北師大版 (2019)必修第二冊2.4 積化和差與和差化積公式導(dǎo)學(xué)案及答案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

2.4　積化和差與和差化積公式學(xué) 習(xí) 目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解利用兩角和與差的正弦、余弦公式導(dǎo)出積化和差、和差化積兩組公式的過程．(難點(diǎn))2．會用積化和差、和差化積公式求值、化簡和證明.1.通過對積化和差、和差化積公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)．2．通過利用積化和差、和差化積公式求值、化簡和證明，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 積化和差公式與和差化積公式積化和差公式sin αcos β＝cos αsin β＝cos αcos β＝sin αsin β＝－和差化積公式sin θ＋sin φ＝2sincossin θ－sin φ＝2cossincos θ＋cos φ＝2coscoscos θ－cos φ＝－2sinsin思考：1.積化和差與和差化積公式中的角都是任意角嗎？提示：都是任意角．2．“sin α－sin β＝2cossin”正確嗎？提示：不正確．sin α－sin β＝2cos sin .1．sin 15°cos 165°的值是(　　)A．　　　　　 B．C．－ D．－C　[sin 15°cos 165°＝sin 15°cos(180°－15°)＝－sin 15°cos 15°＝－sin 30°＝－，故選C．]2．化簡的結(jié)果為(　　)A．tan α B．tan 2αC． D．B　[原式＝＝tan 2α.]3．sin 75°－sin 15°的值為(　　)A． B．C． D．－B　[sin 75°－sin 15°＝2cos 45°sin 30°＝2××＝，故選B．]利用積化和差與和差化積公式化簡、求值【例1】　求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.[解]　sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝.套用和差化積公式的關(guān)鍵是記準(zhǔn)、記牢公式，為了能夠把三角函數(shù)式化為積的形式，有時(shí)需要把常數(shù)首先化為某個(gè)角的三角函數(shù)，然后再化積，有時(shí)函數(shù)不同名，要先化為同名再化積，化積的結(jié)果能求值則盡量求出值來．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．求值：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°.[解]　原式＝cos 20°＋＋(cos 100°＋cos 140°)＝cos 20°＋＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋－cos 20°＝.利用積化和差與和差化積公式證明三角恒等式[探究問題]1. 證明三角恒等式的基本原則是什么？提示：證明三角恒等式的基本原則是化繁為簡，即由較為復(fù)雜的一邊向較簡單的一邊證明，注意觀察等號兩邊的函數(shù)名和結(jié)構(gòu)形式的差異，利用三角函數(shù)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化．2．在三角函數(shù)公式中“弦”和“切”如何互化？提示：利用公式tan x＝可實(shí)現(xiàn)“弦”和“切”的互化．【例2】　求證：tan－tan＝.[思路點(diǎn)撥]　思路一：從等號左邊向等號右邊證明，把切化為弦，通分后利用和差化積與積化和差公式變形可得；思路二：從等號右邊向等號左邊證明，利用和差化積與積化和差公式變形，然后把弦化為切可得．[證明]　法一：∵tan－tan＝－＝＝＝＝＝.∴原式成立．法二：∵＝＝＝－＝tan－tan.∴原式成立．(1)證明三角恒等式從某種意義上來說，可以看成已知結(jié)果的三角函數(shù)式的化簡與求值．(2)證明三角恒等式總體要求是：通過三角公式進(jìn)行恒等變形，論證等式左右兩邊相等，論證過程要清晰、完整、推理嚴(yán)密．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．證明：＝.[證明]　原式＝＝＝＝＝.∴原式成立．1．本節(jié)學(xué)習(xí)了積化和差公式、和差化積公式，一定要清楚這些公式的形式特征，理解公式間的關(guān)系．2．和差化積、積化和差公式不要求記憶，但要注意公式推導(dǎo)中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)注意這些公式與兩角和與差公式的聯(lián)系．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin Acos B． (　　)(2)sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos Asin B． (　　)(3)cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos Acos B． (　　)(4)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin Acos B． (　　)[提示]　(1)正確；(2)正確；(3)正確；(4)錯誤，cos(A＋B)－cos(A－B)＝－2sin Asin B．[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．cos 72°－cos 36°的值為(　　)A．3－2　　　　　 B．C．－ D．3＋2C　[原式＝－2sinsin＝－2sin 54°·sin 18°＝－2cos 36°cos 72°＝－2·＝－＝－＝－.]3．sin 37.5° cos 7.5°等于(　　)A． B．C． D．C　[sin 37.5 °cos 7.5°＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝(sin 45°＋sin 30°)＝×＝.故選C．]4．求函數(shù)y＝sinsin的最小正周期．[解]　f(x)＝sincos x＝＝sin＋，∴最小正周期T＝＝π.