?2020-2021學(xué)年上海市黃浦區(qū)大同中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、填空題（共10小題）.
1．已知方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m為　 ?。?br /> 2．f（n）＝in+i﹣n（n∈N*），則{f（n）}＝　 ?。?br /> 3．一個(gè)高為1的正三棱錐的底面正三角形的邊長(zhǎng)為6，則此三棱錐的側(cè)面積為　 ?。?br /> 4．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的高為　 ?。?br /> 5．若，則n等于　 　．
6．已知復(fù)數(shù)z和ω滿足|z|﹣＝，且ω2＝z，則復(fù)數(shù)ω＝　 ?。?br /> 7．在半徑為3的球面上有A、B、C三點(diǎn)，∠ABC＝90°，BA＝BC，球心O到平面ABC的距離是，則B、C兩點(diǎn)的球面距離是 　 ?。?br /> 8．已知甲射擊的命中率為72%，乙射擊的命中率為78%，兩人的射擊互不影響，這目標(biāo)被擊中的概率是 　 ?。ň_到0.01）．
9．從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)，它是奇數(shù)或3的倍數(shù)的概率是 　 　．
10．設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z＝ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值為12，則的最小值為 　 　．
二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，將正確結(jié)論的代號(hào)寫在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)．
11．下列四個(gè)命題中真命題是（　?。?br /> A．同垂直于一直線的兩條直線互相平行
B．底面各邊相等，側(cè)面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
C．過空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條
D．過球面上任意兩點(diǎn)的大圓有且只有一個(gè)
12．已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖中的尺寸，可得這個(gè)幾何體的體積是（　　）

A． B． C．2000cm3 D．4000cm3
13．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”，根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（　?。?br /> A．甲地：總體均值為2，總體方差為3
B．乙地：總體均值為3，中位數(shù)為4
C．丙地：總體均值為1，總體方差大于0
D．丁地：中位數(shù)為2，總體方差為3
14．6個(gè)人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為（　　）
A．35 B．50 C．70 D．100
三、解答題（本大題滿分0分）本大題共有5題，解答下列各題須寫出必要的步驟．
15．已知（+）n的展開式前三項(xiàng)中的系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n的值和展開式系數(shù)的和；
（2）求展開式中所有x的有理項(xiàng)．
16．（1）某外商計(jì)劃在4個(gè)城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè)，求該外商不同的投資方案有多少種？（用數(shù)字作答）
（2）某單位安排7位員工在10月1日至10月7日值班，每天1人，每人值班1天，求員工甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日的概率．
17．已知復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R），若存在實(shí)數(shù)t，使＝﹣3ati成立．
（1）求證：2a+b為定值；
（2）若|z﹣2|＜a，求|z|的取值范圍．
18．如圖，圓錐的頂點(diǎn)是S，底面中心為O，OC是與底面直徑AB垂直的一條半徑，D是母線SC的中點(diǎn)．
（1）設(shè)圓錐的高為4，異面直線AD與BC所成角為，求圓錐的體積；
（2）當(dāng)圓錐的高和底面半徑是（1）中的值時(shí)，求直線AB與平面ACD的所成角大?。?br />
19．四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠DAB＝60°，PA＝AB＝AD＝2，點(diǎn)E是棱PC上一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面BDE；
（Ⅱ）當(dāng)E為PC中點(diǎn)時(shí)，求二面角A﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）若直線BE與平面PAC所成的角為45°時(shí)，求CE．



