPE-∠APE，
∴∠APB=∠B-∠A．（等量代換）
（3）過(guò)點(diǎn)A作直線DE∥BC，
∵DE∥BC.
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代換）

【點(diǎn)撥】
本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)造平行線將角進(jìn)行拆分或合并是解題的關(guān)鍵.
4．（1）；（2）發(fā)生了變化，見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠APB與∠A、∠B的關(guān)系．
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)即可求出答案．
（3）過(guò)點(diǎn)作∥，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出答案．
【詳解】
解：
（1）（1）∵l1∥PE∥l2，

∴∠A=∠APE，∠B=∠BPE，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠A+∠B；
（2）發(fā)生了變化.理由如下：

過(guò)點(diǎn)作∥,又∥，則∥∥
∴
∴
即
（3）過(guò)點(diǎn)作∥

∴
∵
∴.

【點(diǎn)撥】
本題考查了平行的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)與三角形的外角性質(zhì)，本題屬于中等題型．
5．（1）∠EAB，∠DAC；（2）360°；（3）65°
【分析】
（1）根據(jù)平行線性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF；（2）過(guò)C作CF∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)可得；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線定義可得∠ABE=∠ABC=30°，∠CDE=∠ADC=35°，故∠BED=∠BEF+∠DEF.
【詳解】
（1）根據(jù)平行線性質(zhì)可得：因?yàn)?，所以∠EAB，∠DAC；

（2）過(guò)C作CF∥AB，
∵AB∥DE，∴CF∥DE∥AB，
∴∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，
∴∠B+∠BCD+∠D=360°，
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，
∴∠ABE=∠ABC=30°，∠CDE=∠ADC=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．
【點(diǎn)撥】
考核知識(shí)點(diǎn)：平行線性質(zhì)和角平分線定義.作輔助線構(gòu)造平行線是關(guān)鍵.
6．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠1，∠B=∠EPB，進(jìn)而得出∠APB=∠B-∠A；
（2）過(guò)點(diǎn)A作MN∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)即可．
【詳解】
解：（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC．
∴∠A=∠1，
∵AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠B=∠EPB，
∵∠APB=∠EPB-∠1，
∴∠APB=∠B-∠A；
（2）證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作MN∥BC，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BAC+∠1+∠2=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．

【點(diǎn)撥】
本題考查平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角．
7．（1）∠APB =∠A+∠B；（2）見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）過(guò)P作PE∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠APE=∠A，∠BPE=∠B，據(jù)此可得∠APB=∠APE+∠BPE=∠A+∠B；
（2）過(guò)點(diǎn)A作MN∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)即可．
【詳解】
（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE//l1 ，
因?yàn)閘1//l2，
所以PE//l1//l2，
所以∠APE=∠A，∠BPE=∠B，
所以∠APB=∠APE+∠BPE=∠A+∠B；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作MN//BC，
所以∠B=∠1，∠C=∠2，
因?yàn)椤螧AC+∠1+∠2=180°，
所以∠BAC+∠B+∠C=180°.

【點(diǎn)撥】
本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角．
8．（1）BC+DE=；（2）60°；（3）45°；7
【分析】
（1）由可證得四邊形BEDF是平行四邊形，即可得DF=BE=4，DE=BF，即可得,然后利用勾股定理,求得的值；
（2）首先連接AE，CE，由四邊形ABCD是平行四邊形,四邊形ABEF是矩形，易證得四邊形DCEF是平行四邊形，繼而證得是等邊三角形,則可求得答案；
（3）首先得出∠AED+∠BEC+90°+180°＝360°，進(jìn)而得出∠AED+∠BEC＝90°最后求出∠AED的度數(shù)；以CD、CB為鄰邊作平行四邊形BCDM，連接AM，得出∠ABM＝∠AED＝45°，再求出∠ADM ＝135°，然后過(guò)A作AP⊥DM交DM的延長(zhǎng)線于P，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB于N，再根據(jù)勾股定理得出結(jié)果．
【詳解】
解：（1）解:，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴DF=BE=4，DE=BF，
，
，
，
∴BC+DE=．
（2）連接AE，CE，如圖．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABEF是矩形，
∴AB∥DC，AB∥FE，BF＝AE．
∴DC∥FE．
∴四邊形DCEF是平行四邊形，
∴CE∥DF．
∵AC＝BF＝DF，
∴AC＝AE＝CE．
∴△ACE是等邊三角形．
∴∠ACE＝60°
∵CE∥DF，
∴∠AGF＝∠ACE＝60°．
（3）①∵∠D+∠B＝90°，∠A+∠C＝180°，∠A+∠D+∠AED＝180°，
∠B+∠C+∠BEC＝180°，
∴∠A+∠D+∠AED+∠B+∠C+∠BEC＝360°．
∴∠AED+∠BEC+90°+180°＝360°．
∴∠AED+∠BEC＝90°．
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠AED＝∠BEC＝45°．
故答案為：45°
②以CD、CB為鄰邊作平行四邊形BCDM，連接AM，如圖，
∵四邊形BCDF是平行四邊形，
∴BM＝DC＝4，DM＝BC＝1，∠DMB＝∠C＝180°﹣∠DAB，DC∥BM．
∴∠ABM＝∠AED＝45°
在四邊形ABMD中，
∵∠DAB+∠ABM+∠BMD+∠ADM＝360°，∠DMB＝180°﹣∠DAB，∠ABM＝45°，
∴∠ADM ＝135°
過(guò)A作AP⊥DM交DM的延長(zhǎng)線于P，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB于N．
∵AD=，∠ADP=45o
∴AP=DP=3，DM=1
∴PM=4
在Rt△AMP中，AM=5
在Rt△BMN中，
∵CD=BM=，∠ABM=45o
∴BN=MN=4
在Rt△AMN中，AN=3．
∴AB＝7．
∴AB的長(zhǎng)為7．

