課時(shí)跟蹤檢測(cè)（三十九）  空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體[素養(yǎng)落實(shí)練]1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　)A．12π　　　　　　　 B．12πC．8π  D．10π解析：選B　設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x，則x2＝8，得x＝2，∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故選B.2.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　)A．14斛  B．22斛C．36斛  D．66斛解析：選B　設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r＝8，所以r＝.所以米堆的體積為V＝ ·π·r2·5＝·2·5≈(立方尺)．故堆放的米約有÷1.62≈22(斛)．3．在一個(gè)密閉透明的圓柱筒內(nèi)裝一定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時(shí)，指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是(　　)A．圓面  B．矩形面C．梯形面  D．橢圓面或部分橢圓面解析：選C　將圓柱桶豎放，水面為圓面；將圓柱桶斜放，水面為橢圓面或部分橢圓面；將圓柱桶水平放置，水面為矩形面，所以圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是梯形面，故選C.4. (多選)如圖所示是斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的三角形的直觀圖，D′為B′C′的中點(diǎn)，且A′D′∥y′軸，B′C′∥x′軸，那么在原平面圖形ABC中(　　)A．AB與AC相等B．AD的長(zhǎng)度大于AC的長(zhǎng)度C．AB的長(zhǎng)度大于AD的長(zhǎng)度D．BC的長(zhǎng)度大于AD的長(zhǎng)度解析：選AC　根據(jù)斜二測(cè)畫法的直觀圖，還原幾何圖形，首先建立平面直角坐標(biāo)系xOy，BC∥x軸，并且BC＝B′C′，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，并且作AD∥y軸，即AD⊥BC，且AD＝2A′D′，連接AB，AC，如圖所示．所以△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AB的長(zhǎng)度大于AD的長(zhǎng)度，又BC＝B′C′，AD＝2A′D′，觀察題干圖，A′D′>B′C′，所以B′C′<2A′D′，即BC<AD.故選A、C.5. (2020·深圳模擬)已知圓柱的底面半徑為2，高為3，垂直于圓柱底面的平面截圓柱所得截面為矩形ABCD(如圖)．若底面圓的弦AB所對(duì)的圓心角為，則圓柱被分成兩部分中較大部分的體積為(　　)A．10π＋3  B．10πC.＋  D．2π－3解析：選A　設(shè)截面ABCD將圓柱分成的兩部分中較大部分的體積為V1，圓柱的體積為V，DC將圓柱的底面分成的兩部分中，較大部分的面積為S1，圓柱的底面積為S，則S1＝×π×22＋×2×2×＝＋，S＝π×22＝4π，V＝π×22×3＝12π.依題意可得＝，所以V1＝V＝×12π＝10π＋3，故選A.6. (2020·廈門雙十中學(xué)高三期中)3D打印屬于快速成形技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層堆疊累積的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)(即“積層造型法”)．過(guò)去常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直接制造，特別是一些高價(jià)值應(yīng)用(比如髖關(guān)節(jié)、牙齒或一些飛機(jī)零部件等)．已知利用3D打印技術(shù)制作如圖所示的模型．該模型為在圓錐底內(nèi)挖去一個(gè)正方體后的剩余部分(正方體四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐母線上，四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上)，圓錐底面直徑為10 cm，母線與底面所成角的正切值為.打印所用原料密度為1 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為(取π＝3.14，精確到0.1)(　　)A．609.4 g  B．447.3 gC．398.3 g  D．357.3 g解析：選C　如圖是幾何體的軸截面，因?yàn)閳A錐底面直徑為10 cm，所以半徑為OB＝5 cm.因?yàn)槟妇€與底面所成角的正切值為tan B＝，所以圓錐的高為PO＝10 cm.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，DE＝a，則＝，解得a＝5.所以該模型的體積為V＝π×(5)2×10－53＝－125(cm3)．所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為×1＝－125≈398.3(g)．7．現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個(gè)．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為________．解析：設(shè)新的底面半徑為r，由題意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.答案：8．(2021年1月新高考八省聯(lián)考卷)圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的體積為________．解析：易知圓臺(tái)的高為3，所以其體積為V＝πh(R2＋r2＋Rr)＝61π.答案：61π9．(2020·浙江高考)已知圓錐的側(cè)面積(單位：cm2)為2π，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位：cm)是________．解析：法一：設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，其面積為2π，所以πl2＝2π，解得l＝2，所以該半圓的弧長(zhǎng)為2π.設(shè)該圓錐的底面半徑為R，則2πR＝2π，解得R＝1.