2022屆北京市順義區(qū)高三（上）第一次統(tǒng)練數(shù)學(xué)試題含答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

順義區(qū)2022屆高三第一次統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷考生須知1.本試卷共5頁，共兩部分，21道小題，滿分150分。考試時(shí)間120分鐘。2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、姓名和班級(jí)。3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其它試題用黑色字跡簽字筆作答。第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).（1）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）集合，，則（A）（B）（C）（D）（3）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（A）（B）（C）（D）（4）已知，且則向量夾角的余弦值為（A）（B）（C）（D）（5）在等差數(shù)列中，，，則=（A）5（B）4（C）3（D）2（6）已知則“”是“”的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（7）已知過的平面與正方體相交，分別交棱，于，.則下列關(guān)于截面的說法中，不正確的是（A）截面可能是矩形（B）截面可能是菱形（C）截面可能是梯形（D）截面不可能是正方形（8）已知兩點(diǎn),,若直線上存在點(diǎn)，使得成立,則稱該直線為“單曲直線”.下列直線中，“單曲直線”是 ①; ②; ③ ; ④（A）①②（B）①③（C）②③（D）②④（9）如圖，，是全等的等腰直角三角形，為直角頂點(diǎn)，三點(diǎn)共線.若點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.記，，則（A）（B）（C）（D）大小不能確定（10）為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某中學(xué)舉辦了主題為“琴、棋、書、畫”的傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽．現(xiàn)有四位選手進(jìn)入到?jīng)Q賽．決賽按“琴、棋、書、畫”的主題分為四個(gè)環(huán)節(jié)，規(guī)定每個(gè)環(huán)節(jié)的第一名到第四名的得分依次為4，3，2，1分，四個(gè)環(huán)節(jié)結(jié)束后統(tǒng)計(jì)總分.若總分第一名獲得14分，總分第二名獲得13分.有下列結(jié)論：①總分第三名不超過9分；②總分第四名可能在某一個(gè)環(huán)節(jié)的比賽中拿到3分；③總分第四名不超過6分；④總分第三名可能獲得某一個(gè)環(huán)節(jié)比賽的第一名.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（A）①②（B）①④（C）①②③（D）②③④第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上.（11）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>____________.（12）在的展開式中,的系數(shù)為 .（用數(shù)字作答）（13）將直線繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到直線.則的傾斜角為___________，的方程是________________.（14）若實(shí)數(shù)滿足，則使得成立的一個(gè)的值是__________.（15）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租車往往不能沿直線到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走.在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)，之間的“出租車距離”.給出下列四個(gè)結(jié)論：①若點(diǎn)，點(diǎn)，則;②到點(diǎn)的“出租車距離”不超過1的點(diǎn)的集合所構(gòu)成的平面圖形面積是;③若點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是1；④若點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________.三、解答題共6道題，共85分, 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（16）（本小題14分）如圖，在長方體中，，點(diǎn)在線段AB上.（1）證明：；（II）當(dāng)點(diǎn)是AB中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成角的大小. （17）（本小題14分）在中，，（I）求的大??；（II）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，判斷是否存在，若不存在，說明理由；若存在，求出的面積.條件①：；條件②：；條件③：成等差數(shù)列.注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分. （18）（本小題14分）某單位4人積極參加本地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品的網(wǎng)購活動(dòng),共有兩種農(nóng)產(chǎn)品供選擇,每人只購其中一種.大家約定：每人通過擲一次質(zhì)地均勻的骰子決定自己去購買哪種農(nóng)產(chǎn)品.若擲出點(diǎn)數(shù)為1或2，購買農(nóng)產(chǎn)品A,若擲出點(diǎn)數(shù)大于2，則購買農(nóng)產(chǎn)品B.（I）求這4個(gè)人中恰有1人購買農(nóng)產(chǎn)品A的概率；（II）用分別表示這4個(gè)人中購買農(nóng)產(chǎn)品A和B的人數(shù),記,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望. （19）（本小題14分）已知函數(shù)（I）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）若對(duì)任意，都有.求實(shí)數(shù)的取值范圍. （20）（本小題15分）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率.（I）求橢圓的方程；（II）點(diǎn)在直線上，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線分別交橢圓于兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)）.求證：直線過定點(diǎn). （21）（本小題14分）數(shù)列：滿足，稱為數(shù)列的指數(shù)和．（Ⅰ）若，求所有可能的取值；（Ⅱ）求證:的充分必要條件是；（Ⅲ）若，求的所有可能取值之和．