第七章 第二節(jié) 球的結(jié)構(gòu)特征及表面積和體積課件PPT

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課時跟蹤檢測（四十）  球的結(jié)構(gòu)特征及表面積和體積[素養(yǎng)落實練]1．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　)A.π　　　　　　　　 B．4πC．4π  D．6π解析：選B　球半徑r＝＝，所以球的體積為π×()3＝4π.2．(多選)(2020·江蘇海州高級中學模擬)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的各棱長均為2，下列結(jié)論正確的是(　　)A．該正方體外接球的直徑為2B．該正方體內(nèi)切球的表面積為4πC．若球O與正方體的各棱相切，則該球的半徑為D．該正方體外球接的體積為4解析：選ABC　若正方體的棱長為2，則：①若球為正方體的外接球，則外接球直徑等于正方體體對角線，即2R1＝＝2，故A正確；外接球體積為πR＝4π，故D錯誤；②若球為正方體的內(nèi)切球，則內(nèi)切球半徑為棱長的一半，故R2＝1，球的表面積為4πR＝4π，故B正確；③若球與正方體的各棱相切，則球的直徑等于正方形對角線長，即2R3＝＝2，球的半徑為R3＝，故C正確．3．球面上有A, B, C, D四個點，若AB, AC, AD兩兩垂直，且AB＝AC＝AD＝4，則該球的表面積為(　　)A.  B．32πC．42π  D．48π解析：選D　由題意可知，該球是一個棱長為4的正方體的外接球，設(shè)球的半徑為R，由題意可得：(2R)2＝42＋42＋42，據(jù)此可得R2＝12，外接球的表面積為S＝4πR2＝4π×12＝48π.4．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積等于(　　)A.π   B.πC．16π  D．32π解析：選B　設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π×23＝π.5．已知在三棱錐P-ABC中，AP，AB，AC兩兩互相垂直，AP＝5 cm，AB＝4 cm，AC＝3 cm，點O為三棱錐P-ABC的外接球的球心，點D為△ABC的外接圓的圓心，下列說法不正確的是(　　)A．三棱錐P-ABC的體積為10 cm3B．直線BC與平面PAC所成角的正切值為C．球O的表面積為50π cm2D．OD⊥PA解析：選D　因為AP，AB，AC兩兩互相垂直，以AP，AB，AC為棱補成一個長方體，如圖，由長方體性質(zhì)知：VP-ABC＝AB·AC·AP＝10 cm3，A正確；BC與平面PAC所成角為∠BCA，tan∠CBA＝＝，B正確；長方體的體對角線是其外接球也是三棱錐P-ABC外接球的直徑，長度為＝5，則球的表面積為S＝4π×2＝50π(cm2)，C正確；由外接球性質(zhì)，OD⊥平面ABC，而PA⊥平面ABC，所以OD∥PA，D錯誤．6．.(2020·武漢模擬)已知某三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且底面是邊長為2的正三角形，若其外接球的表面積為，則該三棱柱的高為(　　)A．  B．3C．4   D．解析：選B　由題意易知該三棱柱是底面邊長為2的正三棱柱．設(shè)C，B分別為三棱柱上、下底面的中心，連接BC，則三棱柱外接球的球心為BC的中點O，如圖．設(shè)三棱柱外接球的半徑為R.∵三棱柱的外接球的表面積為，∴4πR2＝，∴R＝.又R＝OA＝＝ ＝，∴OB＝，∴該三棱柱的高為BC＝2OB＝3. 7．(多選)已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上下底面均為正方形，其中AB＝2，A1B1＝，AA1＝BB1＝CC1＝2，則下述正確的是(　　)A．該四棱臺的高為B．AA1⊥CC1C．該四梭臺的表面積為26D．該四梭臺外接球的表面積為16π解析：選AD　由棱臺性質(zhì)，畫出切割前的四棱錐如圖所示，由于AB＝2，A1B1＝，可知△SA1B1與△SAB相似比為1∶2；則SA＝2AA1＝4，AO＝2，則SO＝2，則OO1＝，該四棱臺的高為，A正確；因為SA＝SC＝AC＝4，所以AA1與CC1夾角為60°，不垂直，B錯誤；該四棱臺的表面積為S＝S上底＋S下底＋S側(cè)＝2＋8＋4××＝10＋6，C錯誤；由于上下底面都是正方形，則外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1上中，由于OO1＝，B1O1＝1，則OB1＝2＝OB，即點O到點B與點B1的距離相等，則r＝OB＝2，該四棱臺外接球的表面積為16π，D正確，故選A、D.8. (多選)(2020·重慶八中月考)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AA1＝2AB，E是DD1的中點，則(　　)A．