高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修第二冊4.3.2 獨立性檢驗學案設(shè)計-學案下載-教習網(wǎng)

?4.3.2　獨立性檢驗
(教師獨具內(nèi)容)
課程標準：通過實例，了解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義、獨立性檢驗及其應(yīng)用．
教學重點：掌握2×2列聯(lián)表的方法，理解獨立性檢驗的基本思想及實施步驟．
教學難點：1.獨立性檢驗的基本思想和χ2的含義.2.解決獨立性檢驗的簡單實際問題.

知識點一　　　2×2列聯(lián)表
隨機事件A與B的樣本數(shù)據(jù)如下表，核心的數(shù)據(jù)是中間的4個格子，這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表．

A

總計
B
a
b
a＋b

c
d
c＋d
總計
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d

記n＝a＋b＋c＋d，則由表可知：
(1)事件A發(fā)生的概率可估計為P(A)＝；
(2)事件B發(fā)生的概率可估計為P(B)＝；
(3)事件AB發(fā)生的概率可估計為P(AB)＝.
知識點二　　　獨立性檢驗
　為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標準，我們構(gòu)造一個隨機變量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．
任意給定一個α(稱為顯著性水平)，可以找到滿足條件P(χ2≥k)＝α的數(shù)k(稱為顯著性水平α對應(yīng)的分位數(shù))．若χ2≥k成立，就稱在犯錯誤的概率不超過α的前提下，可以認為A與B不獨立(也稱為A與B有關(guān))；或說有1－α的把握認為A與B有關(guān)．若χ23.841，故能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“兩個學校的數(shù)學成績有差異”．

1．在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并有99%以上的把握認為這個結(jié)論是成立的，下列說法中正確的是(　　)
A．100個吸煙者中至少有99個患有肺癌
B．1個人吸煙，那么這個人一定患有肺癌
C．在100個吸煙者中一定有患肺癌的人
D．在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有
答案　D
解析　獨立性檢驗的結(jié)論是一個數(shù)學統(tǒng)計量，它與實際問題中的問題的確定性是存在差異的，故A錯誤，C錯誤，D正確；χ2與概率的含義不同，有99%的把握不能說明有99%的可能，故B錯誤．故選D.
2．某工廠為了調(diào)查工人文化程度與月收入的關(guān)系，隨機抽取了部分工人，得到如下列聯(lián)表：
　　　　文化程度與月收入列聯(lián)表(單位：人)　

月收入2000元以下
月收入2000元及以上
總計
高中文化以上
9
44
53
高中文化及以下
19
30
49
總計
28
74
102

由上表中數(shù)據(jù)計算得χ2＝≈6.073，則認為“文化程度與月收入有關(guān)系”的把握為(　　)
A．1% B．99% C．2.5% D．97.5%
答案　D
解析　由于6.073>5.024，故在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，即有97.5%的把握認為“文化程度與月收入有關(guān)系”．
3．(多選)下列關(guān)于χ2統(tǒng)計量的說法正確的是(　　)
A．可以為負值
B．χ2的值越大，兩個事件有關(guān)系的把握越大
C．當χ2的值很小時，不能推定兩個事件不相關(guān)
D．χ2＝
答案　BC
解析　χ2的值不可能為負值，故A錯誤；易知B正確；χ2的值很小時，只能說兩個事件的相關(guān)程度低，不能推定兩個事件不相關(guān)，故C正確；χ2＝
，故D錯誤．故選BC.
4．為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對該班50名學生進行了問卷調(diào)查，得到了如下的2×2列聯(lián)表：

喜愛打籃球
不喜愛打籃球
總計
男生
20
5
25
女生
10
15
25
總計
30
20
50

則在犯錯誤的概率不超過________的前提下認為喜愛打籃球與性別有關(guān)(請用百分數(shù)表示)．
答案　0.5%
解析　χ2＝＝
≈8.333>7.879，所以在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下認為喜愛打籃球與性別有關(guān)．
5．湖北省武漢市等多個地區(qū)陸續(xù)出現(xiàn)感染新型冠狀病毒肺炎的患者，為及時有效地對疫情數(shù)據(jù)進行流行病學統(tǒng)計分析，某地研究機構(gòu)針對該地實際情況，根據(jù)該地患者是否有武漢旅行史與是否有確診病例接觸史，將新冠肺炎患者分為四類：有武漢旅行史(無接觸史)，無武漢旅行史(無接觸史)，有武漢旅行史(有接觸史)和無武漢旅行史(有接觸史)，統(tǒng)計得到以下相關(guān)數(shù)據(jù)．
(1)請將列聯(lián)表填寫完整：