【點(diǎn)撥】
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理.注意掌握輔助線的作法.
9．(1)∠APC＝110°； (2)∠APC＝α+β，理由見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析；(4)證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)來(lái)求∠APC．
（2）過(guò)P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分兩種情況：P在BD延長(zhǎng)線上；P在DB延長(zhǎng)線上，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（4）作平行線，構(gòu)建平角，可得結(jié)論．
【詳解】
(1)如圖1，過(guò)P作PE∥AB，

∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°；
(2)∠APC＝α+β，
理由是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB＝α，∠CPE＝∠PCD＝β，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β，
(3)如圖3，所示，當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，

過(guò)P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠1＝∠PAB＝α，
∵∠1＝∠APC+∠PCD
∴∠APC＝∠1﹣∠PCD，
∴∠APC＝α﹣β，
如圖4所示，當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，

同理可得：∠APC＝β﹣α，
(4)證明：如圖5，過(guò)點(diǎn)A作MN∥BC
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BAC+∠1+∠2＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．

【點(diǎn)撥】
本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用、三角形內(nèi)角和定理的證明、外角的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，第3問(wèn)在解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．
10．（1）；；；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；；（2），推理過(guò)程見(jiàn)詳解
【分析】
（1）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，據(jù)此得出；
（2）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出．
【詳解】
解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

故答案為：；；；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；；
（2），理由如下：
如圖2，過(guò)點(diǎn)作
∵
∴
∴
∴
∴．
【點(diǎn)撥】
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線的判定與性質(zhì)，掌握平行線的判定定理以及平行線的性質(zhì)內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
11．（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）等腰三角形
【分析】
（1）以點(diǎn)B為圓心任意長(zhǎng)為半徑，畫弧交BA，BC與兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)的距離一半為半徑再畫弧交于交ABC內(nèi)部一點(diǎn)，以B為端點(diǎn)作射線交AC與D，作，交AB與點(diǎn)E，可得即可；
（2）由就是所求的的角平分線，可得∠ABD=∠CBD，由，可得∠EDB=∠CBD利用傳遞性質(zhì)可得∠EBD=∠EDB利用等角對(duì)等邊得EB=ED即可．
【詳解】
（1）以點(diǎn)B為圓心任意長(zhǎng)為半徑，畫弧交BA，BC與兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)的距離一半為半徑再畫弧交于交ABC內(nèi)部一點(diǎn)，以B為端點(diǎn)作射線交AC與D，
如圖，就是所求的的角平分線，

作，交AB與點(diǎn)E，則，
就是所求作的．
（2）∵就是所求的的角平分線，
∴∠ABD=∠CBD，
∵，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，
為等腰三角形．
故答案為：等腰三角形．
【點(diǎn)撥】
本題考查尺規(guī)作圖，角平分線，平行線，等腰三角形，掌握尺規(guī)作圖的方法，角平分線作圖的步驟，會(huì)利用作一角等于已知角作平行線，等腰三角形判定方法是解題關(guān)鍵．
12．（1）=；（2）若∠B+∠D＝∠BED，則AB∥CD，該逆命題為真命題，見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析
【分析】
(1）過(guò)E作EF∥AB，則EF∥AB∥CD，由平行線的性質(zhì)得出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，即可得出結(jié)論；
（2）過(guò)E作EF∥AB，則∠B＝∠BEF，證出∠D＝∠DEF，得出EF∥CD，即可得出結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)N作NG∥AB，交AM于點(diǎn)G，則NG∥AB∥CD，由平行線的性質(zhì)得出∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性質(zhì)得出∠AMN＝∠ACM+∠CAM，證出∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，得出∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，由角平分線得出∠ACM＝∠NCD，即可得出結(jié)論．
【詳解】
（1）解：過(guò)E作EF∥AB，如圖①所示：
則EF∥AB∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+∠D＝∠BED；
故答案為：＝；