參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.BBDAA BCDBC二、填空題共5道小題，每題5分，共25分11、 12、 13、; 14、 15、①③④注：11題不寫成集合，但結(jié)果正確的，給2分12題沒寫成數(shù)字的，不得分13題第一空給3分，第2空給2分，第2空不化簡(jiǎn)不扣分14題沒有寫出具體取值，而是解出取值范圍，得2分15題有錯(cuò)不得分，只選1個(gè)正確選項(xiàng)得2分，選擇2個(gè)正確選項(xiàng)得3分三，解答題共6道題，共85分, 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16、（I）連結(jié)，因?yàn)?/span>在長方體中所以有，，所以 ---------2分又因?yàn)?/span>，所以所以，又，所以 ---------4分又所以 ---------6分注：若第一問中，將取做中點(diǎn)或其它特殊點(diǎn)，如果證明過程正確，則最多給3分（II）以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為，，當(dāng)點(diǎn)是AB中點(diǎn)時(shí)，可得所以， ---------8分設(shè)為平面的一個(gè)法向量則即令所以 ---------10分又，所以設(shè)與平面所成角為，，則 ---------12分即所以與平面所成的角為 ---------14分17、（I）因?yàn)?/span>，由正弦定理 ---------2分可得所以， ---------4分即，又，所以 ---------6分（II）選擇條件①：由（I）知，. 所以可得， ---------8分所以，此時(shí)存在 ---------10分因?yàn)?/span>，所以 ---------11分又因?yàn)?/span> -----12分所以 ---------14分注：如果沒有判斷是否存在，而直接求出的面積，不扣分選擇條件②：因?yàn)?/span>，由余弦定理可得， ---------8分又所以可得， ---------10分又由條件②：可得所以， ---------12分又，所以可得，這與在中，矛盾故此時(shí)不存在 ---------14分選擇條件③：成等差數(shù)列因?yàn)?/span>成等差數(shù)列，所以， ---------7分因?yàn)?/span>，所以又由余弦定理可得， ---------9分化簡(jiǎn)得 ---------10分聯(lián)立方程組可解得 ---------12分又，，所以可知為等邊三角形，此時(shí)存在所以 ---------14分注：如果沒有判斷是否存在，而直接求出的面積，不扣分 18、（I）由題可知購買農(nóng)產(chǎn)品的概率為，購買農(nóng)產(chǎn)品的概率為 ---------2分設(shè)事件為4人中恰有1人購買農(nóng)產(chǎn)品， ---------3分依題可知，4人是否購買農(nóng)產(chǎn)品相互獨(dú)立，互不影響 ---------4分所以 ---------5分注：沒有判斷是否為相互獨(dú)立事件，扣1分，沒有設(shè)事件，扣1分，最后結(jié)果不化簡(jiǎn)，結(jié)果正確，不扣分（II）用分別表示這4個(gè)人中購買農(nóng)產(chǎn)品A和B的人數(shù)，則可取，可取， ---------7分當(dāng)時(shí)，，表示4人全部購買產(chǎn)品，概率，當(dāng)時(shí)，，表示4人中恰有1人購買農(nóng)產(chǎn)品，概率，當(dāng)時(shí)，，表示4人中恰有2人購買農(nóng)產(chǎn)品，概率，當(dāng)時(shí)，，表示4人中恰有3人購買農(nóng)產(chǎn)品，概率，當(dāng)時(shí)，，表示4人中全部購買農(nóng)產(chǎn)品，概率，所以由可知，的可能取值為 ---------9分當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率，所以隨機(jī)變量的分布列為 ---------12分所以，數(shù)學(xué)期望. ---------14分注：期望公式表達(dá)正確，得1分，期望值結(jié)果正確，不化簡(jiǎn)不扣分.19、（I）當(dāng)時(shí),函數(shù)，定義域?yàn)?/span>， ---------2分又，， ---------4分所以 ---------5分所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為即 ----6分（II）若在上恒成立，即在上恒成立 ---------7分可設(shè)，則 ---------9分，，令可解得 ---------11分討論：（1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上恒成立所以在上單調(diào)遞增，，又所以恒成立，即時(shí)滿足 ---------12分（2）當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增此時(shí)，，又時(shí)，，即不滿足恒成立，故舍去 ---------13分綜上可知：實(shí)數(shù)的取值范圍是. ---------14分2）方法二：若在上恒成立，即在上恒成立. ---------7分令，則，從而在上恒成立的一個(gè)必要條件是， ---------10分以下證明這個(gè)條件也是充分的.事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，.-----11分記,只要證明當(dāng)時(shí)，. ---------12分注意到從而當(dāng)時(shí)，. 這表明是在上恒成立的充分必要條件. ---------14分20、（I）依題意可得，又， ---------1分所以，可解得， ---------3分所以橢圓方程為 ---------4分（II）因?yàn)?/span>兩點(diǎn)不同于點(diǎn)，所以直線斜率一定存在，可設(shè)方程為，設(shè)，其中聯(lián)立方程組消去，化簡(jiǎn)可得--------6分所以，①式 ---------8分又，所以，所以直線方程為，直線方程為令得， ---------10分因?yàn)?/span>關(guān)于軸對(duì)稱，所以即---------12分又代入上式，整理可得將①式代入可得 ---------14分所以，直線的方程為，即所以，直線過定點(diǎn) ---------15分（2）方法二：首先根據(jù)與關(guān)于軸對(duì)稱，有，進(jìn)而 . ---------6分記，設(shè)，其中聯(lián)立方程組消去，化簡(jiǎn)可得，-----8分從而. ---------10分另一方面，所以， ---------12分化簡(jiǎn)可知， ---------14分所以，直線與直線相交于定點(diǎn). ---------15分（其它方法酌情給分）21、（I） ---------4分注：每夠兩個(gè)值給1分，有1個(gè)錯(cuò)值扣1分.最少得0分.（II）(充分性)當(dāng)時(shí)，可得 ---------7分(必要性)當(dāng)時(shí)，用反證法，假設(shè)，則矛盾.從而 ---------10分（III）當(dāng)時(shí)，根據(jù)第（2）問結(jié)論可知,并且反之亦然.當(dāng)時(shí)，有中不同取值方式，其中在所有指數(shù)和中出現(xiàn)的總次數(shù)都是種，因此這些項(xiàng)對(duì)指數(shù)和的總貢獻(xiàn)為零. 另一方面在所有指數(shù)和中出現(xiàn)次，從而所有指數(shù)和之和為 ---------14分（其它正確方法酌情給分

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