北京市順義區(qū)2021屆高三下學期第二次統(tǒng)練數(shù)學試題數(shù)    學考生須知1．本試卷共4頁，共兩部分．21道小題，滿分150分，考試時間120分鐘．2．在答題卡上準確填寫學恔名稱、姓名、班級和教育ID號．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡，在試卷上作答無效．4．在答題卡上選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5．考試結(jié)束后．請將答題卡上交．第一部分（選擇題  共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．已知集合，則（    ）A．    B．    C．    D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（    ）A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限3．在的展開式中，的系數(shù)為（    ）A．    B．    C．    D．404．已知，且，則下列不等式恒成立的是（    ）A．       B．C．        D．5．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是（    ）A．    B．1    C．    D．26．已知函數(shù)，則不等式的解集是（    ）A．                      B．C．    D．7．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是．那么后物體的溫（單位：℃）可由公式求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的常數(shù)．現(xiàn)有46℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻，以后物體的溫度是38℃，則k的值約為（    ）A．0.25    B．    C．0.89    D．8．已知圓經(jīng)過原點，則圓上的點到直線距離的最大值為（    ）A．    B．    C．    D．9．已知函數(shù)，則“存在使得”是“”的（    ）A．充分必要條件    B．充分而不必要條件    C．必要而不充分條件    D．既不充分也不必要條件10．設(shè)函數(shù)，若恰有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A．    B．    C．    D．第二部分（非選擇題  共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．設(shè)向量，若，則實數(shù)__________．12．若雙曲線的焦距等于實軸長的倍，則C的漸近線方程為________．13．已知為等差數(shù)列，為其前n項和，若，則公差_________，的最大值為_________．14．已知是任意角，且滿足，則常數(shù)k的一個取值為__________．15．曲線C是平面內(nèi)與兩個定點的距離的積等于的點P的軌跡，給出下列四個結(jié)論：①曲線C關(guān)于坐標軸對稱；②周長的最小值為；③點P到y軸距離的最大值為；④點P到原點距離的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程．16．（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形．且平面，M，N分別為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求與平面所成角的正弦值．   17．（本小題13分）在中，已知，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）c的值；（Ⅱ）的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分．
18．（本小題14分）某學校食堂為了解師生對某種新推出的菜品的滿意度，從品嘗過該菜品的學生和老師中分別隨機調(diào)查了20人，得到師生對該菜品的滿意度評分如下：教師：60  63  65  67  75  77  77  79  79  82  83  86  87  89  92  93  96  96  96學生：47  49  52  54  55  57  63  65  66  66  74  74  75  77  80  82  83  84  95  96根據(jù)師生對該菜品的滿意度評分，將滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意假設(shè)教師和學生對該菜品的評價結(jié)果相互獨立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用事件發(fā)生的頻率估計相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（Ⅰ）設(shè)數(shù)據(jù)中教師和學生評分的平均值分別為和，方差分別為和，試比較和，和的大?。ńY(jié)論不要求證明）；（Ⅱ）從全校教師中隨機抽取3人，設(shè)X為3人中對該菜品非常滿意的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望；（Ⅲ）求教師的滿意度等級高于學生的滿意度等級的概率．     19．（本小題14分）已知橢圓的離心率為，且過點．（Ⅰ）求橢圓G的方程；（Ⅱ）過點斜率為的直線l交橢圓G于A，B兩點，在y軸上是否存在點N使得（點N與點M不重合），若你在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．
20．（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）已知曲線在點處的切線方程為，求m的值；（Ⅱ）若存在，使得，求m的取值范圍．     21．（本小題15分）已知數(shù)列，記，首項，若對任意整數(shù)，有，且是k的正整數(shù)倍．（Ⅰ）若，寫出數(shù)列的前10項；（Ⅱ）證明：對任意，數(shù)列的第n項由唯一確定；（Ⅲ）證明：對任意正整數(shù)，數(shù)列從某一項起為等差數(shù)列．
