考點05 一元二次方程考點總結(jié) 一、一元二次方程的概念1．一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：（其中為常數(shù)，），其中分別叫做二次項、一次項和常數(shù)項，分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因為當(dāng)時，不含有二次項，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．二、一元二次方程的解法1．直接開平方法：適合于或形式的方程．2．配方法：（1）化二次項系數(shù)為1；（2）移項，使方程左邊只含有二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；（3）方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；（4）把方程整理成的形式；（5）運(yùn)用直接開平方法解方程．3．公式法：（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定的值；（3）求出的值；（4）將的值代入即可．4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系1．根的判別式：一元二次方程是否有實數(shù)根，由的符號來確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式．2．一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系（1）當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)時，方程有1個（兩個相等的）實數(shù)根；（3）當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．3．根與系數(shù)關(guān)系：對于一元二次方程（其中為常數(shù)，），設(shè)其兩根分別為，，則，．四、利用一元二次方程解決實際問題列一元二次方程解應(yīng)用題步驟和列一元一次方程(組)解應(yīng)用題步驟一樣，即審、設(shè)、列、解、驗、答六步．列一元二次方程解應(yīng)用題，經(jīng)濟(jì)類和面積類問題是?？純?nèi)容．1．增長率等量關(guān)系（1）增長率=增長量÷基礎(chǔ)量．（2）設(shè)為原來量，為平均增長率，為增長次數(shù)，為增長后的量，則；當(dāng)為平均下降率時，則有．2．利潤等量關(guān)系：（1）利潤=售價－成本．（2）利潤率=×100％．3．面積問題（1）類型1：如圖1所示的矩形長為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．（2）類型2：如圖2所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．（3）類型3：如圖3所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為．             圖1                      圖2                          圖34. 碰面問題（循環(huán)問題）（1）重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m。∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，∴上述求法有重疊部分. ∴m=（2）不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次為m。∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場.∵A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，∴上述求法無重疊.∴m= 真題演練  一．選擇題（共10小題）1．（2021?南皮縣一模）下列關(guān)于x的方程中，一定有兩個不相等實數(shù)根的是（　?。?/span>A．x2﹣kx+2021＝0 B．x2+kx﹣2021＝0 C．x2﹣2021x+k＝0 D．x2+2021x﹣k＝0【分析】先求出Δ的值，再比較出其與0的大小即可求解．【解答】解：A、Δ＝（﹣k）2﹣4×1×2021）＝k2﹣8084，可能小于等于0，不一定有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意；B、Δ＝k2﹣4×1×（﹣2021）＝k2+8084＞0，一定有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意；可能小于等于0，不一定有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意；C、Δ＝（﹣2021）2﹣4×1×k＝20212﹣4k，可能小于等于0，不一定有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意；D、Δ＝20212﹣4×1×（﹣k）＝20212+4k，可能小于等于0，不一定有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意．