課時跟蹤檢測（四十七）  直線的傾斜角與斜率、直線方程[素養(yǎng)落實練]1．直線x－y＋a＝0(a為常數)的傾斜角為(　　)A．30°　　　　　　　　　　 B．60°C．150°  D．120°解析：選B　設直線的傾斜角為α，斜率為k，化直線方程為y＝x＋a，∴k＝tan α＝.∵0°≤α＜180°，∴α＝60°.2．已知點P(3，m)在過點M(2，－1)和N(－3,4)的直線上，則m的值為(　　)A．5  B．2C．－2  D．－6解析：選C　過M，N兩點的直線方程為＝，即x＋y－1＝0，又點(3，m)在此直線上，∴3＋m－1＝0，得m＝－2.3．(多選)已知直線l：mx＋y＋1＝0，A(1,0)，B(3,1)，則下列結論正確的是(　　)A．直線l恒過定點(0,1)B．當m＝0時，直線l的斜率不存在C．當m＝1時，直線l的傾斜角為D．當m＝2時，直線l與直線AB垂直解析：選CD　直線l：mx＋y＋1＝0，故x＝0時，y＝－1，故直線l恒過定點           (0，－1)，選項A錯誤；當m＝0時，直線l：y＋1＝0，斜率k＝0，故選項B錯誤；當m＝1時，直線l：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，故傾斜角為，選項C正確；當m＝2時，直線l：2x＋y＋1＝0，斜率k＝－2，kAB＝＝，故k·kAB＝－1，故直線l與直線AB垂直，選項D正確．4．已知直線l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線x－2y－4＝0的斜率的倒數，則直線l的方程為(　　)A．y＝x＋2  B．y＝x－2C．y＝x＋  D．y＝－x＋2解析：選A　因為直線x－2y－4＝0的斜率為，所以直線l在y軸上的截距為2，所以直線l的方程為y＝x＋2.5．(2021·安陽模擬)已知點A(1,3)，B(－2，－1)．若直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB恒相交，則k的取值范圍是(　　)A.  B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪   D.解析：選D　∵直線l：y＝k(x－2)＋1經過定點P(2,1)，∴kPA＝＝－2，kPB＝＝，又直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB恒相交，∴－2≤k≤.6．已知直線(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，當此直線在x軸、y軸上的截距和最小時，實數a的值是(　　)A．1   B.C．2  D．3解析：選D　當x＝0時，y＝a＋3；當y＝0時，x＝.令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋.因為a＞1，所以a－1＞0，所以t≥5＋2 ＝9，當且僅當a－1＝，即a＝3時，等號成立．故選D.7．已知三角形的三個頂點A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，則BC邊上中線所在的直線方程為____________．解析：由已知，得BC的中點坐標為，且直線BC邊上的中線過點A，則BC邊上中線的斜率k＝－，故BC邊上中線所在的直線方程為y＋＝－，即x＋13y＋5＝0.答案：x＋13y＋5＝08．不論實數m為何值，直線mx－y＋2m＋1＝0恒過定點________．解析：直線mx－y＋2m＋1＝0可化為m(x＋2)＋(－y＋1)＝0，∵m∈R，∴∴x＝－2，y＝1，∴直線mx－y＋2m＋1＝0恒過定點(－2,1)．答案：(－2,1)9．若過點P(1－a,1＋a)與Q(4,2a)的直線的傾斜角為鈍角，且m＝3a2－4a，則實數m的取值范圍是________．解析：設直線的傾斜角為α，斜率為k，則k＝tan α＝＝，又α為鈍角，所以＜0，即(a－1)(a＋3)＜0，解得－3＜a＜1.因為關于a的函數m＝3a2－4a的圖象的對稱軸為a＝－＝，所以3×2－4×≤m＜3×(－3)2－4×(－3)，所以實數m的取值范圍是.答案： 10．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)證明：直線l過定點；(2)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．解：(1)證明：直線l的方程可化為y＝k(x＋2)＋1，故無論k取何值，直線l總過定點(－2,1)．(2)依題意，直線l在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，且k＞0，所以A，B(0,1＋2k)，故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥×(4＋4)＝4，當且僅當4k＝，即k＝時取等號，故S的最小值為4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0. [梯度拔高練]1．數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為(　　)A．x＋2y＋3＝0  B．2x＋y＋3＝0C．x－2y＋3＝0  D．2x－y＋3＝0解析：選C　因為AC＝BC，所以歐拉線為AB的中垂線，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中點為(1,2)，kAB＝－2，故AB的中垂線方程為y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，故選C.2．已知函數f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，則直線ax－by＋c＝0的傾斜角為(　　)A.   B.C.   D.解析：選D　由f＝f知，函數f(x)的圖象關于x＝對稱，所以f(0)＝f，所以－b＝a，則直線ax－by＋c＝0的斜率為k＝＝－1，又直線傾斜角的取值范圍為[0，π)，所以該直線的傾斜角為，故選D.3．已知動直線l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒過點P(1，m)，且Q(4,0)到動直線l0的最大距離為3，則＋的最小值為________．解析：∵動直線l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒過點P(1，m)，∴a＋bm＋c－3＝0.又Q(4,0)到動直線l0的最大距離為3，∴＝3，解得m＝0，∴a＋c＝3.則＋＝(a＋c)＝≥＝，當且僅當c＝2a＝2時取等號．答案： 

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