參考答案
一、填空題（本大題滿分30分）本大題共10題，將結(jié)果直接寫在相應(yīng)的空格內(nèi)．
1．已知方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m為　?。?br /> 解：設(shè)方程的實(shí)根為x0，則，
∵x0、m∈R，∴方程變形為，
由復(fù)數(shù)相等的充要條件得，解得．
則實(shí)數(shù)m為．
故答案為：．
2．f（n）＝in+i﹣n（n∈N*），則{f（n）}＝　{﹣2，0，2}．?。?br /> 解：因?yàn)閒（n）＝in+i﹣n（n∈N*），
所以當(dāng)n＝4k時(shí)，f（n）＝1+1＝2；
當(dāng)n＝4k+1時(shí)，f（n）＝；
當(dāng)n＝4k+2時(shí)，f（n）＝；
當(dāng)n＝4k+3時(shí)，f（n）＝﹣i+i＝0，
故{f（n）}＝{﹣2，0，2}．
故答案為：{﹣2，0，2}．
3．一個(gè)高為1的正三棱錐的底面正三角形的邊長(zhǎng)為6，則此三棱錐的側(cè)面積為　18?。?br /> 解：由題意作出圖形如圖：
因?yàn)槿忮FP﹣ABC是正三棱錐，頂點(diǎn)在底面上的射影D是底面的中心，
在三角PDF中，
∵三角形PDF三邊長(zhǎng)PD＝1，DF＝，
∴PF＝2
則這個(gè)棱錐的側(cè)面積S側(cè)＝3××6×1＝18．
故答案為：18．

4．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的高為　?。?br /> 解：由題意一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面，
因?yàn)?π＝πl(wèi)2，所以母線長(zhǎng)為l＝2，
又半圓的弧長(zhǎng)為2π，
圓錐的底面的周長(zhǎng)為2πr＝2π，
所以底面圓半徑為r＝1，
所以該圓錐的高為h＝＝＝．
故答案為：．
5．若，則n等于　14　．
解：由，得．
所以n+1＝7+8＝15．所以n＝14．
故答案為14．
6．已知復(fù)數(shù)z和ω滿足|z|﹣＝，且ω2＝z，則復(fù)數(shù)ω＝　1+i或﹣1﹣i　．
解：設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），
由|z|﹣＝，得，
∴，則a＝0，b＝2．
∴z＝2i．
令ω＝m+ni（m，n∈R），
由ω2＝z，得（m+ni）2＝m2﹣n2+2mni＝2i，
∴，則m＝n＝1或m＝n＝﹣1．
∴ω＝1+i或﹣1﹣i．
故答案為：1+i或﹣1﹣i．
7．在半徑為3的球面上有A、B、C三點(diǎn)，∠ABC＝90°，BA＝BC，球心O到平面ABC的距離是，則B、C兩點(diǎn)的球面距離是 　π?。?br /> 解：根據(jù)題意，∠ABC＝90°，AC是小圓的直徑．
所以過球心O作小圓的垂線，垂足O’是AC的中點(diǎn)，
|O′C|＝＝，AC＝3，
則BC＝OB＝OC＝3，則∠BOC＝，
故B、C兩點(diǎn)的球面距離l＝×3＝π；
故答案為：π．

8．已知甲射擊的命中率為72%，乙射擊的命中率為78%，兩人的射擊互不影響，這目標(biāo)被擊中的概率是 　0.94?。ň_到0.01）．
解：∵目標(biāo)被擊中的對(duì)立事件是2人都沒有命中目標(biāo)，
∴目標(biāo)被擊中的概率為：P＝1﹣（1﹣0.72）（1﹣0.78）≈0.94．
故答案為：0.94．
9．從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)，它是奇數(shù)或3的倍數(shù)的概率是 　?。?br /> 解：這10個(gè)數(shù)中滿足“是奇數(shù)或3的倍數(shù)”的有：1，3，5，6，7，9共6個(gè)，
所以從中隨機(jī)抽取一個(gè)是奇數(shù)或3的倍數(shù)的概率是＝．
故答案為：．
10．設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z＝ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值為12，則的最小值為 　　．
解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，
當(dāng)直線ax+by＝z（a＞0，b＞0）過直線x﹣y+2＝0與直線3x﹣y﹣6＝0的交點(diǎn)（4，6）時(shí)，
目標(biāo)函數(shù)z＝ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b＝12，即2a+3b＝6，
而＝．
故答案為：．

