北師大版 (2019)必修第二冊1 周期變化導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．周期函數(shù)的概念
一般地，對于函數(shù)y＝f(x)，x∈D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對任意的x∈D，都有x＋T∈D且滿足f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)y＝f(x)稱作周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱作這個函數(shù)的周期．
2．最小正周期
如果在周期函數(shù)y＝f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就稱作函數(shù)y＝f(x)的最小正周期．
思考：1.為什么規(guī)定T非零？
提示：T若為零，則任意函數(shù)都是周期函數(shù)．
2．常函數(shù)f(x)＝c，x∈R是周期函數(shù)嗎？若是，其周期是什么？
提示：是周期函數(shù)，其周期是任意非零實數(shù)．
1．下列變化中，不是周期現(xiàn)象的是( )
A．“春去春又回”
B．鐘表的分針的運行
C．天干地支表示年、月、日的時間順序
D．某同學(xué)每天上學(xué)的時間
D [由周期現(xiàn)象的概念知，某同學(xué)每天上學(xué)的時間不是周期變化．故選D．]
2．探索如圖所呈現(xiàn)的規(guī)律，判斷2 019至2 020箭頭的方向是( )
A B C D
C [觀察題圖可知0到4為一個周期，則從2 019到2 020對應(yīng)著3到4.]
3．某物體作周期運動，如果一個周期為0.4秒，那么運動4秒，該物體經(jīng)過了________個周期．
10 [4÷0.4＝10，所以經(jīng)過了10個周期．]
4．已知函數(shù)feq (\a\vs4\al\c1(x))是定義在R上的偶函數(shù)，且對于任意的 x∈R都有feq (\a\vs4\al\c1(x＋4))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))＋feq (\a\vs4\al\c1(2))，f(1)＝4，求feq (\a\vs4\al\c1(3))＋feq (\a\vs4\al\c1(10))的值．
[解] 由題意可知feq (\a\vs4\al\c1(x＋4))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))＋feq (\a\vs4\al\c1(2))，
令x＝－2，可求得feq (\a\vs4\al\c1(－2))＝0，
又函數(shù)feq (\a\vs4\al\c1(x))是定義在R上的偶函數(shù)，所以feq (\a\vs4\al\c1(2))＝0，即feq (\a\vs4\al\c1(x＋4))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))，
所以feq (\a\vs4\al\c1(x))是以4為周期的周期函數(shù)，又feq (\a\vs4\al\c1(1))＝4，
所以feq (\a\vs4\al\c1(3))＋feq (\a\vs4\al\c1(10))＝feq (\a\vs4\al\c1(－1))＋feq (\a\vs4\al\c1(2))＝feq (\a\vs4\al\c1(1))＋0＝4.
【例1】水車上裝有16個盛水槽，每個盛水槽最多盛水10升，假設(shè)水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈，計算1小時內(nèi)最多盛水多少升？
[思路點撥] 由于水車每隔5分鐘轉(zhuǎn)一圈，所以要計算1小時內(nèi)最多盛水多少升，關(guān)鍵是確定1小時內(nèi)水車轉(zhuǎn)多少圈．
[解] 因為1小時＝60分鐘＝12×5分鐘，且水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈，
所以1小時內(nèi)水車轉(zhuǎn)12圈．
又因為水車上裝有16個盛水槽，每個盛水槽最多盛水10升，
所以每轉(zhuǎn)一圈，最多盛水16×10＝160(升)，
所以水車1小時內(nèi)最多盛水160×12＝1 920(升)．
1．周期現(xiàn)象的判斷
首先要認真審題，明確題目的實際背景，然后應(yīng)抓住“間隔相同，現(xiàn)象(或值)重復(fù)出現(xiàn)”這一重要特征進行判斷．
2．收集數(shù)據(jù)、畫散點圖，分析數(shù)據(jù)特點，能直觀的發(fā)現(xiàn)函數(shù)的周期性．
eq \([跟進訓(xùn)練])
1．利用本例中的水車盛800升的水，至少需要多少時間？
[解] 設(shè)x分鐘后盛水y升，由例1知每轉(zhuǎn)一圈，水車最多盛水16×10＝160(升)，
所以y＝eq \f(x,5)×160＝32x，
為使水車盛800升的水，則有32x≥800，
所以x≥25，即水車盛800升的水至少需要25分鐘．
[探究問題]
1．若存在非零常數(shù)a，使函數(shù)feq (\a\vs4\al\c1(x))在定義域上滿足：feq (\a\vs4\al\c1(x＋a))＝－feq (\a\vs4\al\c1(x))，則feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函數(shù)嗎？若是，其周期是什么？
提示：由已知得，feq (\a\vs4\al\c1(x＋2a))＝－feq (\a\vs4\al\c1(x＋a))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－f(\a\vs4\al\c1(x))))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))，根據(jù)周期函數(shù)的定義，feq (\a\vs4\al\c1(x))是以2a為一個周期的周期函數(shù)．
2．若存在非零常數(shù)a，使函數(shù)feq (\a\vs4\al\c1(x))在定義域上滿足：feq (\a\vs4\al\c1(x＋a))＝eq \f(1,f(\a\vs4\al\c1(x)))，則feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函數(shù)嗎？若是，其周期是什么？
提示：由已知得，feq (\a\vs4\al\c1(x＋2a))＝eq \f(1,f(\a\vs4\al\c1(x＋a)))＝eq \f(1,\f(1,f(\a\vs4\al\c1(x))))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))，根據(jù)周期函數(shù)的定義，feq (\a\vs4\al\c1(x))是以2a為一個周期的周期函數(shù)．
【例2】已知函數(shù)feq (\a\vs4\al\c1(x))滿足feq (\a\vs4\al\c1(x))feq (\a\vs4\al\c1(x＋2))＝13，求證：feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函數(shù)．
[證明] 由已知得feq (\a\vs4\al\c1(x＋2))＝eq \f(13,f(\a\vs4\al\c1(x)))，
所以feq (\a\vs4\al\c1(x＋4))＝eq \f(13,f(\a\vs4\al\c1(x＋2)))＝eq \f(13,\f(13,f(\a\vs4\al\c1(x))))＝feq (\a\vs4\al\c1(x)).
