課時跟蹤檢測（四十五）  利用空間向量求空間角[素養(yǎng)落實練]1．把邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，則異面直線AD，BC所成的角為(　　)A．120°　　　　　　　　 B．30°C．90°  D．60°解析：選D　建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(，0,0)，B(0，，0)，C(0，0，)，D(0，－，0)，∴＝(－，－，0)，＝(0，－，)．∴||＝2，||＝2，·＝2.∴cos〈，〉＝＝＝.∴異面直線AD，BC所成的角為60°.故選D.2．在正方體ABCD -A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為(　　)A.   B.C.   D.解析：選B　以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，設棱長為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝，設平面A1ED的一個法向量為n1＝(x，y，z)，則即令x＝1，∴∴n1＝(1,2,2)．又平面ABCD的一個法向量為n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.即平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為.3．(2021·福州質檢)已知四邊形ABCD為正方形GD⊥平面ABCD，四邊形DGEA與四邊形DGFC也都為正方形，連接EF，FB，BE，H為BF的中點，有下述四個結論：①DE⊥BF；②EF與CH所成角為；③EC⊥平面DBF；④BF與平面ACFE所成角為.其中所有正確結論的編號是(　　)A．①②  B．①②③C．①③④  D．①②③④解析：選B由題意得，所得幾何體可以補形成一個正方體，如圖所示．以D為原點，DA，DC，DG所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．設AD＝DC＝DG＝2，則D(0,0,0)，C(0,2,0)，E(2,0,2)，F(0,2,2)，B(2,2,0)，H(1，2,1)．①＝(2,0,2)，＝(－2,0,2)，∴·＝－4＋0＋4＝0，∴⊥，∴DE⊥BF，①是正確的．②＝(－2,2,0)，＝(1,0,1)．設EF與CH所成的角為θ，θ∈，∴cos θ＝＝.∵θ∈，∴θ＝，②是正確的．③＝(－2,2，－2)，＝(2,2,0)，＝(0,2,2)．設n＝(x，y，z)是平面DBF的一個法向量，∴即取x＝1，∴n＝(1，－1,1)．∵＝－2n，∴∥n，∴EC⊥平面DBF，③是正確的．④＝(－2,0,2)，由圖象易得m＝(1,1,0)是平面ACFE的一個法向量，設BF與平面ACFE所成的角為θ，θ∈，∴sin θ＝|cos〈，m〉|＝＝，∴θ＝，④是不正確的．綜上，①②③正確，故選B.4．(多選)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，則下列結論正確的是(　　)A．當直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角B．當直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角C．直線AB與a所成角的最小值為45°D．直線AB與a所成角的最小值為60°解析：選BC　由題意知，a，b，AC三條直線兩兩相互垂直，設直線a，b的單位方向向量分別為a，b，將△ABC放入正方體中，畫出圖形如圖所示．不妨設圖中所示正方體的棱長為1，則AC＝1，AB＝，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，則A點保持不變，B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓．以C為坐標原點，以CD所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CA所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，則D(1,0,0)，A(0,0,1)，直線a的單位方向向量a＝(0,1,0)，|a|＝1，直線b的單位方向向量b＝(1,0,0)，|b|＝1.設B點在運動過程中的坐標為B′(cos θ，sin θ，0)，其中θ∈[0,2π)，則＝(cos θ，sin θ，－1)，||＝.設直線AB′與a所成的角為α，α∈，則cos α＝＝|sin θ|∈，所以α∈，所以C正確，D錯誤．設直線AB′與b所成的角為β，β∈，則cos β＝＝＝|cos θ|，當直線AB′與a的夾角為60°時，α＝，|sin θ|＝cos α＝cos＝，因為cos2θ＋sin2θ＝1，所以cos β＝|cos θ|＝.因為β∈，所以β＝，即此時直線AB′與b的夾角為60°，所以B正確，A錯誤．5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，二面角B-AA1-C1的大小為60°，點B到平面ACC1A1的距離為，點C到平面ABB1A1的距離為2，則直線BC1與直線AB1所成角的正切值為________．解析：由題意可知，∠BAC＝60°，點B到平面ACC1A1的距離為，點C到平面ABB1A1的距離為2，所以在三角形ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，則·＝(－)·(＋)＝4，||＝2，||＝4，cos〈，〉＝＝，故tan〈，〉＝.答案：6.如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC與BD相交于點O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直線OF與平面BED所成的角為45°，則AE＝________.解析：如圖，以O為坐標原點，以OA，OB所在直線分別為x軸，y軸，以過點O且平行于CF的直線為z軸建立空間直角坐標系．設AE＝a，則B(0，，0)，D(0，－，0)，F(－1,0,3)，E(1,0，a)，∴＝(－1,0,3)，＝(0,2，0)，＝(－1，，－a)．