二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，將正確結(jié)論的代號(hào)寫在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)．
11．下列四個(gè)命題中真命題是（　　）
A．同垂直于一直線的兩條直線互相平行
B．底面各邊相等，側(cè)面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
C．過空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條
D．過球面上任意兩點(diǎn)的大圓有且只有一個(gè)
解：對(duì)于A，同垂直于一直線的兩條直線不一定互相平行，故錯(cuò)；
對(duì)于B，底面各邊相等，側(cè)面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故錯(cuò)；
對(duì)于C，兩條異面直線的公垂線是唯一的，所以過空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條，正確；
對(duì)于D，過球面上任意兩點(diǎn)的大圓有無數(shù)個(gè)，故錯(cuò)；
故選：C．
12．已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖中的尺寸，可得這個(gè)幾何體的體積是（　?。?br />
A． B． C．2000cm3 D．4000cm3
解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為由兩個(gè)底面邊長(zhǎng)為20和10的直角三角形，高為20的兩個(gè)三棱錐構(gòu)成的幾何體；
如圖所示：

所以：V＝＝．
故選：A．
13．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”，根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（　　）
A．甲地：總體均值為2，總體方差為3
B．乙地：總體均值為3，中位數(shù)為4
C．丙地：總體均值為1，總體方差大于0
D．丁地：中位數(shù)為2，總體方差為3
解：對(duì)于A，當(dāng)總體平均數(shù)為2，若有一個(gè)數(shù)據(jù)超過7，則方差就接近3，
所以總計(jì)均值為2，總體方差為3時(shí)，沒有數(shù)據(jù)超過7，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，因?yàn)槠骄鶖?shù)和中位數(shù)不能限制某一天的病例不超過7，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)總體方差大于0，不知道總體方差的具體數(shù)值，因此不等確定數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，中位數(shù)為2，總體方差為3，則存在大于7的數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：A．
14．6個(gè)人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為（　　）
A．35 B．50 C．70 D．100
解：根據(jù)題意，假設(shè)兩輛汽車為甲、乙，
分3種情況討論：
①、甲車?yán)镒?人，則乙車坐4人，有C62種坐法，
②、甲車?yán)镒?人，則乙車坐3人，有C63種坐法，
③、甲車?yán)镒?人，則乙車坐2人，有C64種坐法，
則不同的乘車方法有C62+C63+C64＝50種；
故選：B．
三、解答題（本大題滿分0分）本大題共有5題，解答下列各題須寫出必要的步驟．
15．已知（+）n的展開式前三項(xiàng)中的系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n的值和展開式系數(shù)的和；
（2）求展開式中所有x的有理項(xiàng)．
解：（1）根據(jù)題意，（+）n的展開式的通項(xiàng)為Tr+1＝?nr（）n﹣r（）r，其系數(shù)為×?nr，
其第一項(xiàng)的系數(shù)為?n0＝1，第二項(xiàng)的系數(shù)為?n1＝，第三項(xiàng)的系數(shù)為?n2＝，
若其展開式前三項(xiàng)中的系數(shù)成等差數(shù)列，則2×＝1+，
解可得：n＝8或n＝1，
又由n≥3，則n＝8，
在（+）8中，令x＝1可得：（+）8＝（）8＝；
（2）由（1）的結(jié)論，n＝8，
則（+）8的展開式的通項(xiàng)為Tr+1＝C8r（）8﹣r（）r＝×C8r，
當(dāng)r＝0時(shí)，有T1＝x4，
當(dāng)r＝4時(shí)，有T5＝x，
當(dāng)r＝8時(shí)，有T9＝x﹣2；
則展開式中所有x的有理項(xiàng)為x4，x，x﹣2．
16．（1）某外商計(jì)劃在4個(gè)城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè)，求該外商不同的投資方案有多少種？（用數(shù)字作答）
（2）某單位安排7位員工在10月1日至10月7日值班，每天1人，每人值班1天，求員工甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日的概率．
解：（1）有兩類不同的投資方法：
①?gòu)?個(gè)候選城市中選擇3個(gè)城市，各投資1個(gè)項(xiàng)目，則有4×3×2＝24種投法；
②從4個(gè)候選城市中只選擇2個(gè)城市分別投資1個(gè)項(xiàng)目、2個(gè)項(xiàng)目，再?gòu)?個(gè)項(xiàng)目中選一個(gè)項(xiàng)目投到1個(gè)城市，
則有3×4×3＝36種投法．
綜上所述，該外商不同的投資方案有24+36＝60種；
（2）由題意，員工甲、乙排在相鄰兩天的排法共有＝1440種，
其中員工甲、乙排在相鄰兩天，丙排在10月1日的排法有種，
故員工甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日的排法共有1440﹣240＝1200種，
總的排法有種，
故員工甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日的概率為＝．
17．已知復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R），若存在實(shí)數(shù)t，使＝﹣3ati成立．
（1）求證：2a+b為定值；
（2）若|z﹣2|＜a，求|z|的取值范圍．
解：（1）證明：∵復(fù)數(shù)z＝a+bi（a、b∈R），若存在實(shí)數(shù)t使a﹣bi＝﹣3ati成立，
則ta﹣tbi＝2+（4﹣3at2）i，可得ta＝2，﹣tb＝4﹣3at2，∴﹣b?＝4﹣3a?，即﹣2b＝4a﹣12，
化簡(jiǎn)可得2a+b＝6，即2a+b為定值．
（2）若|z﹣2|＜a，則 ＜a，∴a＞0，且＜a．
化簡(jiǎn)可得（a﹣2）（a﹣5）＜0，求得2＜a＜5．
而|z|＝＝＝，
故當(dāng)a＝ 時(shí)，|z|取得最小值為 ，當(dāng)a趨于5時(shí)，|z|趨于最大值．
綜上可得，|z|的取值范圍為[，）．
18．如圖，圓錐的頂點(diǎn)是S，底面中心為O，OC是與底面直徑AB垂直的一條半徑，D是母線SC的中點(diǎn)．
（1）設(shè)圓錐的高為4，異面直線AD與BC所成角為，求圓錐的體積；
（2）當(dāng)圓錐的高和底面半徑是（1）中的值時(shí)，求直線AB與平面ACD的所成角大?。?br />
解：（1）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
因?yàn)楦邽?，則，S（0，0，4），
所以，
因?yàn)楫惷嬷本€AD與BC所成角的余弦值為，
則，解得r＝2，
所以圓錐的體積＝；
（2）由（1）可得，A（0，﹣2，0），B（0，2，0），D（1，0，2），C（2，0，0），
所以，
設(shè)平面ACD的法向量為，
則，
取x＝1，則，
所以＝，
故直線AB與平面ACD的所成角大小為arcsin．

