順義區(qū)2022屆高三第二次統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷考生須知1.本試卷共5頁，共兩部分，21道小題，滿分150分。考試時間120分鐘。2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、姓名和班級。3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其它試題用黑色字跡簽字筆作答。第一部分(選擇題 共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）函數(shù)的定義域為（A）（B）（C）（D）（2）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則復(fù)數(shù)（A）（B）（C）（D）             （3）在的展開式中,常數(shù)項為（A）（B）（C）（D）（4）已知雙曲線的一個焦點為，則雙曲線的一條漸近線方程為（A）（B）（C）（D）（5）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，公比為.若， 則（A）（B）（C）（D）（6）為了了解居民用電情況,通過抽樣,獲得了某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如下圖.該樣本數(shù)據(jù)的55%分位數(shù)大約是       （A）（B）（C）（D）（7）在中，，則“”是“”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件  （C）充分必要條件（D）既不充分也不必要件 （8）已知圓截直線所得弦的長度為2，那么實數(shù)的值為（A）（B）（C）（D）（9）已知向量，,在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，則的最小值是（A）（B）（C）（D）（10）如圖，設(shè)分別是長方體棱上的兩個動點，點在點的左邊，且滿足，有下列結(jié)論： ①平面；②三棱錐體積為定值；③平面；④平面平面；其中，所有正確結(jié)論的序號是（A）①②（B）②③（C）②④（D）③④第二部分（非選擇題  共110分）二、填空題共5道小題，每題5分。共25分，把答案填在答題卡上。（11）已知集合，，則 ____________.（12）已知函數(shù)，若，則_____________.（13）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直拋物線準(zhǔn)線于點.若為等邊三角形，則點的橫坐標(biāo)為___________，的面積是________________.（14）已知是定義在上的函數(shù)，其值域為，則可以是________.（寫出一個滿足條件的函數(shù)表達(dá)式即可）（15）向量集合，對于任意，，以及任意，都有，則稱集合是“凸集”，現(xiàn)有四個命題：①集合是“凸集”；② 若為“凸集”，則集合也是“凸集”；③若都是“凸集”，則也是“凸集”；④若都是“凸集”，且交集非空，則也是“凸集”．其中，所有正確的命題的序號是_____________________．三、解答題共6道題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（16）（本小題14分）已知函數(shù).（I）求在區(qū)間上的最大值和最小值；  （II）設(shè)，求的最小正周期.（17）（本小題14分）如圖，在正方體中，為的中點.（I）過點作出一條與平面平行的直線，并說明理由；（II）求直線與平面所成角的正弦值.      （18）（本小題14分）為了解順義區(qū)某中學(xué)高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，對高一年級的進(jìn)行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點圖如下（軸表示對應(yīng)的班號，軸表示對應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：（I）若用散點圖預(yù)測高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級學(xué)生中任意抽測1人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率；（II）若從以上統(tǒng)計的高一（4）班的10名學(xué)生中抽出2人，設(shè)表示2人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（III）假設(shè)每個班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（）．寫出方差的大小關(guān)系（不必寫出證明過程）．（19）（本小題14分）已知橢圓過定點，離心率.（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）斜率為的直線與橢圓交于兩點，為坐標(biāo)原點，求面積的最大值及此時直線的方程.（20）（本小題15分）若函數(shù).（I）判斷方程解的個數(shù)，并說明理由；（II）當(dāng)，設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；（21）（本小題14分）設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足．（I）若，請寫出所有可能的取值；（II）記集合，證明：若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，則的所有元素都是3的倍數(shù)；（III）若為周期數(shù)列，求所有可能的取值.2022屆高三第二次統(tǒng)練數(shù)學(xué)參考答案及評卷標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題ADBAC，CBDCC二、填空題11、        （寫成區(qū)間也行）12、4   13、3，（對一空3分）14、    （其它答案正確同樣給分）15、①②④（有錯不得分，只有一個正確答案得2分，2個正確答案得3分）三、解答題16、（本小題滿分14分）解：（I）因為，所以，         …………………2分所以                          …………………4分所以此時                          …………………5分，此時                           …………………6分（II）= …………………8分==   …………………10分==                                 …………………12分所以，最小正周期                     …………………14分17、（本小題滿分14分）解：（I）法一：連結(jié)，，設(shè)與交點為，連結(jié)…………………2分因為為正方體，所以為中點又因為為的中點，所以為的中位線所以                                          …………………4分又因為，所以                                   …………………6分法二：取的中點，連結(jié)                        …………………2分因為為正方體，為的中點，為的中點所以                                          …………………4分又因為，所以                                    …………………6分法三：取的中點，連結(jié)                         …………………2分因為為正方體，為的中點，為的中點所以                                          …………………4分又因為，所以                                    …………………6分（其它解法酌情給分）（II）設(shè)正方體邊長為1，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有，，，所以，，          …………………9分設(shè)為平面的一個法向量，則，所以有，令，可得             …………………11分所以，所以=       …………………12分設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為                …………………14分（其它解法酌情給分）18、（本小題14分）解：（I）從高一年級（1）班~（8）班學(xué)生中抽測了80人，其中身體素質(zhì)檢測成績優(yōu)秀的人數(shù)有人，所以，優(yōu)秀的概率是    …………………3分因為是隨機(jī)抽樣，所以用樣本估計總體，可知從高一年級學(xué)生中任意抽測一人，該生身體素質(zhì)檢測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率是                                 …………………4分（II）因為高一（4）班抽出的10名同學(xué)中，身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)有4人，不優(yōu)秀的有6人，所以從中抽出2人，的可能取值為         …………………6分表示抽出的2人中優(yōu)秀的人數(shù)為0個，，表示抽出的2人中優(yōu)秀的人數(shù)為1個，，表示抽出的2人中優(yōu)秀的人數(shù)為2個，， ………………9分所以的分布列為數(shù)學(xué)期望                        …………………11分（III）                                    …………………14分19、（本小題14分）解：（I）依題意可得                                …………………1分所以可解得，，                               …………………3分所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為                             …………………4分（II）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去得，化簡得所以，即  …………………8分所以== 又原點到直線的距離                    …………………10分所以=當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號                          …………………12分所以，面積的最大值為，此時直線的方程為  …………………14分（其它解法酌情給分）20、（本小題15分）解：（I）方程僅有一個                                  …………………1分因為，所以    …………………2分所以                                             …………………4分令可解得                                        …………………5分所以單調(diào)性如下表單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減又，即的極大值為，所以方程僅有一個    …………………7分（II）因為，所以      …………………9分令可得或分類討論如下：（i）當(dāng)時，所以的單調(diào)性如下單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以的單增區(qū)間為，，單減區(qū)間為…………………11分（ii）當(dāng)時，，此時恒成立所以的單增區(qū)間為，無單減區(qū)間                          …………………13分（iii）當(dāng)，所以的單調(diào)性如下單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以的單增區(qū)間為，，單減區(qū)間為…………………15分（其它解法酌情給分）21、（本小題14分）解：（I），，；                                           …………………3分（II）如果存在正整數(shù)，滿足是的倍數(shù)，則對，都是的倍數(shù)； （方法一） 如果存在為3的倍數(shù)，根據(jù)，可知也是3的倍數(shù)，以此類推，都是3的倍數(shù)；                          …………………5分另一方面，當(dāng)時，由于，當(dāng)為3的倍數(shù)時，可知也是3的倍數(shù)，以此類推，都是3的倍數(shù)；                 …………………8分綜上所述，若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，則的所有元素都是3的倍數(shù)；(方法二)利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，滿足；                                           …………………5分                    ②假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即，其中，則當(dāng)是奇數(shù)時，仍然是的倍數(shù)；當(dāng)是偶數(shù)時，仍然是的倍數(shù)；且若時，或，也都是的倍數(shù)；   由數(shù)學(xué)歸納法原理，結(jié)論成立;                                    …………………8分                                                    （III）證明：首先注意到是正整數(shù)數(shù)列，則數(shù)列一定有最小值，設(shè)為，下證或；當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，則，與是最小值矛盾；                   所以是奇數(shù)；不妨設(shè)，則是偶數(shù)，，                 假設(shè)，則，與是最小值矛盾；綜上，只能是小于的正奇數(shù)，即或；                                    當(dāng)數(shù)列中出現(xiàn)1時，后面的項為4,2,1,4,2,1,4,2,1…循環(huán)；當(dāng)數(shù)列中出現(xiàn)3時，后面的項為6，3,6,3…循環(huán)；所以數(shù)列為周期數(shù)列時，只能為1,2,3,4,6中某一個數(shù)；經(jīng)檢驗，當(dāng)時，數(shù)列確實是周期數(shù)列；      ……………………………14分（其它解法酌情給分） 

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