1．理解三元一次方程(或組)的含義；
2．會解簡單的三元一次方程組；
3. 會列三元一次方程組解決有關(guān)實際問題.
【要點梳理】
要點一、三元一次方程及三元一次方程組的概念
1.三元一次方程的定義
含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
要點詮釋：
(1)三元一次方程的條件：①是整式方程，②含有三個未知數(shù)，③含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不為零．
2．三元一次方程組的定義
一般地，由幾個一次方程組成，并且含有三個未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組.
要點詮釋：
(1) 三個方程中不一定每一個方程中都含有三個未知數(shù)，只要三個方程共含有三個未知量即可．
（2）在實際問題中含有三個未知數(shù)，當這三個未知數(shù)同時滿足三個相等關(guān)系時，可以建立三元一次方程組求解．
要點二、三元一次方程組的解法
解三元一次方程組的一般步驟
(1)利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；
(2)解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；
(3)將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；
(4)解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值；
(5)將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．
要點詮釋：
（1）解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”消元，把“三元”化為“二元”．使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據(jù)各方程特點尋求其較簡單的解法．
要點三、三元一次方程組的應(yīng)用
列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟
1．弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(或三個)未知數(shù)；
2．找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；
3．根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；
4．解這個方程組，求出未知數(shù)的值；
5．寫出答案(包括單位名稱)．
要點詮釋：
(1)解實際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去．
(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一．
(3)一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個方程并組成方程組．
【典型例題】
類型一、三元一次方程及三元一次方程組的概念
1.下列方程組中是三元一次方程組的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A選項中與中未知數(shù)項的次數(shù)為2次，故A選項不是；B選項中，，不是整式，故B選項不是；C選項中有四個未知數(shù)，故C選項不是；D項符合三元一次方程組的定義．
【總結(jié)升華】理解三元一次方程組的定義要注意以下幾點：(1)方程組中的每一個方程都是一次方程；(2)一般地，如果三個一次方程合起來共有三個未知數(shù)，它們就能組成一個三元一次方程組．
類型二、三元一次方程組的解法
2.（2016春?棗陽市期末）在等式y(tǒng)=ax2+bx+c中，當x=﹣1時，y=0；當x=2時，y=3；當x=5時，y=60．求a，b，c的值．
【思路點撥】由“當x=﹣1時，y=0；當x=2時，y=3；當x=5時，y=60”即可得出關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論．
【答案與解析】
解：根據(jù)題意，得，
②﹣①，得a+b=1④；
③﹣①，得4a+b=10 ⑤．
④與⑤組成二元一次方程組，
解這個方程組，得，
把代入①，得c=﹣5．
因此，即a，b，c的值分別為3，﹣2，﹣5．
【總結(jié)升華】本題考查了解三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于a、b、c的三元一次方程組．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大.
舉一反三：
【變式】解方程組：
【答案】
解：①+②得：
①×2+③得：
由此可得方程組：
④－⑤得：，
將代入⑤知：
將，代入①得：
所以方程組的解為：
3. 解方程組
【答案與解析】
解法一：原方程可化為：
由①③得：， ④
將④代入②得：，得： ⑤
將⑤代入④中兩式，得：，
所以方程組的解為：
解法二：設(shè)，則
將③代入②得：，
將代入③得：，
所以方程組的解為：
【總結(jié)升華】對于這類特殊的方程組，可根據(jù)其方程組中方程的特點，采用一些特殊的解法(如設(shè)比例系數(shù)等)來解．
舉一反三：
【變式】（2015秋?德州校級月考）若三元一次方程組的解使ax+2y+z=0，則a的值為（ ）
A．1B．0C．﹣2D．4
【答案】B．
解：，
①+②+③得：x+y+z=1④，
把①代入④得：z=﹣4，
把②代入④得：y=2，
把③代入④得：x=3，
把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，
解得：a=0．
類型三、三元一次方程組的應(yīng)用
4. （2015春?黃陂區(qū)校級月考）購買鉛筆7支，作業(yè)本3本，圓珠筆1支共需3元；購買鉛筆10支，作業(yè)本4本，圓珠筆1支共需4元，則購買鉛筆11支、作業(yè)本5本圓珠筆2支共需 元．
【思路點撥】首先假設(shè)鉛筆的單價是x元，作業(yè)本的單價是y元，圓珠筆的單價是z元．購買鉛筆11支，作業(yè)本5本，圓珠筆2支共需a元．根據(jù)題目說明列出方程組，解方程組求出a的值，即為所求結(jié)果．
【答案】5．
【解析】
解：設(shè)鉛筆的單價是x元，作業(yè)本的單價是y元，圓珠筆的單價是z元．購買鉛筆11支，作業(yè)本5本，圓珠筆2支共需a元．
則由題意得：
，
由②﹣①得3x+y=1，④
由②+①得17x+7y+2z=7，⑤
由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，
解得：a=5.
【總結(jié)升華】本題考查了列三元一次不定方程組解實際問題的運用，在解決實際問題時，若未知量較多，要考慮設(shè)三個未知數(shù)，但同時應(yīng)注意，設(shè)幾個未知數(shù)，就要找到幾個等量關(guān)系列幾個方程．
舉一反三：
【變式】現(xiàn)有面值為2元、1元和5角的人民幣共24張，幣值共計29元，其中面值為2元的比1元的少6張，求三種人民幣各多少張?
【答案】
解：設(shè)面值為2元、1元和5角的人民幣分別為x張、y張和z張．
依題意，得
把③分別代入①和②，得
⑤×2，得6x+z＝46 ⑥
⑥-④，得4x＝28，x＝7．
把x＝7代入③，得y＝13．
把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．
∴方程組的解是．
答：面值為2元、l元和5角的人民幣分別為7張、13張和4張．

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