1. 兩角和與差的正弦公式
sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β.(Sα＋β)
sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β.(Sα－β)
2. 兩角和與差的正切公式
(1)兩角和與差的正切公式
(2)兩角和與差的正切公式的變形
①Tα＋β的變形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)．
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)．
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan?α＋β?).
②Tα－β的變形：
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．
tan αtan β＝eq \f(tan α－tan β,tan?α－β?)－1.
思考：1. 兩角和與差的正弦公式在結(jié)構(gòu)上有什么特點(diǎn)？
提示：正弦公式右邊函數(shù)名的排列順序?yàn)椋赫び唷烙唷ふ笥覂蛇吋訙p運(yùn)算符號相同．
2．兩角和與差的正切公式中的“＋”“－”符號有什么規(guī)律？
提示：等號左邊的“＋”“－”和右邊分式的分子相同，和分母相反．
1．若tan α＝3，tan β＝eq \f(4,3)，則tan(α－β)等于( )
A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．3D．－3
A [tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝eq \f(3－\f(4,3),1＋3×\f(4,3))＝eq \f(1,3).]
2．計(jì)算sin 43°cs 13°－cs 43°sin 13°的結(jié)果等于( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
A [sin 43°cs 13°－cs 43°sin 13°＝sin(43°－13°) ＝sin30°＝eq \f(1,2).]
3．已知sin α＝eq \f(3,5)，0＜α＜eq \f(π,2)，則cs α＝__________________，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
eq \f(4,5) eq \f(7\r(2),10) [因?yàn)閟in α＝eq \f(3,5)，0＜α＜eq \f(π,2)，所以cs α＝eq \f(4,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4) ＋cs αsin eq \f(π,4) ＝eq \f(7\r(2),10).]
【例1】 (1)計(jì)算：sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°；
(2)計(jì)算：tan 23°＋tan 37°＋eq \r(3)tan 23°tan 37°.
[解] (1)原式＝sin 14°cs 16°＋sin(90°－14°)cs(90°－16°)
＝sin 14°cs 16°＋cs 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
(2)法一：tan 23°＋tan 37°＋eq \r(3)tan 23°tan 37°
＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋eq \r(3)tan 23°tan 37°
＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋eq \r(3)tan 23°tan 37°＝eq \r(3).
法二：∵tan(23°＋37°)＝eq \f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，
∴eq \r(3)＝eq \f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴eq \r(3)－eq \r(3)tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋eq \r(3)tan 23°tan 37°＝eq \r(3).
解決給角求值問題的策略
(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變形．
(2)一般途徑是將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負(fù)相消的項(xiàng)并消項(xiàng)求值，化分子，分母形式進(jìn)行約分，解題時要逆用或變用公式．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－3,4)，則sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值為( )
A．eq \f(\r(2),5)B．－eq \f(\r(2),5)
C．eq \f(\r(2),10)D．－eq \f(\r(2),10)
(2)eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝________.
(1)C (2)eq \r(3) [(1)因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(－3,4)，則sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝－eq \f(3,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)＋cs αsin eq \f(π,4)＝eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),10).
(2)原式＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝eq \r(3).]
【例2】 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))＝eq \f(5,13)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(3,5)，且0

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

2.2 兩角和與差的正弦、正切公式及其應(yīng)用

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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