課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四十一）  空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系[素養(yǎng)落實(shí)練]1．設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，則“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的(　　)A．充要條件　　　　　　 B．充分不必要條件C．必要不充分條件  D．既不充分也不必要條件解析：選C　直線a，b平行時(shí)，由“l⊥a，l⊥b” “l⊥α”；“l⊥α”?“l⊥a，l⊥b”，所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分條件．2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是(　　)A．相交  B．異面C．平行  D．垂直解析：選A　如圖所示，直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．3．(多選)下列命題正確的是(　　)A．直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線與平面平行B．夾在兩個(gè)平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行于這兩個(gè)平面C．直線m⊥平面α，直線n⊥直線m，則n∥αD．a，b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a，b都平行且與a，b的距離相等解析：選BD　直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線可能與平面平行，也可能和平面相交；直線m⊥平面α，直線m⊥直線n，則直線n可能平行于平面α，也可能在平面α內(nèi)，因此選項(xiàng)A、C為假命題，易知選項(xiàng)B、D為真命題．4．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為(　　)A.   B.C.   D.解析：選C　如圖，連接BE，因?yàn)?/span>AB∥CD，所以AE與CD所成的角為∠EAB.在Rt△ABE中，設(shè)AB＝2，則BE＝，則tan ∠EAB＝＝，所以異面直線AE與CD所成角的正切值為.5．已知P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，若MN＝BC＝4，PA＝4，則異面直線PA與MN所成角的大小是(　　)A．30°  B．45°C．60°  D．90°解析：選A　如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接DN，DM，由已知條件可得DN＝2，DM＝2.在△MND中，∠DNM為異面直線PA與MN所成的角，則cos∠DNM＝＝，∴∠DNM＝30°.6．到空間不共面的四點(diǎn)距離相等的平面的個(gè)數(shù)為(　　)A．1  B．4C．7  D．8解析：選C　當(dāng)空間四點(diǎn)不共面時(shí)，則四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐．當(dāng)平面一側(cè)有一點(diǎn)，另一側(cè)有三點(diǎn)時(shí)，如圖①.令截面與三棱錐的四個(gè)面之一平行，第四個(gè)頂點(diǎn)到這個(gè)截面的距離與其相對(duì)的面到此截面的距離相等，這樣的平面有4個(gè)；當(dāng)平面一側(cè)有兩點(diǎn)，另一側(cè)有兩點(diǎn)時(shí)，如圖②，當(dāng)平面過AB，BD，CD，AC的中點(diǎn)時(shí)，滿足條件．因?yàn)槿忮F的相對(duì)棱有三對(duì)，則此時(shí)滿足條件的平面有3個(gè)．所以滿足條件的平面共有7個(gè)，故選C.7．若平面α，β相交，在α，β內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定________個(gè)平面．解析：如果這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么確定1個(gè)平面；如果這四點(diǎn)不共面，則任意三點(diǎn)可確定1個(gè)平面，所以可確定4個(gè)．答案：1或48．(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；　　　②m∥α；　　　③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：________________________.解析：已知l，m是平面α外的兩條不同直線，由①l⊥m與②m∥α，不能推出③l⊥α，因?yàn)?/span>l可以與α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m與③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α與③l⊥α可以推出①l⊥m.故正確的命題是②③?①或①③?②.答案：若m∥α且l⊥α，則l⊥m成立(或若l⊥m，l⊥α，則m∥α)9.設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1，和a，且長(zhǎng)為a的棱與長(zhǎng)為的棱異面，則a的取值范圍是________．解析：構(gòu)造四面體ABCD，使AB＝a，CD＝，AD＝AC＝BC＝BD＝1，取CD的中點(diǎn)E，則AE＝BE＝，所以＋>a，所以0<a<.答案：(0，)10．(2021·長(zhǎng)治月考)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列說法正確的是________(填序號(hào))．①直線AC1在平面CC1B1B內(nèi)；②設(shè)正方形ABCD與A1B1C1D1的中心分別為O，O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1；③由A，C1，B1確定的平面是ADC1B1；④由A，C1，B1確定的平面與由A，C1，D確定的平面是同一個(gè)平面．