所以feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函數(shù)，4是它的一個周期．
判定一個函數(shù)是周期函數(shù)需分兩步
?1?先猜想出其周期；
?2?用周期函數(shù)的定義證之.
eq \([跟進訓(xùn)練])
2．已知函數(shù)feq (\a\vs4\al\c1(x))滿足feq (\a\vs4\al\c1(x＋1))＝eq \f(1＋f(\a\vs4\al\c1(x)),1－f(\a\vs4\al\c1(x)))，求證：feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函數(shù)．
[證明] 由已知得，feq (\a\vs4\al\c1(x＋2))＝eq \f(1＋f(\a\vs4\al\c1(x＋1)),1－f(\a\vs4\al\c1(x＋1)))＝eq \f(1＋\f(1＋f(\a\vs4\al\c1(x)),1－f(\a\vs4\al\c1(x))),1－\f(1＋f(\a\vs4\al\c1(x)),1－f(\a\vs4\al\c1(x))))＝eq \f(2,－2f(\a\vs4\al\c1(x)))＝－eq \f(1,f(\a\vs4\al\c1(x))).
所以feq (\a\vs4\al\c1(x＋4))＝－eq \f(1,f(\a\vs4\al\c1(x＋2)))＝－eq \f(1,－\f(1,f(\a\vs4\al\c1(x))))＝feq (\a\vs4\al\c1(x)).
所以feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函數(shù)，4是它的一個周期．
【例3】設(shè)feq (\a\vs4\al\c1(x))是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，feq (\a\vs4\al\c1(x＋2))＝－feq (\a\vs4\al\c1(x))，當(dāng)0≤x≤1時，feq (\a\vs4\al\c1(x))＝x.
(1)求feq (\a\vs4\al\c1(π))的值；
(2)當(dāng)－4≤x≤4時，求feq (\a\vs4\al\c1(x))的圖象與x軸所圍成圖形的面積；
(3)寫出(－∞，＋∞)內(nèi)函數(shù)feq (\a\vs4\al\c1(x))的單調(diào)遞增(或減)區(qū)間．
[思路點撥] 第(1)問先求函數(shù)feq (\a\vs4\al\c1(x))的周期，再求feq (\a\vs4\al\c1(π))；
第(2)問，推斷函數(shù)y＝feq (\a\vs4\al\c1(x))的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，再結(jié)合周期畫出圖象，由圖象易求面積；
第(3)問，觀察圖象寫出．
[解] (1)由feq (\a\vs4\al\c1(x＋2))＝－feq (\a\vs4\al\c1(x))，得feq (\a\vs4\al\c1(x＋4))＝－feq (\a\vs4\al\c1(x＋2))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－f(\a\vs4\al\c1(x))))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))，
所以feq (\a\vs4\al\c1(x))是以4為周期的周期函數(shù)，
∴feq (\a\vs4\al\c1(π))＝feq (\a\vs4\al\c1(－1×4＋π))＝feq (\a\vs4\al\c1(π－4))＝－feq (\a\vs4\al\c1(4－π))＝－eq (\a\vs4\al\c1(4－π))＝π－4.
(2)由feq (\a\vs4\al\c1(x))是奇函數(shù)與feq (\a\vs4\al\c1(x＋2))＝－feq (\a\vs4\al\c1(x))，
得feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((\a\vs4\al\c1(x－1))＋2))＝－feq (\a\vs4\al\c1(x－1))＝feq (\a\vs4\al\c1(1－x))，
即feq (\a\vs4\al\c1(1＋x))＝feq (\a\vs4\al\c1(1－x)).
故知函數(shù)y＝feq (\a\vs4\al\c1(x))的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．
又0≤x≤1時，feq (\a\vs4\al\c1(x))＝x，且feq (\a\vs4\al\c1(x))的圖象關(guān)于原點成中心對稱，則feq (\a\vs4\al\c1(x))的圖象如圖所示．
當(dāng)－4≤x≤4時，feq (\a\vs4\al\c1(x))的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×eq (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×1))＝4.
