平行線的性質(zhì)及平移（基礎(chǔ)）知識講解【學習目標】1．掌握平行線的性質(zhì)，并能依據(jù)平行線的性質(zhì)進行簡單的推理；2．了解平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系，理解兩條平行線的距離的概念；3. 掌握命題的定義，知道一個命題是由“題設(shè)”和“結(jié)論”兩部分組成，對于給定的命題，能找出它的題設(shè)和結(jié)論；4．了解圖形的平移變換，知道一個圖形進行平移后所得的圖形與原圖形之間所具有的聯(lián)系和性質(zhì)，能用平移變換有關(guān)知識說明一些簡單問題及進行圖形設(shè)計.【要點梳理】要點一、平行線的性質(zhì)    性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；    性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；    性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.【高清課堂：平行線的性質(zhì)及命題 403103平行線的性質(zhì)和判定小結(jié)】要點詮釋：
（1）“同位角相等、內(nèi)錯角相等”、“同旁內(nèi)角互補”都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，切不可忽視前提 “兩直線平行”． (2)從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補關(guān)系，是平行線的性質(zhì)． 要點二、兩條平行線的距離
同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離．要點詮釋：（1）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點，向另一條直線作垂線，垂線段的長度就是兩條平行線的距離．(2) 兩條平行線的位置確定后，它們的距離就是個定值，不隨垂線段的位置的改變而改變，即平行線間的距離處處相等．要點三、命題、定理、證明1.命題：判斷一件事情的語句，叫做命題．
要點詮釋：（1）命題的結(jié)構(gòu)：每個命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項.（2）命題的表達形式：“如果……，那么…….”，也可寫成：“若……，則…….”（3）真命題與假命題：  真命題：題設(shè)成立結(jié)論一定成立的命題，叫做真命題.假命題：題設(shè)成立而不能保證結(jié)論一定成立的命題，叫做假命題.2.定理：定理是從真命題（公理或其他已被證明的定理）出發(fā)，經(jīng)過推理證實得到的另一個真命題，定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).3.證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個推理過程叫做證明.要點詮釋：（1）證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當然”，這些根據(jù)可以是已知條件，學過的定義、基本事實、定理等.（2）判斷一個命題是正確的，必須經(jīng)過嚴格的證明；判斷一個命題是假命題，只需列舉一個反例即可．要點四、平移1. 定義：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移．要點詮釋：（1）圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離．（2）圖形的平移不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.2. 性質(zhì)：圖形的平移實質(zhì)上是將圖形上所有點沿同一方向移動相同的距離，平移不改變線段、角的大小，具體來說：（1）平移后，對應(yīng)線段平行且相等；（2）平移后，對應(yīng)角相等；（3）平移后，對應(yīng)點所連線段平行且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對全等圖形.要點詮釋：（1）“連接各組對應(yīng)點的線段”的線段的長度實際上就是平移的距離．(2)要注意“連接各組對應(yīng)點的線段”與“對應(yīng)線段”的區(qū)別，前者是通過連接平移前后的對應(yīng)點得到的，而后者是原來的圖形與平移后的圖形上本身存在的.3. 作圖：平移作圖是平移基本性質(zhì)的應(yīng)用，在具體作圖時，應(yīng)抓住作圖的“四步曲”——定、找、移、連．   (1)定：確定平移的方向和距離；   (2)找：找出表示圖形的關(guān)鍵點；   (3)移：過關(guān)鍵點作平行且相等的線段，得到關(guān)鍵點的對應(yīng)點；   (4)連：按原圖形順次連接對應(yīng)點．【典型例題】類型一、平行線的性質(zhì) 1．（2015?東莞）如圖，直線a∥b，∠1=75°，∠2=35°，則∠3的度數(shù)是（　?。?/span>　 A．75° B． 55° C． 40° D． 35°【思路點撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠4=∠1=75°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠3的度數(shù)．【答案】C．【解析】解：∵直線a∥b，∠1=75°，∴∠4=∠1=75°，∵∠2+∠3=∠4，∴∠3=∠4﹣∠2=75°﹣35°=40°．