
理解待定系數法的意義.
會用待定系數法求一次函數的解析式.
一般地,形如 y=kx(k是常數,k≠0)的函數,叫做正比例函數.
一般地,形如y=kx+b(k,b是常數,k≠0) 的函數,叫做一次函數.
問題2:什么叫做一次函數?
問題1:什么叫做正比例函數?
正比例函數 y=kx(k≠0)的圖象是經過(0,0)和(1,k)一條直線.
前面,我們學習了一次函數及其圖象和性質,你能寫出兩個具體的一次函數解析式嗎?如何畫出它們的圖象?
思考: 反過來,已知一個一次函數的圖象經過兩個具體的點,你能求出它的解析式嗎?
兩點法——兩點確定一條直線
例4:已知正比例函數的圖象經過點(3,5)與(-4,-9),求這個一次函數的解析式.
分析:因為一次函數的一般形式是y=kx+b(k,b為常數,k≠0),要求出一次函數的解析式,關鍵是要確定k和b的值(即待定系數).
解:設這個一次函數的解析式為y=kx+b(k≠0)
∵y=kx+b的圖像過點(3,5)與(-4,-9)
3k+b=5-4k+b=-9
∴這個一次函數的解析式為y=2x-1
像這樣先設出函數解析式,再根據條件確定解析式中未知的系數,從而得出函數解析式的方法,叫做待定系數法。
函數解析式y=kx+b
滿足條件的兩定點(x1,y1)與(x2,y2)
一次函數的圖象 直線 l
用待定系數法求一次函數解析式的步驟
設:設出一次函數的解析式 y=kx+b(k≠0).
列:將已知的兩組x、y的對應值分別代入所設的解析式 中,列出關于k、b的二元一次方程組.
解:解所列的方程組,求出k 、b的值.
代:將求出的k 、b的值代入所設解析式中,得到所求一次函數的解析式.
1.如圖,已知一次函數的圖象經過P(0,-1),Q(1,1)兩點. 怎樣確定這個一次函數的解析式呢?
解:∵P(0,-1) 和Q(1,1)都在該函數圖象上, ∴它們的坐標應滿足y=kx+b , 將這兩點坐標代入該式中,得到一個關于k,b的二元一次方程組:
∴這個一次函數的解析式為y = 2x- 1.
例5 “黃金1號”玉米種子的價格為 5 元/kg,如果一次購買 2kg 以上的種子,超過 2kg 部分的種子價格打 8 折.
(2)寫出付款金額關于購買量的函數解析式,并畫出函數圖象.
分析:付款金額與種子價格相關,問題中種子價格不是固定不變的,它與購買量有關.設購買 x kg 種子,當 0≤x≤2 時,種子價格為 5元/kg;當 x>2 時,其中有 2kg 種子按 5元/kg 計價,其余的(x-2)kg(即超出 2kg 部分)種子按 4元/kg(即8折)計價.因此,寫函數解析式與畫函數圖象時,應對 0≤x≤2 和 x>2 分段討論.
(2)設購買量為 x kg,付款金額為 y 元.
當 0≤x≤2 時,y=5x.
當 x>2時,y=4(x-2)+10=4x+2.
(1)一次購買 1.5kg 種子,需付款多少元?
(2)一次購買 3kg 種子,需付款多少元?
思考:你能由上面的函數解析式解決以下問題嗎?由函數圖象也能解決這些問題嗎?
一次函數應用的兩種類型:
(1)題目中已知一次函數的解析式,可直接運用一次函數的性質求解.
(2)題目中沒有給出一次函數的解析式,而是通過語言、表格和圖象給出一次函數的情境,這時需要先根據題目給出的信息求出一次函數的解析式,再利用一次函數的性質求解.
1.已知一次函數y=kx+b(k≠0)的自變量的取值范圍是- 3≤x≤ 6,相應函數值的范圍是- 5≤y≤ - 2 ,求這個函數的解析式.
分析:(1)當- 3≤x≤ 6時,- 5≤y≤ - 2,實質是給出了兩組自變量及對應的函數值;(2)由于不知道函數的增減性,此題需分兩種情況討論.
先設出函數解析式,再根據條件確定解析式中未知的系數,從而得出函數解析式的方法.
①設;②列;③解;④代.
①已知一次函數解析式②題目中未給出一次函數解析式
1.下列各點中,在直線y=-2x上的點是( )A.(2,2)B.(-1,2)C.(2,-2)D.(-1,-1)
2.如下表所示,在一次函數y=kx+b中,已知x與y的部分對應值,則當x=4時,y=______.
3.已知一次函數的圖象經過點A(0,2)和點B(2,-2),則y關于x的函數解析式為___________,當-2<y≤4時,x的取值范圍是_____________.
4.如圖,矩形ABCO在平面直角坐標系中,且頂點O為坐標原點,已知點B(3,2),則對角線AC所在的直線l對應的解析式為_____________.
5.若一次函數的圖象經過點 A(2,0)且與直線y=-x+3平行,求其解析式.
解:設這個一次函數的解析式為y=kx+b.
已知一次函數的圖象過點(0,2),且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2,求此一次函數的解析式.
分析:一次函數y=kx+b與y軸的交點是(0,b),與x軸的交點是( ,0).由題意可列出關于k,b的方程.
注意:此題有兩種情況.
解:設一次函數的解析式為y=kx+b(k≠0) ∵一次函數y=kx+b的圖象過點(0,2), ∴b=2 ∵一次函數的圖象與x軸的交點是( ,0),則 解得k=1或-1. 故此一次函數的解析式為y=x+2或y=-x+2.
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