36角（基礎(chǔ)）知識講解練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

角（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能進行角度的互換；2. 借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；3．會利用角平分線的意義進行有關(guān)表示或計算；4. 掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會進行有關(guān)計算；5. 掌握互為余角和互為補角的概念及性質(zhì)，會用余角、補角及性質(zhì)進行有關(guān)計算；6．了解方位角的概念，并會用方位角解決簡單的實際問題．【要點梳理】要點一、角的概念1．角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．要點詮釋：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：要點詮釋：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯數(shù)字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．要點二、角的比較與運算1.角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要點詮釋：在進行有關(guān)度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當?shù)臀坏脭?shù)大于等于60時要向高一位進位．2.角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。?/span>方法2：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差關(guān)系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．要點詮釋：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB．要點詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣．要點三、余角和補角1.定義：一般地，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角．類似地，如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角．2．性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補角相等．要點詮釋：(1)互余互補指的是兩個角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補的兩個角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)． (2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°-α)，一個角α的補角可以表示為(180°-α) ．顯然一個銳角的補角比它的余角大90°。要點四、方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要點詮釋：（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”；（3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點O是觀測點，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點．要點五、鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．【典型例題】類型一、角的概念及表示1.下列語句正確的是 ( ) ． A．兩條直線相交，組成的圖形叫做角． B．兩條具有公共端點的線段組成的圖形叫做角． C．兩條具有公共端點的射線組成的圖形叫做角． D．過同一點的兩條射線組成的圖形叫做角．【答案】C【解析】根據(jù)角的定義判斷【總結(jié)升華】角不能僅僅看作是有公共端點的兩條射線，角的兩種描述中都隱含了組成角的一個重要元素，即兩條射線間的相對位置關(guān)系，這是角與“有公共端點的兩條射線”的重要區(qū)別．舉一反三：【變式】判斷下列說法是否正確 (1)兩條射線組成的圖形叫做角 ( ) (2)平角是一條直線 ( ) (3)周角是一條射線 ( )【答案】(1)× (2)× (3)×2. 寫出圖中(1)能用一個字母表示的角；(2)以B為頂點的角； (3)圖中共有幾個角(小于180°). 【答案與解析】解：(1)能用一個字母表示的角∠A、∠C． (2)以B為頂點的角∠ABE、∠ABC、∠CBE． (3)圖中共有7個角．【總結(jié)升華】(1)頂點處只有一個角時，才可以用一個字母表示； (2)一般數(shù)角時不包括平角和大于平角的角．類型二、角度制的換算3. (1)把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45°12′30″化成度（精確到百分位）．【思路點撥】第(1)題中25.72°中含有兩部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)題中，45°12′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已經(jīng)是度，只要把12′和30″化成度即可．【答案與解析】解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，所以25.72°＝25°43′12″． (2)，所以45°12′30″≈45.21°．【總結(jié)升華】無論由高級單位向低級化還是由低級單位向高級化，都必須逐級進行，“越級”化單位容易出錯．舉一反三：【變式】 (1)把26.29°轉(zhuǎn)化為度、分、秒表示的形式； (2)把33°24′36″轉(zhuǎn)化成度表示的形式．