(3)函數(shù)feq (\a\vs4\al\c1(x))的單調(diào)遞增區(qū)間為[4k－1,4k＋1](k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間為[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．
1．已知feq (\a\vs4\al\c1(x))是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x＜2時，feq (\a\vs4\al\c1(x))＝x3－x，則函數(shù)y＝feq (\a\vs4\al\c1(x))的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點的個數(shù)為( )
A．6 B．7
C．8 D．9
B [當(dāng)0≤x＜2時，令feq (\a\vs4\al\c1(x))＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，
又feq (\a\vs4\al\c1(x))的最小正周期為2，
∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，
∴y＝feq (\a\vs4\al\c1(x))的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點個數(shù)為7.]
2．已知feq (\a\vs4\al\c1(x))是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足feq (\a\vs4\al\c1(x＋4))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))，則f(2)＝( )
A．0B．1
C．2D．3
A [由題意，feq (\a\vs4\al\c1(x))為周期函數(shù)且周期為4，
∴f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，
又f(－2)＝－f(2)，則f(2) ＝－f(2)，
所以f(2)＝0.]
研究周期函數(shù)時，通常先研究其在一個周期上的性質(zhì)，然后把它拓展到定義域上，這樣可簡化對函數(shù)的研究.
1．應(yīng)用周期現(xiàn)象中“周而復(fù)始”的規(guī)律性可以達到“化繁為簡”“化無限為有限”的目的．
2．只要確定好周期現(xiàn)象中重復(fù)出現(xiàn)的“基本單位”，就可以把問題轉(zhuǎn)化到一個周期內(nèi)來解決．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)任何周期函數(shù)都有最小正周期．( )
(2)若T是奇函數(shù)feq (\a\vs4\al\c1(x))的一個周期，則feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T,2)))＝0．( )
(3)若T是函數(shù)feq (\a\vs4\al\c1(x))的一個周期，則nTeq (\a\vs4\al\c1(n∈N*))也是函數(shù)feq (\a\vs4\al\c1(x))的一個周期．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2.設(shè)feq (\a\vs4\al\c1(x))是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間(－2,1]上的圖象，則feq (\a\vs4\al\c1(16))＝( )
A．1 B．0
C．－1D．2
A [由于feq (\a\vs4\al\c1(x))是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，
所以feq (\a\vs4\al\c1(16))＝feq (\a\vs4\al\c1(5×3＋1))＝feq (\a\vs4\al\c1(1))，
而由圖象可知f(1)＝1，
所以feq (\a\vs4\al\c1(16))＝1.]
3．一個質(zhì)點，在平衡位置O點附近振動，如果不考慮阻力，可將此振動看作周期運動，從O點開始計時，質(zhì)點向左運動第一次到達M點用了0.3 s，又經(jīng)過0.2 s，第二次通過M點，則質(zhì)點第三次通過M點，還要經(jīng)過的時間可能是________s.
1.4 [質(zhì)點從O點向左運動，O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，由于M→O與O→M用時相同，因此質(zhì)點運動半周期eq \f(T,2)＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，從而當(dāng)質(zhì)點第三次經(jīng)過M時用時應(yīng)為M→O→B→O→M，所用時間為0.3×2＋0.8＝1.4(s)．]
4．設(shè)函數(shù)feq (\a\vs4\al\c1(x))是定義在R上的奇函數(shù)，x，feq (\a\vs4\al\c1(2＋x))＝－feq (\a\vs4\al\c1(1－x)).
(1)證明y＝feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函數(shù)，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
[解] (1)由feq (\a\vs4\al\c1(2＋x))＝－feq (\a\vs4\al\c1(1－x))，
知feq (\a\vs4\al\c1(3＋x))＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2＋(\a\vs4\al\c1(1＋x))))＝－feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－(\a\vs4\al\c1(1＋x))))＝－feq (\a\vs4\al\c1(－x))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))，
所以y＝feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函數(shù)，且T＝3是其一個周期．
(2)因為feq (\a\vs4\al\c1(x))為定義在R上的奇函數(shù)，
所以feq (\a\vs4\al\c1(0))＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，
又T＝3是y＝feq (\a\vs4\al\c1(x))的一個周期，
所以feq (\a\vs4\al\c1(2))＋feq (\a\vs4\al\c1(3))＝feq (\a\vs4\al\c1(－1))＋feq (\a\vs4\al\c1(0))＝－2＋0＝－2.
學(xué)習(xí) 目標
核心素養(yǎng)
1.了解現(xiàn)實生活中的周期現(xiàn)象，能判斷簡單的實際問題中的周期．(難點)
2．初步了解周期函數(shù)的概念，能判斷簡單的函數(shù)的周期性．(難點、重點)
1.通過周期函數(shù)的概念的學(xué)習(xí)，逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
2．借助周期函數(shù)的判定，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).
周期現(xiàn)象
周期函數(shù)
周期函數(shù)的應(yīng)用

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