（2）解：逆命題為：若∠B+∠D＝∠BED，則AB∥CD；
該逆命題為真命題；理由如下：
過(guò)E作EF∥AB，如圖①所示：
則∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，
∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，
∴∠D＝∠DEF，
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD；
（3）證明：過(guò)點(diǎn)N作NG∥AB，交AM于點(diǎn)G，如圖②所示：
則NG∥AB∥CD，
∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠AMN是△ACM的一個(gè)外角，
∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，
又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，
∵CN平分∠ACD，
∴∠ACM＝∠NCD，
∴∠CAM＝∠BAN．

【點(diǎn)撥】
本題考查了命題與定理、平行線的性質(zhì)與判定、逆命題、三角形的外角性質(zhì)、角平分線定義等知識(shí)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，作出輔助平行線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
13．（1）見(jiàn)解析；（2），等邊，；（3）當(dāng)落在上時(shí)：；當(dāng)落在上時(shí)：．
【分析】
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，得出；
（2）由平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，由三角形的內(nèi)角和即可求得的度數(shù)；由平角的定義得出，根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)等邊的三角形的判定定理得出是等邊三角形；等邊三角形的周長(zhǎng)等于，代入即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意分兩種情況討論，當(dāng)落在上時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出FP⊥AB，由三角形的內(nèi)角和即可求得的度數(shù)；當(dāng)落在上時(shí)，由折疊的性質(zhì)可得，由平行的性質(zhì)得出，由三角形的內(nèi)角和即可求得的度數(shù)；
【詳解】
解：（1）∵EG平分、GM⊥AB，GH⊥EF，
∴ GM＝GH
∵GF平分，GH⊥EF，GN⊥CD，
∴ GH＝GN
∴
（2）∵ AB//CD，
∴ ，
∵ EG平分，GF平分，
∴，
∴ 在三角形中，；
∵ ，
∴，
∵ AB//，
∴，
∵EG平分，
∴，
∴是等邊三角形；
∴的周長(zhǎng)，
∵，
∴的周長(zhǎng)為9．
故答案為：；等邊；；
（3）當(dāng)落在上時(shí)，如圖1，
由折疊的性質(zhì)可得FP⊥AB，即∠EPF＝90°，
∵，
∴．
當(dāng)落在上時(shí)，如圖2，
由折疊的性質(zhì)可得，
又∵ AB//CD，
∴，
∴，
∵
∴．

【點(diǎn)撥】
本題考查了角平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形折疊的性質(zhì)，掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
14．（1）30°，60°；（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由見(jiàn)解析
【分析】
（1）利用∠CAF=∠BAF-∠BAC求出∠CAF度數(shù)，求∠EMC度數(shù)轉(zhuǎn)化到∠MCH度數(shù)；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CH∥GF，得到CH∥DE，∠CAF與∠EMC轉(zhuǎn)化到∠ACH和∠MCH中，從而發(fā)現(xiàn)∠CAF、∠EMC與∠ACB的數(shù)量關(guān)系．
【詳解】
（1）過(guò)點(diǎn)C作CH∥GF，則有CH∥DE，
所以∠CAF=∠HCA，∠EMC=∠MCH，
∵∠BAF=90°，
∴∠CAF=90°-60°=30°．
∠MCH=90°-∠HCA=60°，
∴∠EMC=60°．
故答案為30°，60°．
（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由如下：
過(guò)點(diǎn)C作CH∥GF，則∠CAF=∠ACH．
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE．
∴∠EMC=∠HCM．
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°．

【點(diǎn)撥】
考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記并靈活運(yùn)用其性質(zhì)和判定．
15．（1）；（2）會(huì)發(fā)生變化，，證明見(jiàn)解析；（3）
【分析】
（1）如圖4，根據(jù)平行公理的推論可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APQ=∠A，∠BPQ=∠B，然后根據(jù)角的和差即得結(jié)論；
（2）如圖5，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行公理的推論可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；
（3）如圖6，過(guò)點(diǎn)分別作與相交于點(diǎn)，根據(jù)平行公理的推論可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角的和差可得，進(jìn)而可得結(jié)果．
【詳解】
解：（1）如圖4，∵，，
∴，
∴∠APQ=∠A，∠BPQ=∠B，
∴∠APB=∠APQ+∠BPQ=．
故答案為：；

