2021屆上海市位育中學(xué)高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是．A． B． C． D．【答案】B【詳解】A、定義域，，不是奇函數(shù)；B、定義域，，奇函數(shù)；C、定義域，，不是奇函數(shù)；D、定義域，，偶函數(shù)，不是奇函數(shù)；故選B．2．若已知極限則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】因?yàn)?/span>對(duì)分子分母同時(shí)除以，再求極限即可【詳解】因?yàn)?/span>所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查極限的運(yùn)算，對(duì)目標(biāo)式的合理化簡(jiǎn)是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3．如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中下列判斷錯(cuò)誤的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意還原正方體，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征和異面直線的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，還原正方體，如圖所示，連接，可得，又由，所以，所以A正確；由正方體的結(jié)構(gòu)特征，可知，所以B正確；因?yàn)?/span>,為在平面上的射影，所以，所以C正確；根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征和異面直線的定義，可得與是異面直線，所以D錯(cuò)誤.故選：D. 4．設(shè)向量，，其中，則下列判斷錯(cuò)誤的是A．向量與軸正方向的夾角為定值（與、之值無(wú)關(guān)）B．的最大值為C．與夾角的最大值為D．的最大值為l【答案】B【分析】在A中，取z軸的正方向向量，求出與的夾角即可判斷命題正確；在B中，計(jì)算，利用不等式求出最大值即可判斷命題錯(cuò)誤；在C中，利用數(shù)量積求出與的夾角的最大值，即可判斷命題正確；在D中，利用不等式求出最大值即可判斷命題正確．【詳解】解：由向量，，其中，知：
在A中，設(shè)z軸正方向的方向向量，
向量與z軸正方向的夾角的余弦值：，
∴向量與z軸正方向的夾角為定值45°（與c，d之值無(wú)關(guān)），故A正確；
在B中，，
且僅當(dāng)a＝c，b＝d時(shí)取等號(hào)，因此的最大值為1，故B錯(cuò)誤；
在C中，由B可得：，
，
∴與的夾角的最大值為，故C正確；
在D中，，
∴ad?bc的最大值為1．故D正確．
故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．  二、填空題5．拋物線的準(zhǔn)線方程為__________.【答案】【詳解】，拋物線的準(zhǔn)線方程為，故答案為.6．若函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)________.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題. 已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個(gè)，一是利用：（1）奇函數(shù)由 恒成立求解，（2）偶函數(shù)由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函數(shù)一般由 或求解，偶函數(shù)一般由求解，用特殊法求解參數(shù)后，一定要注意驗(yàn)證奇偶性.7．若函數(shù)的反函數(shù)為，則函數(shù)的零點(diǎn)為________.【答案】【詳解】 由得，反函數(shù)，令，得或（舍去），函數(shù)的零點(diǎn)為,故答案為.8．在銳角三角形中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若，則角A的大小為________.【答案】【分析】利用余弦定理與同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可【詳解】由，兩邊同除以得，由余弦定理可得是銳角，，故答案為：.9．若的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的最小值為_________.【答案】5【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令，時(shí)，有最小值，故答案為.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題. 二項(xiàng)展開式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.10．某單位年初有兩輛車參加某種事故保險(xiǎn)，對(duì)在當(dāng)年內(nèi)發(fā)生此種事故的每輛車，單位均可獲賠（假設(shè)每輛車最多只獲一次賠償）.設(shè)這兩輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為和，且各車是否發(fā)生事故相互獨(dú)立，則一年內(nèi)該單位在此種保險(xiǎn)中獲賠的概率為_________（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.