2021屆上海市華師大三附中高三下學(xué)期第一次階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．設(shè)表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則與“復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)”不等價(jià)的說法是（    ）A． B．C． D．(表示復(fù)數(shù)z的虛部)【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，對(duì)于A中，若，可得，解得，此時(shí)復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，符合題意；對(duì)于B中，若，即，可得，此時(shí)復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，符合題意；對(duì)于C中，若，即，解得，此時(shí)，不符合題意；對(duì)于D中，若，即，此時(shí)復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，符合題意.故選：C.2．已知向量?都是非零向量，“”是“”的（    ）條件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義以及充分性和必要性的定義即可判斷，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)向量?夾角為，由，可得，，因?yàn)?/span>，所以或，可得，若，則或，或，即，所以，所以“”是“”的充要條件，故選：C3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量點(diǎn)滿足.曲線，區(qū)域.若為兩段分離的曲線，則A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：設(shè)，則 ，，區(qū)域 表示的是平面上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離從到之間，如下圖中的陰影部分圓環(huán)，要使 為兩段分離的曲線，則，故選A. 【解析】1.平面向量的應(yīng)用；2.線性規(guī)劃. 4．如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)P第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在點(diǎn)P第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：①；②；③；④.其中正確式子的序號(hào)是（    ）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【答案】B【分析】由，可判定①不正確；由，可判定②正確；由，得到，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，求得，進(jìn)而可判定③正確，④不正確.【詳解】由圖象可知，所以，所以①不正確；因?yàn)?/span>，所以，所以②正確；由，可得，可得，整理得，即，因?yàn)?/span>，所以，所以③正確，④不正確.故選：B.  二、填空題5．無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比分別是復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)的實(shí)部與虛部，則數(shù)列的各項(xiàng)和的值為___________.【答案】.【分析】求得復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，得到數(shù)列的首項(xiàng)和公比，利用公式，即可求得數(shù)列的各項(xiàng)和的值.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，即，所以數(shù)列的各項(xiàng)和的值為.故答案為：.6．已知集合，，則__________．【答案】【詳解】 7．如果函數(shù)的反函數(shù)為，那么__________．【答案】【分析】根據(jù)反函數(shù)性質(zhì)求結(jié)果.【詳解】令故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查反函數(shù)性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8．行列式中元素的代數(shù)余子式的值為，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【分析】根據(jù)代數(shù)余子式的求法即可求解.【詳解】由題意可得：，解得：，故答案為：.9．如果的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為256，則含項(xiàng)的系數(shù)等于___________.【答案】【分析】令即可得的值，再寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)位置等于可得的值，即可求解.【詳解】令可得，所以，展開式的通項(xiàng)為，令，解得：，所以含項(xiàng)的系數(shù)等于，故答案為：.10．若函數(shù)是奇函數(shù)，則使成立的的取值范圍是_________.【答案】【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，則：，解得：a＝1.則，由，得x∈(0,1)．11．已知圓錐底面半徑與球的半徑都是，如果圓錐的體積恰好也與球的體積相等，那么這個(gè)圓錐的全面積為___________.【答案】【分析】求出球的體積，利用圓錐的體積與球的體積相等，求出圓錐的高，然后求出圓錐的母線長，即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的高為，可圓錐的體積為，球的體積為，因?yàn)閳A錐的體積恰好也與球的體積相等，可得，解得，則圓錐的母線長為，所以圓錐的全面積為.故答案為：.12．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記向量與向量的夾角為，則的概率是___________.(用數(shù)字作答)【答案】.【分析】根據(jù)向量條件先得出m,n之間的關(guān)系，然后列舉出所有情況，最后用古典概型公式得到答案.【詳解】由，且不共線可知：或，所以，骰子點(diǎn)數(shù)可能性有（6,6），（6,5），（6,4），（6,3），（6,2），（6,1）                            （5,5），（5,4），（5,3），（5,2），（5,1）                            （4,4），（4,3），（4,2），（4,1）                            （3,3），（3,2），（3,1）                                                    （2,2），（2,1）                            （1,1）共有21種情況，而拋擲兩枚骰子共有36情況，則概率為.故答案為：.13．在周長為16的中，，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】設(shè)，，則，由向量數(shù)量積的定義以及余弦定理將用表示，根據(jù)三角形三邊滿足的關(guān)系求出得范圍，即可求數(shù)量積的取值范圍.【詳解】設(shè)，，則，由向量數(shù)量積的定義可得：，在中，由余弦定理可得：，所以由可得：，因?yàn)?/span>對(duì)稱軸為，所以時(shí)，，且，所以的取值范圍為： 故答案為：.14．已知等邊的邊長為2，點(diǎn)、分別在邊、上且滿足，則__________.【答案】【分析】用向量的分解方法來計(jì)算，因?yàn)榈冗?/span>任意兩條邊夾角為特殊角，所以可以將向量取兩條邊作為基底來分解.【詳解】因?yàn)?/span>而故，又因?yàn)?/span>，，所以。所以故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，可以嘗試建平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)法和斜坐標(biāo)系的向量分解方法去做.本題是中檔題15．對(duì)于自然數(shù)，設(shè)，如，對(duì)于自然數(shù)n，m，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則___________.【答案】-144【分析】由題意可知，，，然后按照，，，，，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，，，，，，，，，.故答案為：-14416．已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的四個(gè)判斷，正確的是___________.①當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn).【答案】①②【分析】由可得，利用換元法將函數(shù)分解為和 ，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得結(jié)論.