19．四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠DAB＝60°，PA＝AB＝AD＝2，點(diǎn)E是棱PC上一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面BDE；
（Ⅱ）當(dāng)E為PC中點(diǎn)時(shí)，求二面角A﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）若直線BE與平面PAC所成的角為45°時(shí)，求CE．

【解答】（Ⅰ）證明：∵底面ABCD是平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝AD，
∴四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，又BD⊥AC，PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC，又BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．
（Ⅱ）解：設(shè)AC∩BD＝O，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A、OB、平面ABCD過點(diǎn)O的垂線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如圖所示，
則A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），P（，0，2），∴E（0，0，1），
∴＝（﹣，1，0），＝（0，﹣1，1），＝（0，2，0），
設(shè)平面ABE的法向量為＝（x1，y1，z1），則，即，
令x1＝1可得＝（1，，），
設(shè)平面BDE的法向量為＝（x2，y2，z2），則，即，
令x2＝1可得＝（1，0，0），
∴cos＜＞＝＝＝，
∴當(dāng)E為PC中點(diǎn)時(shí)，二面角A﹣BE﹣D的余弦值為．
（Ⅲ）解：由（I）知BD⊥平面PAC，∴∠BEO為BE與平面PAC所成的角，即∠BEO＝45°，
∴OE＝OB＝1，
在△PAC中，PA＝2，AC＝2，故PC＝＝4，
∴cos∠PCA＝＝，
在△OCE中，由余弦定理可得cos∠ECO＝＝＝，
解得CE＝1或CE＝2．



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