【答案】【詳解】因?yàn)檫@兩輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為和，所以這兩輛車在一年內(nèi)不發(fā)生此種事故的概率分別為和，兩輛車在一年內(nèi)都不發(fā)生此種事故的概率為，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式可得一年內(nèi)該單位在此種保險(xiǎn)中獲賠的概率為，故答案為.11．已知無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng),公比為q,且有,則首項(xiàng)的取值范圍是______【答案】【分析】由可得一定存在,分別討論和的情況,進(jìn)而求解即可【詳解】因?yàn)?/span>,所以一定存在,所以或,當(dāng)時(shí),,所以；當(dāng)時(shí),由得,所以,所以,所以且,綜上,且或故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)窮等比數(shù)列的應(yīng)用,考查數(shù)列的極限12．若球的表面積為，平面與球心的距離為，則平面截球所得的圓面面積為__________．【答案】【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得：，設(shè)截面圓的半徑為，則,則平面截球所得的圓面面積.13．2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同學(xué)恰好被其中2所高校錄取，那么不同的錄取方法有______種【答案】1518【分析】解決這個(gè)問(wèn)題得分三步完成，第一步把三個(gè)學(xué)生分成兩組，第二步從23所學(xué)校中取兩個(gè)學(xué)校，第三步，把學(xué)生分到兩個(gè)學(xué)校中，再用乘法原理求解【詳解】解：由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，解決這個(gè)問(wèn)題得分三步完成，第一步把三個(gè)學(xué)生分成兩組，第二步從23所學(xué)校中取兩個(gè)學(xué)校，第三步，把學(xué)生分到兩個(gè)學(xué)校中，共有，故答案為1518．【點(diǎn)睛】本題考查分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是把完成題目分成三步，看清每一步所包含的結(jié)果數(shù)，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．14．設(shè)，若圓（）與直線有交點(diǎn)，則的最小值為________【答案】【分析】根據(jù)直線與圓相交，可得圓心到直線的距離小于等于半徑，列出不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，又圓（）與直線有交點(diǎn)，所以，使得圓心到直線的距離恒成立，即恒成立，其中，又，所以的最小值為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓位置關(guān)系，直線與圓有交點(diǎn)，只需圓心到直線的距離小于等于半徑即可，屬于常考題型.15．已知復(fù)數(shù)集合，其中為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)所形成圖形的面積為________【答案】【分析】先由復(fù)數(shù)的幾何意義確定集合所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，再確定集合所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)所形成圖形即為集合與集合所對(duì)應(yīng)區(qū)域的重疊部分，結(jié)合圖像求出面積即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)集合，所以集合所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)?/span>與所圍成的正方形區(qū)域；又，設(shè)，且,,，所以，設(shè)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，所以，又,，所以，因?yàn)閺?fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)所形成圖形即為集合與集合所對(duì)應(yīng)區(qū)域的重疊部分，如圖中陰影部分所示，由題意及圖像易知：陰影部分為正八邊形，只需用集合所對(duì)應(yīng)的正方形區(qū)域的面積減去四個(gè)小三角形的面積即可.由得，由得，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考復(fù)數(shù)的幾何意義，以及不等式組所表示平面區(qū)域問(wèn)題，熟記復(fù)數(shù)的幾何意義，靈活掌握不等式組所表示的區(qū)域即可，屬于?？碱}型.16．已知正方形邊長(zhǎng)為，若在正方形邊上恰有個(gè)不同的點(diǎn)，使，則的取值范圍為_____________.【答案】【分析】建立坐標(biāo)系，逐段分析?