△B1EC為直角三角形B．CE∥A1BC．三棱錐C1-B1CE的體積是長方體體積的D．三棱錐C1-B1CD1的外接球的表面積是正方形ABCD面積的6π倍解析：選ACD　令AA1＝2AB＝2a，在△B1EC中，B1E＝a，EC＝a，B1C＝a，所以B1E2＋EC2＝B1C2，則△B1EC為直角三角形，故A正確；因為A1B與D1C平行，而CE與D1C相交，所以CE與A1B不平行，故B錯誤；三棱錐C1-B1CE的體積為VC1-B1CE＝VB1-C1CE＝××2a×a×a＝，VABCD-A1B1C1D1＝2a3，則三棱錐C1-B1CE的體積是長方體體積的，故C正確；因為三棱錐C1-B1CD1的外接球就是長方體ABCD-A1B1C1D1的外接球，所以三棱錐C1-B1CD1的外接球半徑R＝＝，三棱錐C1-B1CD1的外接球的表面積為S＝4π×2＝6a2π，又S正方形ABCD＝a2，所以三棱錐C1-B1CD1的外接球的表面積是正方形ABCD面積的6π倍，故D正確，故選A、C、D.9. (2021·濟南模擬)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________．解析：設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R，則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，故＝＝.答案：10．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在這個四棱錐內(nèi)放一球，則此球的最大半徑為________．解析：由題意知，當球與四棱錐各面均相切，即內(nèi)切于四棱錐時球的半徑最大．作出其側(cè)視圖，如圖所示．易知球的半徑r＝(2－)a.答案：(2－)a11．(2020·石家莊模擬)三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AC，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，且三棱柱的側(cè)面積為3.若該三棱柱的頂點都在同一個球O的表面上，則球O的表面積的最小值為________．解析：如圖，∵三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱，∴設(shè)A1C1＝a，BB1＝h，∴三棱柱的側(cè)面積為3a·h＝3，∴ah＝.又球O的半徑R＝≥＝1，當且僅當＝，且ah＝，即a＝，h＝時，等號成立．∴球O的表面積S＝4πR2≥4π.答案：4π  12．(2021·河北適應性測試)已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB＝2，SA＝SB＝SC＝2，求三棱錐外接球的球心到平面ABC的距離．解析：∵三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，SA＝SB＝SC＝2，∴點S在平面ABC內(nèi)的射影為AB中點H，∴SH⊥平面ABC，SH上任意一點到A，B，C的距離相等．∵SH＝，CH＝1，∴∠HSC＝30°，在平面SHC內(nèi)作SC的垂直平分線交SC于點M，交SH于點O，則點O為三棱錐S-ABC的外接球球心．∵SC＝2，∴SM＝1，∴SO＝，∴OH＝，即為點O到平面ABC的距離． [梯度拔高練]1．在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝，若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C．8π  D．12π解析：選C　易知△ABC是等邊三角形．如圖，作OM⊥平面ABC，其中M為△ABC的中心，且點O滿足OM＝PA＝1，則點O為三棱錐P-ABC外接球的球心．于是，該外接球的半徑R＝OA＝＝＝.故該球的表面積S＝4πR2＝8π.2. (2021·滄州一中調(diào)研)把一個皮球放入如圖所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(皮球不變形)，則皮球的半徑為(　　)A．10 cm  B．10 cmC．10 cm  D．30 cm解析：選B　依題意，在四棱錐S-ABCD中，所有棱長均為20 cm，連接AC，BD交于點O，連接SO，則SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10 cm，易知點O到AB，BC，CD，AD的距離均為10 cm，在等腰三角形OAS中，AO＝SO＝10 cm，SA＝20 cm，所以O到SA的距離d＝10 cm，同理可證O到SB，SC，SD的距離也為10 cm，所以球心為四棱錐底面ABCD的中心O，所以皮球的半徑r＝10 cm.3．