【詳解】由可得：，設(shè)，則方程等價(jià)于，若，作出函數(shù)的圖象如圖，此時(shí)方程有兩根，其中，由有一解，由有兩解，此時(shí)共有個(gè)解，即函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象如圖，此時(shí)方程有一根，由有兩解，即函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；故答案為：①②.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法（1）直接法：令，如果能求出解，那么有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn)；（2）利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理：利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理時(shí)，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，并且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)，（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；（3）圖象法：畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；將函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)，和的形式，根據(jù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)和的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（4）利用函數(shù)的性質(zhì)：若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到，若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則需要求出在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)周期性則可以得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 三、解答題17．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，、與平面所成的角依次是45°和，，、依次是、的中點(diǎn)；（1）求直線與平面所成的角；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（2）求三棱錐的體積；【答案】（1）；（2）；【分析】以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系：（1）寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面的法向量為，再代入公式計(jì)算；（2）求出平面的法向量為，再代入公式計(jì)算．【詳解】（1）分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意，，，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別是，又面 面面，交線為，平面，平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，直線與平面所成的角為．（2）由（1）得，設(shè)平面的法向量為，，，點(diǎn)到平面的距離為，由平面，得且，取得：，，又，，．【點(diǎn)睛】本題考查量法求空間中角和距離，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.18．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：（1）請(qǐng)寫出上表、、，并求出函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1），，，；（2）和.【分析】（1）根據(jù)五點(diǎn)作圖法，求出、的值，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)可得出、、的值，并可得出函數(shù)的解析式；（2）利用誘導(dǎo)公式、輔助角公式可得出，先求出函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，再由可得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1）由題意可得，解得，，且，則，得；，得；，得.；（2）.解不等式，得.所以，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.，因此，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.【點(diǎn)睛】本題考查利用五點(diǎn)作圖法求函數(shù)解析式，同時(shí)也考查了正弦型三角函數(shù)在定區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間的求解，解題時(shí)要將三角函數(shù)解析式利用三角恒等變換思想進(jìn)行化簡(jiǎn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.19．已知.（1）若，解不等式；（2）若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）;（2）.【詳解】（1）由已知得：，∴，或，所以不等式的解集為.（2）因?yàn)?/span>，所以，∴，令，顯然在上是增函數(shù)，，令，則在單減，在單增，所以，∴，∴.20．已知曲線.（1）畫出曲線C的圖像；（2）若直線與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍；（3）若，Q為曲線C上的點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．利用等軸雙曲線和單位圓即可得出，如圖所示．（2）若與有兩個(gè)公共點(diǎn)，利用圖形即可得出．若與恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與曲線也有兩個(gè)公共點(diǎn)，聯(lián)立方程，令即可得出．（3）分與兩種情況，利用兩點(diǎn)間的距離公式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．如圖所示．（2）若與有兩個(gè)公共點(diǎn)，則，，．若與恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與曲線也有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，，解得．的取值范圍是． （3）當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)．由于的最小值是．21．對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列，記，即為中的最大值，則稱是的“控制數(shù)列”，各項(xiàng)中不同數(shù)值的個(gè)數(shù)稱為的“控制階數(shù)”.（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為1，3，3，5，寫出所有的；（2），其中，是的控制數(shù)列，試用表示；（3）在1，2，3，4，5的所有全排列中，將每種排列視為一個(gè)數(shù)列，對(duì)于其中控制階數(shù)為2的所有數(shù)列，求它們的首項(xiàng)之和.【答案】（1）見解析；（2）；（3）154．【分析】（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為1，3，3，5，可得；（2）確定當(dāng)時(shí)，總有，時(shí)，總有．從而只需比較和的大小，即可得出結(jié)論．（3）確定首項(xiàng)為1、2、3、4的數(shù)列的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）1，3，1，5；1，3，2，5；1，3，3，5．（2）因?yàn)?/span>，，所以，所以當(dāng)時(shí)，總有．又，所以．故時(shí)，總有．從而只需比較和的大?。?/span>①當(dāng)，即，即時(shí)，是遞增數(shù)列，此時(shí)對(duì)一切均成立，所以．②當(dāng)，即，即時(shí)，．所以．綜上，．（3）154．首項(xiàng)為1的數(shù)列有個(gè)；首項(xiàng)為2的數(shù)列有個(gè)；首項(xiàng)為3的數(shù)列有個(gè)；首項(xiàng)為4的數(shù)列有個(gè)；所以，控制階數(shù)為2的所有數(shù)列首項(xiàng)之和．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的新定義問題，考查對(duì)抽象概念的理解與綜合應(yīng)用的能力，難點(diǎn)在于對(duì)（3）的觀察，分析尋找規(guī)律． 

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