的取值范圍及對(duì)應(yīng)的解得答案．【詳解】以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖：則F（0，2），E（8，4）（1）若P在AB上，設(shè)P（x，0），0≤x≤8∴（﹣x，2），（8﹣x，4）∴?x2﹣8x+8，∵x∈[0，8]，∴﹣8?8，∴當(dāng)λ＝﹣8時(shí)有一解，當(dāng)﹣8＜λ≤8時(shí)有兩解；（2）若P在AD上，設(shè)P（0，y），0＜y≤8，∴（0，2﹣y），（8，4﹣y）∴?（2﹣y）（4﹣y）＝y2﹣6y+8∵0＜y≤8，∴﹣1?24∴當(dāng)λ＝﹣1或8＜λ＜24時(shí)有唯一解；當(dāng)﹣1＜λ≤8時(shí)有兩解（3）若P在DC上，設(shè)P（x，8），0＜x≤8∴（﹣x，﹣6），（8﹣x，﹣4），∴?x2﹣8x+24，∵0＜x≤8，∴8?24，∴當(dāng)λ＝8時(shí)有一解，當(dāng)8＜λ≤24時(shí)有兩解．（4）若P在BC上，設(shè)P（8，y），0＜y＜8，∴（﹣8，2﹣y），（0，4﹣y），∴?（2﹣y）?（4﹣y）＝y2﹣6y+8∵0＜y＜8，∴﹣1?24，∴當(dāng)λ＝﹣1或8＜λ＜24時(shí)有一解，當(dāng)﹣1＜λ≤8時(shí)有兩解．綜上，在正方形ABCD的四條邊上有且只有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得?λ成立，那么λ的取值范圍是（﹣1，8）故答案為（﹣1，8）【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，分類討論思想，屬難題． 三、解答題17．如圖，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，高等于3，點(diǎn)為所在線段的三等分點(diǎn).（1）請(qǐng)直接寫出此三棱柱的體積和三棱錐的體積；（2）求異面直線、所成的角的大小.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根據(jù)底面是等腰直角三角形，高等于3，利用柱體體積公式求解；利用等體積法由求解；（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得的坐標(biāo)，設(shè)異面直線、所成的角為，由求解.【詳解】（1）因?yàn)榈酌媸堑妊苯侨切危?/span>，，高等于3，所以此三棱柱的體積 ，三棱錐；（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)異面直線、所成的角為，所以，因?yàn)?/span>，所以 .18．已知曲線：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，設(shè)P是曲線上的任意一點(diǎn)． ⑴當(dāng)P異于A，B時(shí)，記直線PA，PB的斜率分別為，，求證：是定值；⑵設(shè)點(diǎn)C滿足，且的最大值為7，求的值．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2) 7或【分析】⑴由已知橢圓方程求出A，B的坐標(biāo)，設(shè)，由斜率公式及點(diǎn)P在橢圓上即可證明是定值；⑵設(shè)，寫出兩點(diǎn)間的距離公式，分類利用配方法求最值，可得m值，結(jié)合，求得的值．【詳解】⑴由橢圓方程可得，，設(shè)，則，，為定值；⑵設(shè)，則．若，則，解得．此時(shí)，，，由，得；同理，若，可得，此時(shí)求得．故的值為7或．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用配方法求最值，是中檔題．19．某城市的棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示，經(jīng)過(guò)調(diào)研、規(guī)劃確定，棚改規(guī)劃用地區(qū)域近似為圓面，該圓的內(nèi)接四邊形區(qū)域是原棚戶區(qū)建筑用地，測(cè)量可知邊界，，.（1）求的長(zhǎng)及原棚戶區(qū)建筑用地的面積；（2）因地理?xiàng)l件限制，邊界，不能變更，而邊界，可以調(diào)整，為了增加棚戶區(qū)的建筑用地面積，請(qǐng)?jiān)诨?/span>上設(shè)計(jì)一點(diǎn)，使得棚戶區(qū)改造后的新建筑用地（四邊形）的面積最大，并求出這個(gè)面積最大值.【答案】（1）； （2）為線段垂直平分線與弧交點(diǎn)時(shí)，面積最大，最大值為.【分析】（1）根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，可得，它們的余弦值的和為零，由此利用余弦定理列方程，可求得的值并求出的值，進(jìn)而求得的值，利用三角形的面積公式，可求得的面積.（2）設(shè)，，利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，利用三角形面積公式求得面積的表達(dá)式，將的最大值，由此求得面積的最大值.【詳解】（1） 解得：，，于是， （2）設(shè)，，由余弦定理得，而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）得 ，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即為線段垂直平分線與弧交點(diǎn)時(shí)，面積最大，最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的知識(shí)，考查利用余弦定理解三角形，考查了三角形的面積公式以及基本不等式的應(yīng)用.