北京市順義區(qū)2021屆高三下學期第二次統(tǒng)練數(shù)學試題參考答案一.     選擇題（共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項）二.填空題(本大題共5個小題,每小題5分,共25分)題號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)答案DBACCDABBC(11)                                  (12) (13) ，（前3分，后2分）          (14)  （答案不唯一）(15)  ①②④三．解答題（本大題共6小題，共85分,其它答案參考給分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）如圖，連接，因為，分別是，的中點，所以.-----------------2分又，，所以平面.-----------5分（Ⅱ）因為平面，，，所以，.因為底面是正方形，所以.以為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.------6分則，，，.-------------8分因為是的中點，所以.所以，，.------10分設(shè)平面的法向量為，所以. 即.令，則，.于是.--------------------------------------12分設(shè)直線與平面所成角為，則.---------14分所以與平面所成角的正弦值為.（17）（共13分）解：選擇條件①：.（Ⅰ）在中，由正弦定理：.--------------1分所以.又，所以.--------------------------------------2分因為，所以.----------------------------3分因為，所以.-----------------------------------4分由余弦定理：，--------------------5分所以.----------------------------6分解得.因為，所以.--------------------------------------8分（Ⅱ）因為，，所以.--------------------------------------10分所以.-------------13分選擇條件②：．（Ⅰ）在中，因為，所以.----------------------------3分因為，所以.所以.---------------------------------5分因為，所以.所以.-------------------------------------8分（Ⅱ）因為，，，所以.-----------13分（18）（共14分）解：（Ⅰ），.----------------------------------2分（Ⅱ）由題意可知，隨機抽取的教師對該菜品非常滿意的概率為.-----------------------------3分X的取值為0，1，2，3，-----------------------------4分則~，.所以，--------------------5分，----------------------------6分，---------------------------7分.--------------------------8分所以的分布列為：X0123  ---------------------------9分故的期望.--------------------------10分（Ⅲ）設(shè)事件為“教師對該菜品滿意”，設(shè)事件為“教師對該菜品非常滿意”，設(shè)事件為“學生對該菜品不滿意”，設(shè)事件為“學生對該菜品滿意”，設(shè)事件為“教師的滿意度等級高于學生的滿意度等級”則.--------------------------------11分易知.因為事件,，彼此互斥，事件，，，彼此獨立，所以.----14分所以教師的滿意度等級高于學生的滿意度等級的概率為.（19）（共14分）解：（Ⅰ）由題意得，----------------------------1分解得，.------------------------------3分所以橢圓的方程為.--------------------4分（Ⅱ）解法一：設(shè)，，，所以直線AN的斜率為，直線BN的斜率為.------------------------6分所以當且僅當.-------------7分即滿足.--------------------------------9分即.根據(jù)題意，直線l的方程為.-----------------10分由得.---------------11分則，.----------------13分所以.又因為，所以.----------------------------------------14分因此在軸上存在點N使得，點的坐標為.（Ⅱ）解法二：設(shè)，，，當t=0時，，顯然，不滿足題意.所以直線AN的斜率為.--------------------5分所以直線AN的方程為.所以原點O到直線AN的距離為.同理可得原點O到直線BN的距離為.-6分所以當且僅當.-----------------7分即.因為，所以.根據(jù)題意，直線l的方程為.------------------8分所以.整理得因為，，所以，.所以.-------------------------10分由得.--------------11分則，.----------------13分所以.又，所以.所以.---------------------------------------14分因此在軸上存在點N使得，點的坐標為.（20）（共15分）解：（Ⅰ），--------------------------------2分因為曲線在點處的切線方程為，所以，即.--------------------4分所以.--------------------------------------5分（Ⅱ）存在，使得等價于在區(qū)間上有解，-------------6分顯然不是的解，即等價于在區(qū)間上有解.---------------7分設(shè)，，則.----------------------------9分設(shè)，，則.-----------------------------11分所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以.------------------------12分所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以.-------------------------14分依題意需，所以的取值范圍為.-------------------15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）21，1，2，0，1，5，5，5，5，5.------------------4分（Ⅱ）當時，根據(jù)題意為偶數(shù)，并且，所以.從而由唯一確定.---------------------------------6分接下來用反證法，假設(shè)數(shù)列的某一項可以有兩種不同取值.假設(shè)第項是第1個可以有兩種不同取值的項，即前面項由唯一確定.記第項的兩種取值為和，根據(jù)題意存在使得………①且………②并且滿足. ----------------------------8分由①②兩式作差可知是的倍數(shù)，又因為，可知，矛盾. 從而對任意，數(shù)列的第n項由唯一確定. ---10分（Ⅲ）方法一：因為，所以.------------------------11分因為都是正整數(shù)，由整數(shù)的離散性有.---13分因此，存在，當時，為常數(shù).----------------14分不妨記為，從而當時，有.所以從第項起為等差數(shù)列.----------------------15分方法二：一方面，記.如果，取，那么是的倍數(shù).------11分同理...，即從第項起，數(shù)列為常數(shù).----------------------12分另一方面，由于，所以.----------------13分當時，，所以當時，，滿足.取，則從第項起，數(shù)列為等差數(shù)列.-----------15分  

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