圓與圓的位置關(guān)系課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能根據(jù)給定圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系.2.能用圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題.1.直觀想象——能借助圖形理解圓與圓的位置關(guān)系及公共弦長(zhǎng)問(wèn)題.2.數(shù)學(xué)運(yùn)算——能利用代數(shù)運(yùn)算解決與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)教材研習(xí)教材原句根據(jù)兩個(gè)圓的半徑，以及兩個(gè)圓的圓心距來(lái)判斷兩個(gè)圓位置關(guān)系的方法：兩個(gè)圓外離；兩個(gè)圓外切    =    ；兩個(gè)圓相交；兩個(gè)圓內(nèi)切；兩個(gè)圓④ 內(nèi)含 .自主思考1.若兩圓的圓心距小于兩圈的半徑之和，則兩圓相交嗎？答案：提示不一定，也可能內(nèi)含.2.若兩圓有公共點(diǎn)，則成立嗎？答案：提示成立.名師點(diǎn)睛1.代數(shù)法判斷圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的方程分別為，，聯(lián)立兩方程，方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：方程組解的個(gè)數(shù)210兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)210兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含2.判斷兩圓位置關(guān)系的注意點(diǎn)（1）判斷圓與圓的位置關(guān)系，主要是判斷圓心距與半徑的和、差的絕對(duì)值的大小.（2）判斷兩圓的位置關(guān)系一般用幾何法，因?yàn)橛么鷶?shù)法判斷時(shí)，有時(shí)得不到確切的位置關(guān)系，如有內(nèi)切與外切兩種關(guān)系，具體是哪一種相切，這是用代數(shù)法無(wú)法判斷的.3.兩圓相交時(shí)，公共弦所在的直線(xiàn)方程若圓與圓相交，則兩圓公共弦所在的直線(xiàn)方程為 .互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一判斷兩圓的位置關(guān)系精講精練例（2021山東威海高二期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262~公元前190年）的著作《圓錐曲線(xiàn)論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼奧斯圓.已知，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是(     )A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切答案：解析：由，得，即，整理得，則其圓心為(-1,0)，半徑，易知圓的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑，故兩圓的圓心距為2，滿(mǎn)足，所以?xún)蓚€(gè)圓相交.解題感悟判斷兩圓的位置關(guān)系的步驟：①將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，寫(xiě)出圓心和半徑．②計(jì)算兩圓圓心的距離 .③通過(guò)，，的關(guān)系來(lái)判斷兩圓的位置關(guān)系，必要時(shí)可借助數(shù)形結(jié)合的思想求解.遷移應(yīng)用1.（2020四川成都七中高二期中）圓與圓的位置關(guān)系是(      )A.相交B.相切C.外離D.內(nèi)含答案：解析：由可化為，則，，由可化為，則，，則，則，所以圓與圓相交.探究點(diǎn)二與兩圓相切有關(guān)的問(wèn)題精講精練例（1）（2020山東濟(jì)南歷城二中高二月考）圓和圓的公切線(xiàn)的條數(shù)為(      )A.1 B.2 C.3 D.4（2）求與圓外切且與直線(xiàn)相切于點(diǎn)的圓的方程.答案：（1）解析：（1）圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑 .所以，所以，所以?xún)蓤A外切，此時(shí)兩圓有且僅有3條公切線(xiàn).答案：（2）設(shè)所求圓的方程為，已知圓的方程可化為，其圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑為1，則，①，② .③聯(lián)立①②③，解得，，或，，，故所求圓的方程為或 .解讀感悟兩圓相切時(shí)常用的性質(zhì)：（1）設(shè)兩圓的圓心分別為，，半徑分別為，，則兩圓（2）兩圓相切時(shí)，兩圓圓心的連線(xiàn)過(guò)切點(diǎn).遷移應(yīng)用1.已知圓的圓心是直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，且圓與圓相外切，則圓的方程為 .答案：解析：由題意知圓心，其到已知圓的圓心(2,3)的距離，設(shè)圓的半徑為，由兩圓相外切可得，則圓的半徑，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .2.求圓與圓的公切線(xiàn)的條數(shù).答案：由題意可得兩圓的圓心分別為，半徑分別為，則，所以，可得圓相交，所以?xún)蓤A共有兩條公切線(xiàn).探究點(diǎn)三與兩圓相交有關(guān)的問(wèn)題精講精練例（2020山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓與圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).（1）求直線(xiàn)的方程;（2）設(shè)圓與圓交于點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.答案：（1）把圓的方程化為，所以圓心，半徑為，因?yàn)?/span>，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為 .易知所求的直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，且經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，即直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,1)，且斜率，所以所求直線(xiàn)的方程為，即 .（2）由（1）得，直線(xiàn)的方程為，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，圓心到直線(xiàn)的距離，因?yàn)閳A和圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以圓的半徑與圓的半徑相等，為，所以弦長(zhǎng)，要使的面積最大，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大，結(jié)合題圖可知，當(dāng)的延長(zhǎng)線(xiàn)垂直于時(shí)，的面積最大，此時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，此時(shí)，的面積為 .所以面積的最大值為 .解題感悟公共弦長(zhǎng)的求法（1）代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng).（2）幾何法：求出公共弦所在直線(xiàn)的方程，已知圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形，再根據(jù)勾股定理求解.遷移應(yīng)用1.已知兩圓和相交.（1）求兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程;（2）求兩圓公共弦的長(zhǎng)度.答案：（1）將兩圓方程相減得，即兩圓公共弦所在的直線(xiàn)方程為 .（2）易知，則，設(shè)到的距離為，則，弦長(zhǎng)，即兩圓公共弦的長(zhǎng)度為 .評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升課堂檢測(cè)1.（2021遼寧沈陽(yáng)高二檢測(cè)）已知兩圓分別為圓和圓 .這兩圓的位置關(guān)系是(      )A.相離 B.相交C.外切 D.內(nèi)切答案：2.若圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是(     )A.(3,6) B.C.  D.答案：3.兩圓的公共弦長(zhǎng)為(     )A.5 B.C.  D.10答案：素養(yǎng)演練數(shù)學(xué)運(yùn)算——圓系方程的應(yīng)用1.求圓心在直線(xiàn)上，且過(guò)兩圓和的交點(diǎn)的圓的方程．答案：設(shè)所求圓的方程為，即，所以圓心坐標(biāo)為 .又圓心在直線(xiàn)上，所以，即 .所以所求圓的方程為 .素養(yǎng)探究：當(dāng)經(jīng)過(guò)兩圓的交點(diǎn)時(shí)，圓的方程可設(shè)為，，然后用待定系數(shù)法求出即可.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)． 

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2.3.4 圓與圓的位置關(guān)系

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