（2）會(huì)發(fā)生變化，．
證明：如圖5，過(guò)點(diǎn)作，則，
，
，
，
，
即；

（3）如圖6，過(guò)點(diǎn)分別作與相交于點(diǎn)

，∴，
，
，
即；
．
【點(diǎn)撥】
本題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理的推論和三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，正確添加輔助線、熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí),∠APB=360°-（∠PAC+∠PBD）；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí),∠PAC=∠APB+∠PBD；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第④部分時(shí)，∠PAC =∠APB+∠PBD．
【分析】
（1）在第②部分和和第①部分是同樣的結(jié)論，可以畫圖得到結(jié)論．
（2）可分別畫出圖形，作出輔助線證明結(jié)論．
【詳解】
解：（1）如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí),∠APB=360°-（∠PAC+∠PBD）；

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí), ∠PAC=∠APB+∠PBD；
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第④部分時(shí)，∠PAC =∠APB+∠PBD．
證明：如圖，∵∠PAC=∠AEB，
∠AEB=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC= ∠APB +∠PBD．

【點(diǎn)撥】
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的性質(zhì).
17．見(jiàn)解析
【解析】
試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)M作ME∥AC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
（2）根據(jù)題意可假設(shè)點(diǎn)M在平行線外，畫出圖形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解．
試題解析：
（1）過(guò)點(diǎn)M作ME∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥BD∥ME，
如圖1所示：
∵AC∥ME，
∴∠A=∠1，
∵BD∥ME，
∴∠B=∠2，
∴∠1+∠2=∠A+∠B，即∠AMB=∠A+∠B；
如圖2所示：
∵AC∥ME，
∴∠A+∠3=180°，
∵BD∥ME，
∴∠B+∠4=180°，
∴∠A+∠B+∠3+∠4=360°，即∠A+∠B=360°-∠AMB；
（2）如圖③所示：
延長(zhǎng)CA交BM于點(diǎn)E，
∵AC∥BD，
∴∠B=∠AEM，
∵∠CAM是△AEM的外角，
∴∠M+∠B=∠CAM．

【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，熟練掌握和運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
18．（1）110°；（2）∠CPD＝＋β，見(jiàn)解析；（3）360°
【分析】
（1）過(guò)P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過(guò)平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°+60°=110°．
（2）過(guò)P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）由（1）可得，
再進(jìn)行代入求解即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，

∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD．
∴∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝180°
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝110°．
（2）∠CPD＝＋β，
理由如下：如圖3，過(guò)P作PE∥AD交CD于E．

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠DPE＝，∠CPE＝β，
∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝＋β．
（3）由（1）可得，
又QE平分，QF平分
∴
∴

【點(diǎn)撥】
本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角．
19．（1）∠DAC;（2）見(jiàn)解析（3）①65②215°?n
【分析】
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)C作CF∥AB根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D+∠FCD=180°，∠B＝∠BCF，然后根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論；
（3）①過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求∠BED的度數(shù)；
②∠BED的度數(shù)改變．過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，先由角平分線的定義可得：∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝35°，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等及同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得：∠BEF＝180°?∠ABE＝180°?n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，進(jìn)而可求∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝180°?n°＋35°＝215°?n°．
【詳解】
（1）過(guò)點(diǎn)作
，∠DAC．

故答案為：∠DAC;；
（2）如圖2，過(guò)C作CF∥AB，

∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D+∠FCD=180°，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF，
∵=∠FCD+∠BCF，
∴=；
即；
（3）①如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝30°＋35°＝65°；
故答案為：65；
②如圖4，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝35°
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°?∠ABE＝180°?n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝180°?n°＋35°＝215°?n°．
故答案為：215°?n．

【點(diǎn)撥】
此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推算．
20．；（1）；理由見(jiàn)解析；（2）當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，．
【分析】
問(wèn)題情境：理由平行于同一條直線的兩條直線平行得到 PE∥AB∥CD，通過(guò)平行線性質(zhì)來(lái)求∠APC．

（1）過(guò)點(diǎn)作，得到理由平行線的性質(zhì)得到，，即可得到
（2）分情況討論當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間，以及點(diǎn)在射線上時(shí)，兩種情況，然后構(gòu)造平行線，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，通過(guò)推理即可得到答案．
【詳解】
解：?jiǎn)栴}情境：

∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°；
（1）
過(guò)點(diǎn)作.

又因?yàn)?所以
則，
所以
（2）情況1:如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間時(shí)

過(guò)P作PE∥AD，交ON于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β
情況2：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，

過(guò)P作PE∥AD，交ON于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α
【點(diǎn)撥】本題主要借助輔助線構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理．

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