【答案】解： (1)26.29°＝26°+0.29°＝26°+0.29×60′＝26°+17.4′＝26°+17′+0.4×60″＝26°17′+24″＝26°17′24″(2)33°24′36″＝33°+24′+36×＝33°+24′+0.6′＝33°+24.6′＝33°+24.6×＝33.41°提示：在角度的和、差運算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后再進行計算。類型三、角的比較與運算4.不用量角器，比較圖1和圖2中角的大?。?用“＞”連接) 【思路點撥】圖1中兩角∠α、∠β均為銳角，因此，在不能測量的情形下，我們可以將圖中的∠α向∠β平移，讓∠α與∠β始邊重合，觀察終邊的位置來比較角的大小．圖2中的三個角按角的分類，∠1為銳角，∠2為直角，∠3為鈍角，因此按照各自的范圍就可以將它們的大小比較出來．【答案與解析】解：(1)如圖所示，將∠α平移使∠α的始邊與∠β的始邊重合，發(fā)現(xiàn)∠α落在∠β內(nèi)部，因此∠β＞∠α． (2)由圖可知∠1是銳角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是鈍角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1．【總結(jié)升華】本例給出的兩題是在不用量角器測量角的情況下比較角的大小，一種方法是疊合比較法，另外一種方法則是根據(jù)角的分類，由圖形觀察角的不同分類，按照常見的銳角＜直角＜鈍角＜平角＜周角來比較大小．舉一反三：【變式】已知∠AOB(如圖所示)，畫一個角等于這個角．【答案】作法：(1)以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點C、D； (2)畫一條射線O′A′，以點O′為圓心，OC長為半徑畫弧l，交O′A′于點C′； (3)以點C′為圓心，CD長為半徑畫弧，交弧l于點D′； (4)過點D′畫射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．5. 如圖所示，已知OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，OB是∠AOD的平分線，求∠AOD的度數(shù)．【答案與解析】解：因為OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，所以∠BOD＝2∠BOC=2×20°＝40°．又OB是∠AOD的平分線，所以∠AOD＝2∠BOD＝2×40°＝80°．【總結(jié)升華】應(yīng)用角的平分線的定義時根據(jù)兩點：若OB是∠AOC的平分線，則①∠AOB＝∠BOC＝∠AOC；②∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，在解題時要學(xué)會靈活應(yīng)用．舉一反三：【變式】已知：如圖，OM是∠AOB的平分線，ON是∠BOC的平分線，∠AOC=80?，求：∠MON. 【答案】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOC.(角平分線的定義)∴∠MON=∠MOB+∠BON =∠AOB+∠BOC=(∠AOB+∠BOC) =∠AOC=×80?=40? .即∠MON=40?.類型四、余角和補角6.（2016春?曹縣校級月考）一個角的補角比這個角的余角的2倍還多40°，求這個角的度數(shù)．【思路點撥】這類題目要先設(shè)出這個角的度數(shù)．設(shè)這個角為x°，分別寫出它的余角和補角，根據(jù)題意寫出等量關(guān)系，解之即可得到這個角的度數(shù)．【答案與解析】解：設(shè)這個角為x°，則其余角為（90﹣x）°，補角為（180﹣x）°，依題意有180﹣x=2（90﹣x）+40，解得x=40．答：這個角的度數(shù)是40°．【總結(jié)升華】本題考查了余角和補角，是基礎(chǔ)題，列出方程是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2015?金華）已知∠α=35°，則∠α的補角的度數(shù)是（　　）　A．55° B． 65° C． 145° D． 165°【答案】C．類型五、方位角7. A看B的方向是北偏東30°，那么B看A的方向是( ) ． A．南偏東60° B．南偏西60° C．南偏東30° D．南偏西30°【答案】D【解析】依題意畫出示意圖．由圖可知，圖中∠1即表示從A看B的北偏東30°，∠2是從B看A的方位角．由此可確定從B看A是南偏西30°．【總結(jié)升華】從本例的分析與結(jié)果來看，從A看B與從B看A正好是一對對立的觀察過程，其方向是一種“相反”的對應(yīng)關(guān)系．方位角的確定首先以什么點為基點（即人站在此處觀察）要弄清楚，再由正南或正北到視線夾角測量出來．舉一反三：【變式】小王從家出發(fā)向南偏東30°的方向走了1000米到達小軍家，此時小王家在小軍家的________方向．【答案】北偏西30°類型六、鐘表上有關(guān)夾角問題8.（2015?丹東模擬）如圖是一個時鐘的鐘面，下午1點30分，時鐘的分針與時針所夾的角等于　　．【答案】135°．【解析】解：30°×（4+）=30=135°.【總結(jié)升華】根據(jù)鐘面平均分成12份，可得每份30°，根據(jù)每份的度數(shù)乘以時針與分針相距的份數(shù)，可得答案．本題考查了鐘面角，每份的度數(shù)乘以時針與分針相距的份數(shù)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】2時48分時針與分針的夾角．【答案】解法1：如圖(2)，設(shè)2時48分時針與分針的夾角為∠α，所以∠α＝360°-(48×6°-2×30°-48×0.5°) ＝360°-204°＝156° 解法2：如圖(2) ∠BOD＝30°×4＝120°， ∠COD＝2×6°＝12°， ∠AOB＝48×0.5°＝24°，所以∠AOC＝∠BOD+∠COD+∠AOB＝156°．即2時48分時針與分針的夾角為156°．

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