法二：設(shè)該圓錐的底面半徑為R，則該圓錐側(cè)面展開圖中的圓弧的弧長(zhǎng)為2πR.因?yàn)閭?cè)面展開圖是一個(gè)半圓，設(shè)該半圓的半徑為r，則πr＝2πR，即r＝2R，所以側(cè)面展開圖的面積為·2R·2πR＝2πR2＝2π，解得R＝1.答案：110．如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3 cm，求圓臺(tái)O′O的母線長(zhǎng)．解：設(shè)圓臺(tái)O′O的母線長(zhǎng)為l，由截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，可設(shè)截得圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r,4r.過(guò)軸SO作截面，如圖所示．則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.故＝，則＝.解得l＝9，故圓臺(tái)O′O的母線長(zhǎng)為9 cm.11．若E, F是三棱柱ABC-A1B1C1側(cè)棱BB1和CC1上的點(diǎn)，且B1E＝CF，三棱柱的體積為m，求四棱錐A-BEFC的體積．解：如圖所示，連接AB1，AC1.因?yàn)?/span>B1E＝CF，所以梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積．又四棱錐A-BEFC的高與四棱錐A-B1EFC1的高相等，所以VA-BEFC＝VA-B1EFC1＝VA-BB1C1C.又VA-A1B1C1＝S△A1B1C1·AA1，VABC-A1B1C1＝S△A1B1C1·AA1＝m，所以VA-A1B1C1＝，所以VA-B B1C1 C＝V ABC-A1B1C1－V A-A1B1C1＝，所以VA-BEFC＝×＝，即四棱錐A-BEFC的體積是. [梯度拔高練]1．(多選)沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)．如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8 cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的(細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì))．假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆．以下結(jié)論正確的是(　　)A．沙漏中的細(xì)沙體積為 cm3B．沙漏的體積是128π cm3C．細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4 cmD．該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1 565秒(π≈3.14)解析：選AC　A．根據(jù)圓錐的截面圖可知：細(xì)沙在上部時(shí)，細(xì)沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細(xì)沙的高與圓錐的高之比，所以細(xì)沙的底面半徑r＝×4＝ cm，所以體積V＝·πr2·＝··＝ cm3；B．沙漏的體積V1＝2××π×2×h＝2××π×42×8＝π cm3；C．設(shè)細(xì)沙流入下部后的高度為h1，根據(jù)細(xì)沙體積不變可知：＝×π×2×h1，解得h1≈2.4 cm；D．因?yàn)榧?xì)沙的體積為 cm3，沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙，所以一個(gè)沙時(shí)為：≈×50≈1 985秒．2．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為________．解析：如圖，∵SA與底面成45°角，∴△SAO為等腰直角三角形．設(shè)OA＝r，則SO＝r，SA＝SB＝r.在△SAB中，cos ∠ASB＝，∴sin ∠ASB＝，∴S△SAB＝SA·SB·sin ∠ASB＝×(r)2×＝5，解得r＝2，∴SA＝r＝4，即母線長(zhǎng)l＝4，∴S圓錐側(cè)＝πrl＝π×2×4＝40π.答案：40π3.如圖是一個(gè)以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，則該幾何體的體積為________．解析：過(guò)C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分別于點(diǎn)A2，B2.由直三棱柱性質(zhì)及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，則該幾何體的體積V＝VA1B1C1-A2B2C＋VC-ABB2A2＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6.答案：64.如圖所示，已知圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長(zhǎng)l＝4，M為母線SA上的一個(gè)點(diǎn)，且SM＝x，從點(diǎn)M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A.求：(1)繩子的最短長(zhǎng)度的平方f(x)；(2)繩子最短時(shí)，頂點(diǎn)到繩子的最短距離；(3)f(x)的最大值．解：將圓錐的側(cè)面沿SA展開在平面上，如圖所示，則該圖為扇形，且弧AA′的長(zhǎng)度L就是圓O的周長(zhǎng)，∴L＝2πr＝2π.∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°.(1)由題意知繩子長(zhǎng)度的最小值為展開圖中的AM，其值為AM＝(0≤x≤4)．∴f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．(2)繩子最短時(shí)，在展開圖中作SR⊥AM，垂足為R，則SR的長(zhǎng)度為頂點(diǎn)S到繩子的最短距離，在△SAM中，∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR，∴SR＝＝(0≤x≤4)，即繩子最短時(shí)，頂點(diǎn)到繩子的最短距離為(0≤x≤4)．(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函數(shù)，∴f(x)的最大值為f(4)＝32.

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