設平面BED的法向量為n＝(x，y，z)，則即則y＝0，令z＝1，得x＝－a，∴n＝(－a,0,1)，∴cos〈n，〉＝＝.∵直線OF與平面BED所成角的大小為45°，∴＝，解得a＝2或a＝－(舍去)，∴AE＝2.答案：27．(2019·全國卷Ⅰ)如圖，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A-MA1-N的正弦值．解：(1)證明：如圖，連接B1C，ME.因為M，E分別為BB1，BC的中點，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因為N為A1D的中點，所以ND＝A1D.由題設知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，所以MN∥ED.又MN?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA，以D為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D - xyz，則A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)， ＝(0,0，－4)，＝(－1，，－2)，＝(－1,0，－2)，＝(0，－，0)．設m＝(x，y，z)為平面A1MA的法向量，則所以可取m＝(，1,0)．設n＝(p，q，r)為平面A1MN的法向量，則所以可取n＝(2,0，－1)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角A-MA1-N的正弦值為.8．(2021·河北五校聯(lián)考)如圖所示，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，FA＝FC，且∠DAB＝∠DBF＝60°.(1)求證：AC⊥平面BDEF；(2)求直線AD與平面ABF所成角的正弦值．解：(1)證明：設AC與BD相交于點O，連接FO，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，且O為AC的中點，∵FA＝FC，∴AC⊥FO，又FO∩BD＝O，∴AC⊥平面BDEF.(2)連接DF，∵四邊形BDEF為菱形，且∠DBF＝60°，∴△DBF為等邊三角形．∵O為BD的中點，∴FO⊥BD，又AC⊥FO，AC∩BD＝O，∴FO⊥平面ABCD.∵OA，OB，OF兩兩垂直，∴建立空間直角坐標系O-xyz，如圖所示，設AB＝2，∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB＝60°，∴BD＝2，AO＝，則AC＝2.∵△DBF為等邊三角形，∴OF＝.∴A(，0,0)，B(0,1,0)，D(0，－1,0)，F(0,0，)，∴＝(－，－1,0)，＝(－，0, )，＝(－，1,0)．設平面ABF的法向量為n＝(x，y，z)，則取x＝1，得n＝(1，，1)．設直線AD與平面ABF所成角為θ，則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.∴直線AD與平面ABF所成角的正弦值為.[梯度拔高練]1．(2020·天津高考)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，點D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M為棱A1B1的中點．(1)求證：C1M⊥B1D；(2)求二面角B-B1E-D的正弦值；(3)求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值．解：依題意，以C為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖)，可得C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,3)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2，0,1)，E(0,0,2)，M(1,1,3)．(1)證明：依題意，＝(1,1,0)，＝(2，－2，－2)，從而·＝2－2＋0＝0，所以C1M⊥B1D.(2)依題意，＝(2,0,0)是平面BB1E的一個法向量，＝(0,2,1)，＝(2,0，－1)．設n＝(x，y，z)為平面DB1E的法向量，則即不妨設x＝1，可得n＝(1，－1,2)．因此有cos〈，n〉＝＝，于是sin〈，n〉＝.所以二面角B-B1E-D的正弦值為.(3)依題意，＝(－2,2,0)．由(2)知n＝(1，－1,2)為平面DB1E的一個法向量，于是cos〈，n〉＝＝－.所以直線AB與平面DB1E所成角的正弦值為.2.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA是該四棱錐的高，PB與平面PAD所成的角為45°，F是PB的中點，E是BC上的動點．(1)證明：PE⊥AF；(2)若BC＝2AB，PE與AB所成角的余弦值為，求二面角D-PE-B的余弦值．解：(1)證明：由題可知AD，AB，AP兩兩垂直，且∠BPA＝45°，∴AP＝AB.以點A為坐標原點，AD，AB，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖．設AP＝AB＝b，BE＝a，則A(0,0,0)，B(0，b,0)，E(a，b,0)，P(0,0，b)，F，∴＝(a，b，－b)，＝.∴·＝0，∴PE⊥AF.(2)設AP＝AB＝2，則BC＝4，故D(4,0,0)，B(0,2,0)，E(a,2,0)，F(0,1,1)，P(0,0,2)，∴＝(0,2,0)，＝(a,2，－2)，＝(0,1,1)．由＝，得＝，解得a＝3(負值舍去)，∴E(3,2,0)．設平面PDE的一個法向量為n＝(x，y，z)，又＝(4,0，－2)，＝(1，－2,0)，∴得令y＝1，得n＝(2,1,4)．∵·＝0，∴AF⊥PB.又由(1)知AF⊥PE，PB∩PE＝P，∴AF⊥平面PBC，即為平面PBC的一個法向量．設二面角D-PE-B的平面角為θ，由圖可知θ為鈍角，∴cos θ＝－＝－＝－.∴二面角D-PE-B的余弦值為－.

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