【總結(jié)升華】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，已知，且∠1=48°，則∠2＝     ，∠3＝     ，∠4＝     .    【答案】48°，132°，48°類型二、兩平行線間的距離2．如圖所示，直線l1∥l2，點A、B在直線l2上，點C、D在直線l1上，若△ABC的面積為S1，△ABD的面積為S2，則(    )        A．S1＞S2    B．S1＝S2    C．S1＜S2    D．不確定【答案】B【解析】因為l1∥l2，所以C、D兩點到l2的距離相等．同時△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它們的面積相等．【點評】三角形等面積問題常與平行線間距離處處相等相結(jié)合． 類型三、命題 3．判斷下列語句是不是命題，如果是命題，是正確的? 還是錯誤的?    ①畫直線AB；②兩條直線相交，有幾個交點；③若a∥b，b∥c，則a∥c；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果兩個角不相等，那么這兩個角不是對頂角．【答案】①②不是命題；③④⑤⑥是命題；③④⑥是正確的命題；⑤是錯誤的命題．【解析】因為①②不是對某一事情作出判斷的句子，所以①②不是命題；在③④⑤⑥四個命題中，③④⑥是真命題，⑤是假命題．【點評】命題必須對某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判斷，如問句、陳述句就不是命題，值得注意的是錯誤的命題也是命題．【高清課堂：平行線的性質(zhì)及命題403103命題改寫練習】舉一反三：【變式】把下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式．   （1）兩直線平行，同位角相等；（2）對頂角相等；（3）同角的余角相等.【答案】  解：（1）如果兩直線平行，那么同位角相等.（2）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.（3）如果有兩個角是同一個角的余角，那么它們相等. 類型四、平移4．如圖所示，平移△ABC，使點A移動到點A′，畫出平移后的△A′B′C′．     【思路點撥】平移一個圖形，首先要確定它移動的方向和距離，連接AA′后這個問題便獲得解決．根據(jù)平移后的圖形與原來的圖形的對應(yīng)線段平行(或在一條直線上)且相等，容易畫出所求的線段．【答案與解析】 解：如圖所示，      （1）連接AA′，過點B作AA′的平行線，在上截取BB′＝AA′，則點B′就是點B的對應(yīng)點．（2）用同樣的方法做出點C的對應(yīng)點C′，連接A′B′、B′C′、C′A′，就得到平移后的三角形A′B′C′．【點評】平移一個圖形，首先要確定它移動的方向和距離．連接AA′，這個問題就解決了，然后分別把B、C按AA′的方向平移AA′的長度，便可得到其對應(yīng)點B′、C′，這就是確定了關(guān)鍵點平移后的位置，依次連接A′B′，B′C′，C′A′便得到平移后的三角形A′B′C′．5．(湖南益陽)如圖所示，將△ABC沿直線AB向右平移后到達△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，則∠CBE的度數(shù)為________．    【答案】30°【解析】根據(jù)平移的特征可知：∠EBD＝∠CAB＝50°而∠ABC＝100°    所以∠CBE＝180°-∠EBD-∠ABC＝180°-50°-100°＝30°【點評】圖形在平移的過程有“一變兩不變”、“一變”是位置的變化，“兩不變”是形狀和大小不變．本例中由△ABC經(jīng)過平移得到△BED．則有AC＝BE，AB＝BD，BC＝DE，∠A＝∠EBD，∠C＝∠E，∠ABC＝∠BDE．舉一反三：【變式】（2015?泉州）如圖，△ABC沿著由點B到點E的方向，平移到△DEF，已知BC=5．EC=3，那么平移的距離為（　　）　 A．2 B． 3 C． 5 D． 7【答案】A根據(jù)平移的性質(zhì)，易得平移的距離=BE=5﹣3=2.故選A． 類型五、平行的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用6、如圖所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝(  )      A．180°    B．270°    C．360°    D．540°【答案】C   【解析】過點C作CD∥AB，∵ CD∥AB，∴ ∠BAC+∠ACD=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)又∵ EF∥AB∴ EF∥CD．∴ ∠DCE+∠CEF=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【點評】這是平行線性質(zhì)與平行公理的綜合應(yīng)用，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，”可以得到∠BAC +∠ACE+ ∠CEF＝360°．舉一反三：【變式】如圖所示，如果∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°，則AB與EF的位置關(guān)系       ．【鞏固練習】一、選擇題1．下列說法：①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；②內(nèi)錯角相等，兩直線平行；③同位角相等，兩直線平行；④垂直于同一條直線的兩條直線平行，其中是平行線的性質(zhì)的是    (    )    A．①    B．②和③    C．④    D．①和④2．如圖所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，則∠2等于    (    )    A．