有接觸史
無接觸史
總計
有武漢旅行史

27
無武漢旅行史
18

總計
27

54

(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為有武漢旅行史與有確診病例接觸史有關(guān)系？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.

P(χ2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

解　(1)填表如下：

有接觸史
無接觸史
總計
有武漢旅行史
9
18
27
無武漢旅行史
18
9
27
總計
27
27
54

(2)χ2＝＝6＞5.024，
因此在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為有武漢旅行史與有確診病例接觸史有關(guān)系．

　　　　　　　　　　　　　　　　

A級：“四基”鞏固訓練
一、選擇題
1．對于隨機事件X與Y的隨機變量χ2，下列說法正確的是(　　)
A．χ2越大，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小
B．χ2越小，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小
C．χ2越接近于0，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越小
D．χ2越大，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越大
答案　B
解析　χ2越大，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越小，則“X與Y有關(guān)系”的可信程度越大．即χ2越小，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越?。蔬xB.
2．利用獨立性檢驗對兩個隨機事件是否有關(guān)系進行研究時，若有99.5%的把握認為事件A和B有關(guān)系，則具體計算出的數(shù)據(jù)應(yīng)該是(　　)
A．χ2≥6.635 B．χ23.841，說明有95%的把握認為選修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關(guān)，即有5%的把握認為選修統(tǒng)計專業(yè)與性別無關(guān)，也就是“選修統(tǒng)計課程與性別有關(guān)”出錯的可能性為5%.
4．利用獨立性檢驗的方法調(diào)查高中生的寫作水平與喜好閱讀是否有關(guān)，通過隨機詢問120名高中生是否喜好閱讀，利用2×2列聯(lián)表，由計算可得χ2＝4.236.

α＝P(χ2≥k)
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

參照附表，可得正確的結(jié)論是(　　)
A．有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”
B．有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”
C．有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”
D．有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”
答案　A
解析　∵4.236>3.841，∴有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”．故選A.
5．某單位為了了解員工喜歡戶外運動是否與性別有關(guān)，隨機抽取了50人進行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：

喜歡戶外運動
不喜歡戶外運動
總計
男性
18
9
27
女性
8
15
23
總計
26
24
50

則認為喜歡戶外運動與性別有關(guān)系的把握大約為(　　)
A．99% B．95%
C．90% D．無充分依據(jù)
答案　B
解析　由表中數(shù)據(jù)得χ2＝≈5.059>3.841，所以約有95%的把握認為兩變量之間有關(guān)系．
二、填空題
6．某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機抽取了100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：

文藝節(jié)目
新聞節(jié)目
總計
20至40歲
40
18
58
大于40歲
15
27
42
總計
55
45
100

由表中數(shù)據(jù)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關(guān)？________(填“是”或“否”)．
答案　是
解析　因為在20歲至40歲的58名觀眾中有18名觀眾收看新聞節(jié)目，而大于40歲的42名觀眾中有27名觀眾收看新聞節(jié)目，即＝，＝，兩者相差較大，所以經(jīng)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡是有關(guān)的．
7．在2×2列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)變?yōu)樵瓉淼?倍，則χ2的值變?yōu)樵瓉淼腳_______倍．
答案　2
解析　公式χ2＝中所有值變?yōu)樵瓉淼?倍，則＝2χ2，故χ2也變?yōu)樵瓉淼?倍．
8．為考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下藥物效果與動物試驗列聯(lián)表：

患病
未患病
總計
服用藥
10
45
55
沒服用藥
20
30
50
總計
30
75
105

則________(填“能”或“不能”)在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為藥物有效．
附：χ2＝；