屬于中檔題.第一問(wèn)中，給定了四邊形的四條邊長(zhǎng)，求對(duì)角線的長(zhǎng)，可利用對(duì)角互補(bǔ)及余弦定理建立方程，由此的到對(duì)角線的長(zhǎng).20．已知函數(shù)，R.（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)；（2）根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)，且時(shí)，證明：對(duì)任意，存在唯一的R，使得，且.【答案】(1)見(jiàn)解析(2) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，（3）見(jiàn)解析【詳解】試題分析：（1）任取，設(shè)，計(jì)算可得，據(jù)此可得，函數(shù)是減函數(shù).(2)分類討論可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，函數(shù)是非奇非偶函數(shù).(3)由（1）知，當(dāng)時(shí)函數(shù)是減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別證明的存在性(利用函數(shù)的值域)和唯一性(利用反證法)即可證得題中的結(jié)論.試題解析：（1）任取，設(shè)，則，∵，所以，又，∴，即，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù).(2)當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，，，因?yàn)?/span>且，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù).(3)由（1）知，當(dāng)時(shí)函數(shù)是減函數(shù)，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以存在，使得.假設(shè)存在使得，若，則，若，則，與矛盾，故是唯一的，假設(shè)，即或，則或，所以，與矛盾，故.21．設(shè)數(shù)列中前兩項(xiàng)給定，若對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，均存在正整數(shù)（）使得，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，試問(wèn)：與是否相等，并說(shuō)明數(shù)列是否為“數(shù)列”；（2）討論首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（3）已知數(shù)列為“數(shù)列”，且 ，記，，其中正整數(shù)， 對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，當(dāng)正整數(shù)分別取1、2、、時(shí)的最大值記為、最小值記為. 設(shè)，當(dāng)正整數(shù)滿足時(shí)，比較與的大小，并求出的最大值.【答案】（1）為“數(shù)列”；（2）當(dāng)時(shí),為“數(shù)列”；當(dāng)時(shí),不是“數(shù)列”；（3）；當(dāng)時(shí)，取最大值為【分析】（1）由可求得,則,,進(jìn)而比較與的情況,可得與相等,即可得到為“數(shù)列”；（2）分別討論與的情況,當(dāng)時(shí),利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入中,求解,即可判斷；（3）由題意可知,即,當(dāng)時(shí),設(shè),,則,可推導(dǎo)得到,即,同理可得,由,,,可得,,進(jìn)而作差整理可得,即可判斷數(shù)列的單調(diào)性,從而求解.【詳解】（1）與相等,因?yàn)?/span>是等比數(shù)列,所以,則,當(dāng)時(shí),,,所以,所以與相等；因?yàn)閷?duì)每個(gè)正整數(shù)，均存在且,使得所以為“數(shù)列”（2）因?yàn)槭醉?xiàng)為、公為“數(shù)列”差為的等差數(shù)列,所以,當(dāng)時(shí),對(duì)每個(gè)正整數(shù),均存在正整數(shù)且使得,所以當(dāng)時(shí),為“數(shù)列”；當(dāng)時(shí),,若,則,解得,不符合題意,所以不是“數(shù)列”（3）由題可知,對(duì)于每個(gè)正整數(shù),均有,,且對(duì)于所有正整數(shù),均有,即,對(duì)于每個(gè)正整數(shù),選取恰當(dāng)?shù)恼麛?shù),使得,,由,則,即,類似的,,即,因?yàn)?/span>,,,所以,,所以,因?yàn)?/span>,所以,所以,即,所以正整數(shù)時(shí),成立,即正整數(shù)時(shí),成立,所以在正整數(shù)滿足時(shí),當(dāng)時(shí),取得最大值為【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷,考查推理論證能力與運(yùn)算能力. 

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