一支探險隊（A隊）在沙漠中遇險，兩支救援隊(B隊、C隊）收到探險隊發(fā)送的求救信號，同樣的速度同時出發(fā)，展開求援。通過測量，知道∠B＝∠C，那么哪支救援隊能先趕到探險隊所在地展開救援呢？
思考：前面我們證明了等腰三角形的兩底角相等．反過來，有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎？你能證明嗎？已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C．求證：AB=AC．
證法1：如圖，過點A作BC的垂線，垂足為D．∵ AC⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵∠B=∠C，AD=AD．∴△ABD≌△ACD(AAS)．∴AB=AC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．
證法2：如圖，作∠BAC的平分線,交BC于點D．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∵∠B=∠C，AD=AD．∴△ABD≌△ACD(AAS)．∴AB=AC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．
歸納 等腰三角形的判定方法： 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）注意：（1）要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆．（2）不能說“一個三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因為還未判定它是一個等腰三角形．（3）判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角 形，得到邊邊和角角關(guān)系．
證明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD≌△DCA (SSS)．∴∠ADB＝∠DAC．（全等三角形的對應(yīng)角相等）．∴AE=DE(等角對等邊) ．∴△AED是等腰三角形．
例1 已知，如圖，AB=DC，BD=CA，BD與CA相交于點E．求證：△AED是等腰三角形．
練習(xí)1：在△ABC中，∠A和∠B的度數(shù)如下，能判定△ABC是等腰三角形的是(　　)A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝80°，∠B＝60°C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝70°，∠B＝40°
想一想：小明認(rèn)為，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等. 你認(rèn)為小明這個結(jié)論成立嗎？如果成立，你能證明它嗎？
小明是這樣想的：如圖，在△ABC中，已 知∠B≠∠C,此時AB與AC要么相等，要么不相等.假設(shè)AB＝AC那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得∠C＝∠B， 這與已知條件∠B≠∠C相矛盾，因此 AB≠AC．你能理解他的推理過程嗎？　
小明在證明時，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱為反證法.
1.假設(shè):先假設(shè)命題的結(jié)論不成立;即結(jié)論的反面成立;2.歸謬:從這個假設(shè)出發(fā),應(yīng)用正確的推論方法,得出與定義，公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果;3.結(jié)論:由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確.
例2：用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角.已知：△ABC.求證： ∠A、∠B、∠C中不能有兩個角是直角.
證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設(shè)∠A和∠B是直角，即 ∠A= 90°，∠B = 90°.于是 ∠A＋∠B＋∠C = 90°＋ 90°＋ ∠C > 180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假設(shè)不成立. 所以，一個三角形中不能有兩個角是直角.
練習(xí)2.用反證法證明:在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于60°
證明: 假設(shè)∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三個內(nèi)角,且都大于60°, 則∠A> 60°,∠B > 60°, ∠C> 60°,
∴ ∠A+∠B+∠C>180°;這與三角形的內(nèi)角和是180定理矛盾
∴在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于60°.
1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E在BC邊上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，則圖中共有等腰三角形(　　)A．4個 B．5個 C．6個 D．2個
2.用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”時，應(yīng)先假設(shè)(　　 )A．有一個銳角小于45° B．每一個銳角都小于45°C．有一個銳角大于45° D．每一個銳角都大于45°
如圖，長方形ABCD 中，AB >AD，把長方形沿對角線AC 所在直線折疊，使點B 落在點E 處，AE 交CD 于點F，連接DE.（1）求證：△ADE ≌△CED；（2）求證：△DEF是等腰三角形．
證明：（1）∵四邊形ABCD是長方形， ∴AD＝BC, AB＝DC.∵△AEC是由△ABC折疊而成的，∴AD＝BC＝EC，AB＝DC＝AE.在△ADE和△CED中，AD＝CE，DE＝ED，AE＝CD，∴△ADE≌△CED(SSS)．
如圖，長方形ABCD中，AB>AD，把長方形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE.（1）求證：△ADE≌△CED；（2）求證：△DEF是等腰三角形．
（2）∵△ADE≌△CED，∴ ∠AED＝∠CDE，∴FD＝FE.∴ △DEF是等腰三角形．
1、說一說等腰三角形的判定定理？
有兩個角相等的三角形是等腰三角形.（等角對等邊）
2、說一說反證法的步驟？
（1）假設(shè):先假設(shè)命題的結(jié)論不成立;即結(jié)論的反面 成立;（2）歸謬:從這個假設(shè)出發(fā),應(yīng)用正確的推論方法,得出與定義，公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果;（3）結(jié)論:由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確.
基礎(chǔ)作業(yè)教材第10頁習(xí)題1.3第2、3題能力作業(yè)教材第10頁習(xí)題1.3第4題

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1 等腰三角形

版本： 北師大版

年級： 八年級下冊

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