北師大版 (2019)必修第二冊(cè)2.1 兩角和與差的余弦公式及其應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

§2　兩角和與差的三角函數(shù)公式2.1　兩角和與差的余弦公式及其應(yīng)用學(xué) 習(xí) 目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角和與差的余弦公式．(重點(diǎn))2．熟記兩角和與差的余弦公式的形式及符號(hào)特征，并能利用該公式進(jìn)行求值、計(jì)算．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過(guò)對(duì)兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)．2．通過(guò)應(yīng)用兩角和與差的余弦公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)和證明，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).兩角和與差的余弦公式 cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(Cα＋β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(Cα－β)(1)適用條件：公式中的角α，β都是任意角．(2)公式結(jié)構(gòu)：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)的積，連接符號(hào)與左邊角的連接符號(hào)相反．思考：1.“cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β”正確嗎？提示：不正確．cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.2．把“cos”用兩角和的余弦公式展開(kāi)，和用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)的結(jié)果相同嗎？提示：相同．用兩角和的余弦公式展開(kāi)為cos＝cos αcos－sin αsin＝－sin α，用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)為cos＝－sin α.1．下列三角函數(shù)式正確的是(　　)A．cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin βB．cos(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin βC．cos(α＋β)＝cos αcos α＋sin βsin βD．cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin βD　[由兩角和與差的余弦公式可知選項(xiàng)D正確．]2．cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°＝(　　)A．－ B．C．－ D．B　[cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°＝cos (20°＋10°) ＝cos 30°＝.]3．cos 15°＝________　[cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝.] 給角求值【例1】　計(jì)算：(1) cos 35°cos 25°＋sin 35°sin 205°；(2) sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；(3)cos 15°＋sin 15°.[解]　(1)cos 35°cos 25°＋sin 35°sin 205°＝cos 35°cos 25°＋sin 35°sin(180°＋25°)＝cos 35°cos 25°－sin 35°sin 25°＝cos(35°＋25°)＝cos 60°＝.(2)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°)＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝.(3)∵＝cos 60°，＝sin 60°，∴cos 15°＋sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.利用兩角和與差的余弦公式求值的方法技巧在利用兩角和與差的余弦公式解含有非特殊角的三角函數(shù)式的求值問(wèn)題時(shí)，要先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差(或同一個(gè)非特殊角與特殊角的差)，正用公式直接化簡(jiǎn)求值，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造出兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，正確地順用公式或逆用公式求值．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)化簡(jiǎn)cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值為(　　)A．　　　　　　 B．C．－ D．－(2)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)＝________.(1)B　(2)　[(1)cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝.(2)原式＝cos[(x＋27°) －(x－18°)]＝cos 45°＝.]給值求值【例2】　(1)已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，則cos(α－β)等于(　　)A．－ B．－C． D．(2)α，β為銳角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos α的值．(1)D　[因?yàn)?/span>sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，所以(cos α－cos β)2＝，(sin α－sin β)2＝－，兩式相加，得2－2cos(α－β)＝2－.所以cos(α－β)＝.](2)[解]　∵α，β為銳角，∴0<α＋β<π.又∵cos(α＋β)＝>0，∴0<α＋β<，∴0<2α＋β<π.又∵cos(2α＋β)＝>0，∴0<2α＋β<，∴sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝×＋×＝.給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角．(2)由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過(guò)程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．常見(jiàn)角的變換有：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知0<α<β<，且sin α＝，cos(α－β)＝，求cos β的值．[解]　因?yàn)?/span>α∈，sin α＝，所以cos α＝＝.由0<α<β<得，－<α－β<0，因?yàn)?/span>cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝－＝－，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝. 給值求角[探究問(wèn)題]1．已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，如何求這個(gè)角的值？提示：根據(jù)這個(gè)角的范圍，利用相關(guān)三角函數(shù)的單調(diào)性確定這個(gè)角的值．2．已知cos α＝，若α∈，則α的值是什么？若α∈呢？提示：當(dāng)α∈時(shí)，α的值為；當(dāng)α∈時(shí)，α的值為或－.【例3】　(1) 已知α，β均為銳角，且sin α＝，sin β＝，則α－β＝________(2)已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．[思路點(diǎn)撥]　(1)→→→(2)→→→(1)　[因?yàn)?/span>α，β均為銳角，且sin α＝，sin β＝，所以cos α＝，cos β＝，所以cos(α－β)＝×＋×＝，又因?yàn)?/span>sin α>sin β，所以0<β<α<，所以0<α－β<，所以α－β＝.](2)[解]　由α－β∈，cos(α－β)＝－，可知sin(α－β)＝.又∵α＋β∈，cos(α＋β)＝，∴sin(α＋β)＝－，∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.∵α－β∈，α＋β∈，∴2β∈，∴2β＝π，故β＝.已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍；(2)求所求角的某種三角函數(shù)值，為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)；(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，求β的值．[解]　∵α、β∈且cos α＝，cos(α＋β)＝－，∴sin α＝＝，sin(α＋β)＝＝.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.又∵β∈，∴β＝.1．“給式求值”或“給值求值”問(wèn)題，即由給出的某些函數(shù)關(guān)系式或某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變式”或“變角”，使“目標(biāo)角”換成“已知角”．注意公式的正用、逆用、變形用，有時(shí)需運(yùn)用拆角、拼角等技巧．2．“給值求角”問(wèn)題，實(shí)際上也可轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，求一個(gè)角的值，確定用所求角的哪種三角函數(shù)值，要根據(jù)具體題目而定．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos α－cos β． (　　)(2)任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β． (　　)(3)任意角α，β，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β． (　　)[提示]　(1)正確．如α＝，β＝，cos(α－β)＝cos＝cos＝，cos α－cos β＝cos －cos ＝，滿足cos(α－β)＝cos α－cos β.(2)錯(cuò)誤．由兩角差的余弦公式可知不正確．(3)正確．由兩角和的余弦公式可知正確．[答案]　(1)√　(2)×　(3)√2．若a＝(cos 30°，sin 30°)，b＝(cos 15°，－sin 15°)，則a·b等于(　　)A．　　　　　　　 B．C． D．－A　[a·b＝cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°＝cos(30°＋15°)＝cos 45°＝，故選A．]3．計(jì)算：sin 60°＋cos 60°＝________.　[原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝.]4．已知銳角α、β滿足cos β＝，sin(α－β)＝－，求cos α.[解]　∵α為銳角，且cos β＝，∴sin β＝.又∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<.又∵sin(α－β)＝－，從而cos(α－β)＝，∴cos α＝cos[β＋(α－β)]＝cos βcos(α－β) －sin βsin(α－β)＝×－×＝.

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