如圖①，需在正方體的盒子內(nèi)鑲嵌一個小球，使得鑲嵌后的三視圖均為圖②所示，且平面A1BC1截得小球的截面面積為，則該小球的體積為(　　)A.   B.C.   D.解析：選B　設(shè)正方體盒子的棱長為2a，則內(nèi)接球的半徑為a，平面A1BC1截正方體，得邊長為2a的正三角形，且球與以點B1為公共點的三個面的切點恰為△A1BC1三邊的中點，則所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積．如圖，設(shè)△A1BC1的內(nèi)切圓的圓心為O，A1C1的中點為M，則由圖得∠OA1M＝30°，A1M＝a，△A1BC1的內(nèi)切圓的半徑OM＝a×tan 30°＝a.則所求的截面圓的面積是π×a×a＝a2＝，解得a＝1.于是小球的體積V球＝×13＝.故選B.4．底面邊長與側(cè)棱長均相等的正四棱錐(底面為正方形，頂點在底面上的射影為正方形的中心)的外接球半徑與內(nèi)切球半徑的比值為(　　)A.＋1  B．3C.＋1  D．2解析：選A　不妨設(shè)其棱長為2，外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r，如圖．則BO＝BD＝×2＝，PO＝ ＝，PM＝ ＝，所以可知O即為該幾何體外接球的球心，故R＝.因為VP-ABCD＝4××S△PCD×r＋×S四邊形ABCD×r＝×S四邊形ABCD×PO，又S四邊形ABCD＝22＝4，S△PCD＝·CD·PM＝，所以內(nèi)切球半徑為r＝，于是＝×＝＋1，故選A.5．(2020·衡水中學高三月考)正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為，此時四面體ABCD外接球的表面積為(　　)A.π   B.πC．7π  D．19π解析：選C　根據(jù)題意可知三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD，DC⊥AD，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑．∵BD＝CD＝1，BC＝，∴∠BDC＝120°，∴△BDC的外接圓的半徑為×＝1.由題意可得，球心到底面的距離為.∴球的半徑為r＝＝.∴外接球的表面積為S＝4πr2＝4π×＝7π.6．已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內(nèi)有一個球與四個面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為________．解析：如圖，過點P作PD⊥平面ABC于點D，連接AD并延長交BC于點E，連接PE，∵△ABC是正三角形，∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．∵AB＝2，∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝.∴S表＝3××2×＋3＝3＋3.∵PD＝1，∴三棱錐的體積V＝×3×1＝.設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點，三棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，則r＝＝－1.答案：－17．設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，求三棱錐D-ABC體積的最大值． 解：由等邊△ABC的面積為9，可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝AB＝2.設(shè)球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝＝＝2.所以三棱錐D-ABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐D-ABC體積的最大值為×9×6＝18.8．已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個內(nèi)接圓柱，這個圓柱的底面半徑與高為何值時，它的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？解：如圖為其軸截面，令圓柱的高為h，底面半徑為r，側(cè)面積為S，則2＋r2＝R2，即h＝2.因為S＝2πrh＝4πr·＝4π≤4π＝2πR2，當且僅當r2＝R2－r2，即r＝R時，取等號，所以當內(nèi)接圓柱底面半徑為R，高為R時，其側(cè)面積的值最大，最大值為2πR2.