故選：B．2．（2021?海港區(qū)模擬）已知關(guān)于x的方程x2+4x+c＝0的一個根是x＝﹣1，則方程x2+4x+c+1＝0的根的情況是（　?。?/span>A．不存在實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有一個根是x＝﹣1 D．有兩個相等的實數(shù)根【分析】把x＝﹣1代入方程x2+4x+c＝0，求得c＝3，即可根據(jù)根的判別式得出Δ＝42﹣4（c+1）＝16﹣16＝0，據(jù)此可得答案．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+4x+c＝0的一個根是x＝﹣1，∴1﹣4+c＝0，∴c＝3，在方程x2+4x+c+1＝0中，Δ＝42﹣4（c+1）＝16﹣16＝0，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，故選：D．3．（2021?橋東區(qū)二模）若x比（x﹣1）與（x+1）的積小1，則關(guān)于x的值，下列說法正確的是（　　）A．不存在這樣x的值 B．有兩個相等的x的值 C．有兩個不相等的x的值 D．無法確定【分析】由題意可得：（x﹣1）（x+1）﹣x＝1，整理得x2﹣x﹣2＝0，再由判別式Δ＞0即可求解．【解答】解：∵x比（x﹣1）與（x+1）的積小1，∴（x﹣1）（x+1）﹣x＝1，∴x2﹣1﹣x＝1，∴x2﹣x﹣2＝0，∵Δ＝1+8＝9＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：C．4．（2021?路南區(qū)二模）小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）時，只抄對了a＝2，c＝1，解出其中一個根是x＝1．他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的b比原方程的b值小1．則原方程的根的情況是（　?。?/span>A．不存在實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有另一個根是x＝﹣1 D．有兩個相等的實數(shù)根【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出所抄方程的b的值為﹣3，則原方程的b的值為﹣2，所以原方程為2x2﹣2x+1＝0，然后計算判別式的值，從而得到方程根的情況．【解答】解：根據(jù)題意得x＝1為方程2x2+bx+1＝0的一個根，設(shè)此方程的另一根為t，則1+t，1×t，解得t，b＝﹣3，即所抄的b的值為﹣3，所以原方程的b的值為﹣2，則原方程為2x2﹣2x+1＝0，因為Δ＝（﹣2）2﹣4×2＝﹣4＜0，所以原方程沒有實數(shù)解．故選：A．5．（2021?河北一模）若一元二次方程2x2﹣mx+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值可以是（　　）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＞0，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，對照四個選項即可得出結(jié)論．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣mx+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝（﹣m）2﹣4×2×1＝m2﹣8＞0，解得：m＜2或m＞2，觀察選項，只有3符合．故選：A．6．（2021?順平縣二模）定義：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a+b+c＝0，那我們稱這個方程為“蜻蜓”方程，已知關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蜻蜓”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，下列結(jié)論正確的是（　?。?/span>A．a＝c≠b B．a＝b≠c C．b＝c≠a D．a＝b＝c【分析】根據(jù)已知得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有x＝1，再判斷即可．【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0得出a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，∴a＝c，∴a＝c≠b，故選：A．7．（2021?競秀區(qū)一模）已知一元二次方程3x2+2x＝0的常數(shù)項被墨水污染，當(dāng)此方程有實數(shù)根時，被污染的常數(shù)項可以是（　?。?/span>A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．【解答】解：設(shè)常數(shù)項為c，由題意可知：Δ＝4﹣4×3c＝4﹣12c≥0，∴c，故選：D．8．（2021?邯鄲模擬）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0中，a＞2，該方程的解的情況是（　　）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．