【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】　1.了解離散型隨機(jī)變量的概念.2.理解離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)字特征(均值、方差)．?
知識梳理1.離散型隨機(jī)變量一般地，對于隨機(jī)試驗樣本空間Ω中的每個樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱分布列．離散型隨機(jī)變量的分布列常用表格表示：
3.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)(1)pi________0，i＝1，2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝________．
4．離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為(1)均值稱E(X)＝________________＝________為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望．
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
[常用結(jié)論]均值與方差的四個常用性質(zhì)(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(4)若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．?
夯實雙基1.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)測量全校所有同學(xué)的身高，在170 cm～175 cm之間的人數(shù)是離散型隨機(jī)變量．(　　)(2)離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)(3)離散型隨機(jī)變量分布列中，隨機(jī)變量取各個值的概率之和可以小于1.(　　)(4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小．(　　)
3．(教材改編)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機(jī)變量X，Y，其分布列分別為若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是________．
解析：根據(jù)出現(xiàn)廢品數(shù)分別是兩個隨機(jī)變量X、Y的分布列，得到甲生產(chǎn)廢品期望是1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙生產(chǎn)廢品期望是1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵甲生產(chǎn)廢品期望大于乙生產(chǎn)廢品期望，∴甲、乙兩人中技術(shù)較好的是乙．
4．(易錯)袋中有3個白球，5個黑球，從中任取2個，可以作為隨機(jī)變量的是(　　)A．至少取到1個白球 B．至多取到1個白球C．取到白球的個數(shù) D．取到的球的個數(shù)
解析：選項A，B是隨機(jī)事件； 選項D是定值2；選項C可能的取值為0，1，2，可以用隨機(jī)變量表示．
5．(易錯)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為：則常數(shù)q＝________．
題后師說離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用
題后師說離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟
鞏固訓(xùn)練24月23日是“世界讀書日”，學(xué)校開展了一系列的讀書教育活動．學(xué)校為了解高二學(xué)生課外閱讀情況，從高二某班甲、乙、丙、丁四個讀書小組(每名學(xué)生只能參加一個讀書小組)學(xué)生中抽取12名學(xué)生參加問卷調(diào)查．各組人數(shù)統(tǒng)計如下：(1)從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人來自同一個小組的概率；(2)從已抽取的甲、丙兩個小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2個，用X表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列．?
題型三　離散型隨機(jī)變量的均值與方差角度一 均值與方差的計算例 3 (1)[2023·山東菏澤期末](多選)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：若離散型隨機(jī)變量Y滿足：Y＝2X＋1，則下列結(jié)論正確的有(　　)A．E(X)＝2 B．E(Y)＝4C．D(X)＝1.8 D．D(Y)＝3.6
解析：由分布列知：q＝0.1，E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，A正確；E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝5，B不正確；對于C，D(X)＝0.1×22＋0.4×12＋0.1×02＋0.2×12＋0.2×22＝1.8，正確；對于D，D(Y)＝D(2X＋1)＝4D(X)＝7.2，不正確．故選AC.
(2)某網(wǎng)約車司機(jī)統(tǒng)計了自己一天中出車一次的總路程X(單位：km)的可能取值是20，22，24，26，28，30，它們出現(xiàn)的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t.①求X的分布列，并求X的均值和方差；②若網(wǎng)約車計費(fèi)細(xì)則如下：起步價為5元，行駛路程不超過3 km時，收費(fèi)5元，行駛路程超過3 km時，則按每超出1 km(不足1 km也按1 km計程)收費(fèi)3元計費(fèi)．試計算此人一天中出車一次收入的均值和方差．
解析：①由題意，得0.1＋0.2＋0.3＋0.1＋t＋2t＝1.∴t＝0.1.∴X的分布列為∴E(X)＝20×0.1＋22×0.2＋24×0.3＋26×0.1＋28×0.1＋30×0.2＝25，D(X)＝(－5)2×0.1＋(－3)2×0.2＋(－1)2×0.3＋12×0.1＋32×0.1＋52×0.2＝10.6.②設(shè)此人一天中出車一次的收入為Y元，則Y＝3(X－3)＋5＝3X－4(X>3，X∈N)，∴E(Y)＝E(3X－4)＝3E(X)－4＝3×25－4＝71，D(Y)＝D(3X－4)＝32·D(X)＝95.4.故此人一天中出車一次收入的均值為71元，方差為95.4.
題后師說1.求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計算．2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的應(yīng)用．
角度二 決策問題例 4 [2023·河北保定期末]某車間打算購買2臺設(shè)備，該設(shè)備有一個易損零件，在購買設(shè)備時可以額外購買這種易損零件作為備件，價格為每個100元．在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件，價格為每個300元．在使用期間，每臺設(shè)備需要更換的零件個數(shù)m的分布列為X表示2臺設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù)，n代表購買2臺設(shè)備的同時購買易損零件的個數(shù)．(1)求X的分布列；(2)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望為決策依據(jù)，試問在n＝11和n＝12中，應(yīng)選哪一個？
解析：(1)X的可能取值為10，11，12，13，14，P(X＝10)＝0.3×0.3＝0.09，P(X＝11)＝2×0.3×0.5＝0.3，P(X＝12)＝2×0.3×0.2＋0.5×0.5＝0.37，P(X＝13)＝2×0.5×0.2＝0.2，P(X＝14)＝0.2×0.2＝0.04，則X的分布列為：
(2)記Y1為當(dāng)n＝11時購買零件所需費(fèi)用，P(Y1＝1 100元)＝P(X≤11)＝0.39，P(Y1＝1 400元)＝P(X＝12)＝0.37，P(Y1＝1 700元)＝P(X＝13)＝0.2，P(Y1＝2 000元)＝P(X＝14)＝0.04，E(Y1)＝1 100×0.39＋1 400×0.37＋1 700×0.2＋2 000×0.04＝1 367(元)，記Y2為當(dāng)n＝12時購買零件所需費(fèi)用，P(Y2＝1 200元)＝P(X≤12)＝0.76，P(Y2＝1 500元)＝P(X＝13)＝0.2，P(Y2＝1 800元)＝P(X＝14)＝0.04，E(Y2)＝1 200×0.76＋1 500×0.2＋1 800×0.04＝1 284(元)，顯然E(Y1)>E(Y2)，所以應(yīng)選擇n＝12.
題后師說隨機(jī)變量的均值和方差從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差決定．
1.[2022·全國甲卷]甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．
(2)由題意得，X的所有可能取值為0，10，20，30.易知乙學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.6，0.2，則P(X＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，P(X＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，所以X的分布列為則E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
2．[2022·北京卷]在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到9.50 m以上(含9.50 m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：m)：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立(1)估計甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望EX；(3)在校運(yùn)動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？(結(jié)論不要求證明)?
(3)丙．理由如下：由題意可得，甲、乙、丙三人參賽的結(jié)果共有10×6×4＝240(種)．丙獲得冠軍的結(jié)果有10×6＋8×5＝100(種)，乙獲得冠軍的結(jié)果有9×3＋8×2＋6×2＋3×2＋2×2＝65(種)，甲獲得冠軍的結(jié)果有240－100－65＝75(種)，所以丙獲得冠軍的概率估計值最大．
3．[2021·新高考Ⅰ卷]某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．?
解析：(1)由題可知，X的所有可能取值為0，20，100.P(X＝0)＝1－0.8＝0.2；P(X＝20)＝0.8(1－0.6)＝0.32；P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以X的分布列為
(2)由(1)知，E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.若小明先回答B(yǎng)問題，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100.P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4；P(Y＝80)＝0.6(1－0.8)＝0.12；P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因為54.4

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