60°    B．90°    C．120°    D．150°3．下列圖形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是(    )4．（2015?呼和浩特）如圖，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度數(shù)為（　　）　 A．70° B． 100° C． 110° D． 120°5.如圖所示，已知AD與BC相交于點O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，則∠AOC的大小為(    )    A．60°    B．70°    C．80°    D．120° 6.如圖所示，直線l1//l2，∠1＝40°，∠2＝75°，則∠3等于(    )    A．55°    B．30°    C．65°    D．70°7.命題“等角的余角相等”中的余角是    (    )    A．結(jié)論的一部分    B．題設(shè)的一部分    C．既不屬于結(jié)論也不屬于題設(shè)    D．同屬于題設(shè)和結(jié)論部分8.如圖所示的圖形中的小三角形可以由△ABC平移得到的有    (    )    A．3個    B．4個    C．5個    D．6個二、填空題9.如圖，AB∥CD，BC∥AD．AC⊥BC于點C，CE⊥AB于點E，那么AB、CD間的距離是________的長，BC、AD間的距離是________的長．10. 如圖所示，△ABC經(jīng)過平移得到△A′B′C′，圖中△_________與△_________大小形狀不變，線段AB與A′B′的位置關(guān)系是________，線段CC′與BB′的位置關(guān)系是________．11.（2015?廣州）如圖，AB∥CD，直線l分別與AB，CD相交，若∠1=50°，則∠2的度數(shù)為　   　°．12．如圖，在四邊形ABCD中，若∠A+∠B＝180°，則∠C+∠D＝_______．13．將兩張矩形紙片如圖所示擺放，使其中一張矩形紙片的一個頂點恰好落在另一張矩形紙片的一條邊上，則∠1+∠2＝________．14．如圖所示，AB∥CD，且∠BAP＝60°-a，∠APC＝45°+a，∠PCD＝30°-a，則a＝________． 三.解答題15.（2015?益陽）如圖，直線AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度數(shù)． 16. 如圖，a∥b∥c，∠1＝60°，∠2＝36°，AP平分∠BAC，求∠PAQ的度數(shù)． 17．給出下列語句，先判斷是否為命題，如果是命題請指明其題設(shè)和結(jié)論．    (1)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；    (2)直角都相等；    (3)畫直線AB；    (4)凡內(nèi)錯角都相等． 18. 如圖，將四邊形ABCD平移到四邊形EFGH的位置，根據(jù)平移后對應(yīng)點所連的線段平行且相等，寫出圖中平行的線段和相等的線段． 【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】A；   【解析】兩直線平行角的關(guān)系.2. 【答案】C；   【解析】∠2+∠1＝180°，又∠2＝2∠1，所以∠2＝120°.3. 【答案】Ｂ；   【解析】∠2與∠1的對頂角是同位角的關(guān)系.4.【答案】C．【解析】如圖，∵∠1=70°，∴∠2=∠1=70°，∵CD∥BE，∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°．5. 【答案】B    【解析】注意到CD∥OE∥AB，由“兩直線平行，同位角相等”可知∠AOE＝∠D＝30°，∠EOC＝∠B＝40°．故∠AOC＝∠EOC+∠AOE＝40°+30°＝70°．6. 【答案】C；   【解析】∠3＝180°－40°－75°＝65°.7.【答案】B；8.【答案】C     【解析】圖中小三角形△BDE，△CEF，△DGH，△EHI，△FIJ都可以由△ABC平移得到．二、填空題9.【答案】線段CE，線段AC；10.【答案】ABC， A′B′C′，平行，平行；【解析】平移的性質(zhì)．11.【答案】50.12．【答案】180°；   【解析】由已知可得：AD∥BC，由平行的性質(zhì)可得：∠D+∠C＝180°.13.【答案】90°；14.【答案】15°；   【解析】由圖可知：∠APC＝∠BAP+∠PCD，即有45°+a＝60°-a+30°-a，解得：a＝15°.三、解答題15.【解析】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABC=130°，∴∠BDC=180°﹣∠ABD=50°，∴∠2=∠BDC=50°．16.【解析】解：∵a∥b∥c，∴∠BAQ＝∠1＝60°，∠CAQ＝∠2＝36°，∠BAC＝60°+36°＝96°，    又AP平分∠BAC，∠BAP＝×96°＝48°，    ∴∠PAQ＝∠BAQ-∠BAP＝60°-48°＝12°．17.【解析】解： (3)不是命題，(1)、(2)、(4)是命題，題設(shè)和結(jié)論見下表．18.【解析】解：平行的線段：AE∥CG∥DH，AE∥BF∥DH，相等的線段：AE＝BF＝CG＝DH．     【答案】平行          

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4.3 平行線的性質(zhì)

版本： 湘教版

年級： 七年級下冊

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