不能確定【分析】先根據(jù)方程的根的判別式，再根據(jù)a的范圍進(jìn)行判斷判別式的情況即可得出方程根的情況．【解答】解：方程根的判別式Δ＝a2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，∵a＞2，∴（a﹣2）2＞0，即Δ＞0，∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：B．9．（2021?古冶區(qū)一模）當(dāng)﹣1＜k＜0時，關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0根的情況是（　?。?/span>A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不等的實數(shù)根 C．有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【分析】計算根的判別式，利用k的取值范圍進(jìn)行判斷其符號即可求得答案．【解答】解：x2+4x﹣k＝0，Δ＝42+4k＝4（4+k），∵﹣1＜k＜0，∴4+k＞0，∴Δ＞0，∴該方程有兩個不等的實數(shù)根．故選：B．10．（2021?長安區(qū)二模）亮亮在解一元二次方程x2﹣6x+□＝0時，不小心把常數(shù)項丟掉了，已知這個一元二次方程有實數(shù)根，則丟掉的常數(shù)項的最大值是（　?。?/span>A．1 B．0 C．7 D．9【分析】設(shè)常數(shù)項為c，利用判別式的意義得到Δ＝（﹣6）2﹣4c≥0，再解不等式得到c的范圍，然后在此范圍內(nèi)確定最大值即可．【解答】解：設(shè)常數(shù)項為c，根據(jù)題意得Δ＝（﹣6）2﹣4c≥0，解得c≤9，所以c的最大值為9．故選：D．二．填空題（共5小題）11．（2021?灤南縣二模）若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，則：（1）a+b的值為 　4　；（2）的值為 　1　．【分析】由于a≠b，可把a、b可看作方程x2﹣4x+1＝0的兩根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．【解答】解：（1）∵a≠b，∴a、b可看作方程x2﹣4x+1＝0的兩根，∴a+b＝4，ab＝1，故答案為：4；（2）∵a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，∴1+a2＝4a，1+b2＝4b，∴1，故答案為：1．12．（2021?永德縣模擬）已知x＝1是關(guān)于x的方程x2+mx+n＝0的一個根，則m+n的值是　﹣1　．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x＝1代入一元二次方程x2+mx+n＝0，即可求得m+n的值．【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一個根，∴x＝1滿足一元二次方程x2+mx+n＝0，∴1+m+n＝0，∴m+n＝﹣1；故答案為：﹣1．13．（2020?江西）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一個根為x＝1，則這個一元二次方程的另一個根為　x＝﹣2　．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出方程的兩根之積為﹣2，結(jié)合方程的一個根為1，可求出方程的另一個根，此題得解．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，∴x1?x22．∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一個根為x＝1，∴另一個根為x＝﹣2÷1＝﹣2．故答案為：x＝﹣2．14．（2020?曲陽縣模擬）若關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+c＝0中，c＜0，該方程解的情況是 　方程有兩個不相等的實數(shù)根　．【分析】先求出Δ＝42﹣4×1×c＝16﹣4c＞0，再根據(jù)根的判別式判斷即可．【解答】解：x2+4x+c＝0，Δ＝42﹣4×1×c＝16﹣4c，∵c＜0，∴Δ＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故答案為：方程有兩個不相等的實數(shù)根．15．（2020?承德二模）定義：若a+b＝2，則稱a與b是關(guān)于1的平衡數(shù)．（1）4﹣x與　x﹣2　是關(guān)于1的平衡數(shù)．（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若（x﹣1）2關(guān)于1的平衡數(shù)是﹣7，則x的值為　4或﹣2　．【分析】（1）根據(jù)題中所給定義即可求解．（2）根據(jù)題中所給定義即可得出（x﹣1）2﹣7＝2，解一元二次方程即可求得結(jié)果．【解答】解：（1）∵若a+b＝2，則稱a與b是關(guān)于1的平衡數(shù)；∴2﹣（4﹣x）＝2﹣4+x＝x﹣2，∴4﹣x與x﹣2是關(guān)于1的平衡數(shù)．故答案為：x﹣2．