解析：①錯(cuò)誤，如圖(1)所示，點(diǎn)A?平面CC1B1B，所以直線AC1?平面CC1B1B；②正確，如圖(2)所示，因?yàn)?/span>O∈直線AC?平面AA1C1C，O∈直線BD?平面BB1D1D，O1∈直線A1C1?平面AA1C1C，O1∈直線B1D1?平面BB1D1D，所以平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1；③④都正確，如圖(3)所示，因?yàn)?/span>AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，所以A，B1，C1，D共面．答案：②③④11.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)．問：(1)AM與CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B與CC1是否是異面直線？說明理由．解：(1)AM與CN不是異面直線．理由如下：如圖，連接MN，A1C1，AC. 因?yàn)?/span>M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥A1C1.又因?yàn)?/span>A1A綊C1C，所以四邊形A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線．(2)D1B與CC1是異面直線．理由如下：因?yàn)?/span>ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以B，C，C1，D1不共面．假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，所以D1，B，C，C1∈α，這與B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線．12.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱錐P-ABC的體積為V＝S△ABC·PA＝×2×2＝. (2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為. [梯度拔高練]1．(多選)如圖所示是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，下列命題正確的是(　　)A．GH與EF平行B．BD與MN為異面直線C．GH與MN成60°角D．DE與MN垂直解析：選BCD　如圖，把平面展開圖還原成正四面體，知GH與EF為異面直線，A不正確；BD與MN為異面直線，B正確；GH∥AD，MN∥AF，而∠DAF＝60°，∴∠GHM＝60°，∴GH與MN成60°角，C正確；連接AG，FG，AG⊥DE，FG⊥DE，∴DE⊥平面AFG，∴DE⊥AF，又MN∥AF，∴DE與MN垂直，D正確．2. (2021·呂梁模擬)如圖，在四面體A-BCD中，AD＝BC＝2，AD⊥BC，截面四邊形EFGH滿足EF∥BC，FG∥AD，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為(　　)①四邊形EFGH的周長(zhǎng)為定值；②四邊形EFGH的面積為定值；③四邊形EFGH為矩形；④四邊形EFGH的面積有最大值1.A．0  B．1C．2  D．3解析： 選D　因?yàn)?/span>EF∥BC，EF?平面BCD，所以EF∥平面BCD，又平面EFGH∩平面BCD＝GH，所以EF∥GH.同理FG∥EH，所以四邊形EFGH為平行四邊形，又AD⊥BC，所以四邊形EFGH為矩形．所以③是正確的；由相似三角形的性質(zhì)得＝，＝，所以＋＝＋＝1，因?yàn)?/span>BC＝AD＝2，所以EF＋FG＝2，所以四邊形EFGH的周長(zhǎng)為定值4，所以①是正確的；因?yàn)?/span>S四邊形EFGH＝EF×FG≤2＝1，所以四邊形EFGH的面積有最大值1，所以④是正確的．故選D.3．在正方體ABCD-A1B1C1D1(棱長(zhǎng)為1)中，點(diǎn)P在線段AD上(點(diǎn)P異于A，D兩點(diǎn))，線段DD1的中點(diǎn)為點(diǎn)Q.若平面BPQ截該正方體所得的截面為四邊形，則線段AP的取值范圍為(　　)A．　　B．　　C．　　D．解析：選D　如圖，設(shè)平面BPQ與直線CC1交于點(diǎn)E. ∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴平面ADD1A1∥平面BCC1B1，而平面BPQ∩平面ADD1A1＝PQ，平面BPQ∩平面BCC1B1＝BE，∴PQ∥BE，則△PDQ∽△BCE，∴＝，∴PD＝·DQ＝.要使平面BPQ截該正方體所得的截面為四邊形，則需點(diǎn)E在線段CC1上，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A時(shí)，E恰在線段CC1的中點(diǎn)處．∵點(diǎn)P在線段AD上(點(diǎn)P異于A，D兩點(diǎn))，∴<CE≤1，∴1<2CE≤2，∴≤<1，即≤PD<1，∴0<AP≤.故選D.4.如圖，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝ED＝AB，現(xiàn)將△CDE以直線DE為軸旋轉(zhuǎn)一周后，求直線BP與動(dòng)直線CE所成角的范圍．解：如圖所示，將PB平移到EB1的位置，C1點(diǎn)在以D為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)．則∠B1EC1就是所求線線角，根據(jù)三角形中，大角對(duì)大邊，EB1，EC1為定值，故最值由B1C1來確定，故當(dāng)C1在C處線線角最小，在C2處線線角最大．由于PA＝ED＝AB，故∠PBA＝∠EB1D＝.而DE＝DC＝1，故∠ECD＝，所以∠CEB1＝－＝.而∠EC2D＝∠ECD＝，故∠B1EC2＝π－－＝.所以所求線線角的取值范圍是. 

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