P(χ2≥k)
0.05
0.025
0.010
0.005
k
3.841
5.024
6.635
7.879

答案　能
解析　根據(jù)列聯(lián)表，計算χ2＝＝≈6.109>5.024，所以能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為藥物有效．
三、解答題
9．高中流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學不好，理科就怕英語不好”，下表是一次針對高三文科學生的調(diào)查所得的數(shù)據(jù)：

總成績好
總成績不好
合計
數(shù)學成績好
478
a
490
數(shù)學成績不好
399
24
423
合計
b
c
913

(1)計算a，b，c的值；
(2)文科學生總成績不好與數(shù)學成績不好有關(guān)系嗎？
解　(1)由478＋a＝490，得a＝12.
由a＋24＝c，得c＝12＋24＝36.
由b＋c＝913，得b＝913－36＝877.
(2)計算隨機變量χ2＝≈6.233>5.024，
因為P(χ2≥5.024)＝0.025，
所以有97.5%的把握認為文科學生總成績不好與數(shù)學成績不好有關(guān)系．
10．電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：

將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．
根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料，你是否認為“體育迷”與性別有關(guān)？

非體育迷
體育迷
合計
男

女

10
55
合計

解　由所給的頻率分布直方圖知，“體育迷”人數(shù)為100×(10×0.020＋10×0.005)＝25.
“非體育迷”人數(shù)為75，則據(jù)題意完成2×2列聯(lián)表：

非體育迷
體育迷
合計
男
30
15
45
女
45
10
55
合計
75
25
100

將2×2列聯(lián)表的數(shù)據(jù)代入公式計算：
χ2＝≈3.030>2.706.
所以在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下可以認為“體育迷”與性別有關(guān)．

B級：“四能”提升訓練
1．(多選)有兩個變量X與Y，其2×2列聯(lián)表如下所示：

其中a為正整數(shù)，若有95%以上的把握認為X與Y之間有關(guān)系，則a的值可以為(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案　BCD
解析　令χ2＝＝3.841，解得a≈7.688或a≈1.543.由題意知χ2＞3.841，所以只要a＞7.688，就有95%以上的把握認為X與Y之間有關(guān)系，又a∈N*.故選BCD.
2．甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同一型號零件．記生產(chǎn)的零件的尺寸為t(cm)，相關(guān)行業(yè)質(zhì)檢部門規(guī)定：若t∈(2.9,3.1]，則該零件為優(yōu)等品；若t∈(2.8,2.9]∪(3.1,3.2]，則該零件為中等品；其余零件為次品．現(xiàn)分別從甲、乙機床生產(chǎn)的零件中各隨機抽取50件，經(jīng)質(zhì)量檢測得到下表數(shù)據(jù)：

(1)設(shè)生產(chǎn)每件產(chǎn)品的利潤為：優(yōu)等品3元，中等品1元，次品虧本1元．若將頻率視為概率，試根據(jù)樣本估計總體的思想，估算甲機床生產(chǎn)一件零件的利潤的數(shù)學期望；
(2)對于這兩臺機床生產(chǎn)的零件，在排除其他因素影響的情況下，試根據(jù)樣本估計總體的思想，估計約有多大的把握認為“零件優(yōu)等與否和所用機床有關(guān)”，并說明理由．
參考公式：χ2＝
參考數(shù)據(jù)：

P(χ2≥k)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

解　(1)設(shè)甲機床生產(chǎn)一件零件獲得的利潤為X元，它的分布列為

X
3
1
－1
P
0.8
0.14
0.06

則有E(X)＝3×0.8＋1×0.14＋(－1)×0.06＝2.48.
所以甲機床生產(chǎn)一件零件的利潤的數(shù)學期望為2.48元．
(2)由表中數(shù)據(jù)可知，甲機床優(yōu)等品40件，非優(yōu)等品10件；乙機床優(yōu)等品30件，非優(yōu)等品20件．
制作2×2列聯(lián)表如下：

甲機床
乙機床
合計
優(yōu)等品
40
30
70
非優(yōu)等品
10
20
30
合計
50
50
100

計算χ2＝＝≈4.762.
考察參考數(shù)據(jù)并注意到3.841

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