（2）∵（x﹣1）2關(guān)于1的平衡數(shù)是﹣7，∴（x﹣1）2﹣7＝2，∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x＝4或﹣2，故答案為4或﹣2．三．解答題（共3小題）16．（2021?衡水模擬）如圖是一個五邊形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，準(zhǔn)備在五邊形ABCDE內(nèi)按如圖方式設(shè)計一個長方形FGCH鋪設(shè)木地板，剩下部分鋪設(shè)地磚．點F、G、H分別在邊AE、BC、CD上．（1）求五邊形ABCDE的面積；（2）若長方形FGCH的面積為35m2，求BG的長．（3）若鋪設(shè)木地板的成本為每平方米200元，鋪設(shè)地磚的成本為每平方米100元，投資7300元能否完成地面鋪設(shè)？通過計算說明．【分析】（1）過點E、A分別作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于點N，將五邊形ABCDE劃分成一個梯形和一個矩形的，即可求解；（2）設(shè)BG＝xm，則FG＝（4+x）m，CG＝（8﹣x）m，根據(jù)題意列出方程即可求解；（3）設(shè)BG＝ym，根據(jù)“投資7300元”列出方程即可求解．【解答】解：（1）過點E、A分別作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于點N，如圖，則∠EAN＝∠AEN＝45°，∴AN＝EN，∵MN＝AB，EM＝CD，∴EN＝EM﹣MN＝DC﹣AB＝10﹣4＝6（m），∴AN＝6（m），∴S五邊形ABCDE＝S梯形ABME+S矩形EMCD（4+10）×6+2×10＝62（m2）；（2）設(shè)BG＝xm，則FG＝（4+x）m，CG＝（8﹣x）m，根據(jù)題意得，（4+x）（8﹣x）＝35，解得：x1＝1，x2＝3，答：BG的長為1m或3m；（3）設(shè)BG＝ym，且0＜BG＜6，由題意得，200（4+y）（8﹣y）+100[62﹣（4+y）（8﹣y）]＝7300，化簡，得，y2﹣4y﹣21＝0，解得：y1＝7，y2＝﹣3均不符合題意，∴投資7300元不能完成地面鋪設(shè)，17．（2021?安次區(qū)二模）如圖，A，B兩張卡片除內(nèi)容外完全相同，現(xiàn)將兩張卡片扣在桌面上，隨機(jī)抽取一張，將抽中卡片上的整式各項改變符號后與未抽中卡片上的整式相加，并將結(jié)果化簡得到整式C．（1）若抽中的卡片是B．①求整式C；②當(dāng)x1時，求整式C的值．（2）若無論x取何值，整式C的值都是非負(fù)數(shù)，請通過計算，判斷抽到的是哪張卡片？【分析】（1）①整式C為：B的相反數(shù)+A，計算可得結(jié)論；②將x1可得整式C的值；（2）分抽中的卡片是B或A兩種情況計算整式C的值，并進(jìn)行配方，可得結(jié)論．【解答】解：（1）①∵B+x2﹣9x﹣1＝﹣4x2﹣8x﹣4，∴整式C為：﹣4x2﹣8x﹣4；②當(dāng)x1時，﹣4x2﹣8x﹣4＝﹣4×（1）2﹣8（1）﹣4＝﹣4（2﹣21）﹣88﹣4＝﹣8+84﹣84＝﹣8；（2）若抽中的卡片是B時，由（1）知：整式C為：﹣4x2﹣8x﹣4＝﹣4（x+1）2，∵﹣4＜0，（x+1）2≥0，∴無論x取何值，此時﹣4x2﹣8x﹣4是非正數(shù)；若抽中的卡片是A時，整式C為：﹣x2+9x+1+5x2﹣x+3＝4x2+8x+4＝4（x+1）2，∵4＞0，（x+1）2≥0，∴無論x取何值，此時4x2+8x+4是非負(fù)數(shù)；∴若無論x取何值，整式C的值都是非負(fù)數(shù)，則抽到的是卡片A．18．（2021?橋西區(qū)模擬）比較x2+y2與2xy的大小．嘗試：（用“＜”“＝”或“＞”填空）①當(dāng)x＝2，y＝2時，x2+y2?。健?/span>2xy；②當(dāng)x＝1，y＝3時，x2+y2　＞　2xy；③當(dāng)x＝﹣1，y＝﹣4時，x2+y2?。尽?/span>2xy．驗證：若x，y取任意實數(shù)，x2+y2與2xy有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由；應(yīng)用：當(dāng)xy＝1時，請直接寫出x2+4y2的最小值．【分析】①根據(jù)代數(shù)式求值，可得代數(shù)式的值，根據(jù)有理數(shù)的大小比較，可得答案；②根據(jù)代數(shù)式求值，可得代數(shù)式的值，根據(jù)有理數(shù)的大小比較，可得答案；③根據(jù)代數(shù)式求值，可得代數(shù)式的值，根據(jù)有理數(shù)的大小比較，可得答案；根據(jù)完全平方公式，可得答案．【解答】解：①當(dāng)x＝2，y＝2時，x2+y2＝4+4＝8，2xy＝2×2×2＝8，則x2+y2＝2xy；②當(dāng)x＝1，y＝3時，x2+y2＝1+9＝10，2xy＝2×1×3＝6，則x2+y2＞2xy；③當(dāng)x＝﹣1，y＝﹣4時，x2+y2＝1+16＝17，2xy＝2×（﹣1）×（﹣4）＝8，則x2+y2＞2xy；故答案為：＝；＞；＞；x2+y2≥2xy，理由如下∵x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy；∵xy＝1，∴x2+4y2＝x2+（2y）2≥4xy＝4．故x2+4y2的最小值是4．

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