順義區(qū)2021屆高三第一次模擬統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷考生須知本試卷共4頁，共兩部分，21道小題，滿分150分，考試時間120分鐘．在答題卡上準確填寫學(xué)校名稱、姓名、班級和教育ID號．試題答案一律填涂或書寫在答題卡，在試卷上作答無效．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．考試結(jié)束后，請將答題卡上交．第一部分（選擇題  共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．（1）設(shè)集合，，則    A.     B.    C.    D. （2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，則A.     B.    C.    D. （3）在的展開式中，常數(shù)項為A.     B.    C.     D.  （4）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.     B.    C.    D.    （5）我國古代數(shù)學(xué)論著中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈二百五十四，請問底層幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的底層共有燈A．32盞       B．64盞        C．128盞        D.196盞（6）設(shè)雙曲線的方程為，若的一條漸近線的斜率為，則的離心率為A.       B.       C.       D. （7）已知，且，則下列不等式中不恒成立的是A.     B.    C.     D. （8）已知兩條直線m，n和平面α，且，則“”是“”的A.充分必要條件          B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件       D.既不充分也不必要條件（9）在中，，則A．       B．       C．      D.（10）已知函數(shù)．若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是A．      B．      C．     D.  第二部分（非選擇題  共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．  （11）      ． （12）設(shè)拋物線的焦點為，則=_____；若點在拋物線上，且，則點的坐標為______．（13）已知函數(shù)，能說明既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的一組整數(shù)的值依次是______．（14）已知單位向量滿足，則與夾角的大小為_____；（）的最小值為______．（15）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線 與橢圓相交于點，．給出下列三個命題：① 存在唯一一個m，使得為等腰直角三角形；② 存在唯一一個m，使得為等腰直角三角形；③ 存在，使的周長最大．其中，所有真命題的序號為__________．  三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程．（16）（本小題滿分13分）在三棱柱中，平面，，，是的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值．   （17）（本小題滿分14分）函數(shù)，，的部分圖象如圖所示．   （Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值． （18）（本小題滿分14分）為了解顧客對五種款式運動鞋的滿意度，廠家隨機選取了2000名顧客進行回訪，調(diào)查結(jié)果如下表：運動鞋款式ABCDE回訪顧客（人數(shù)）700350300250400滿意度0.30.50.70.50.6注：1.滿意度是指：某款式運動鞋的回訪顧客中，滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值；2.對于每位回訪顧客，只調(diào)研一種款式運動鞋的滿意度．假設(shè)顧客對各款式運動鞋是否滿意相互獨立，用顧客對某款式運動鞋的滿意度估計對該款式運動鞋滿意的概率．（Ⅰ）從所有的回訪顧客中隨機抽取1人，求此人是C款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率；（Ⅱ）從A、E兩種款式運動鞋的回訪顧客中各隨機抽取1人，設(shè)其中滿意的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）用“”和“”分別表示對A款運動鞋滿意和不滿意，用“”和“”分別表示對B款運動滿意和不滿意，試比較方差與的大小．（結(jié)論不要求證明）  （19）（本小題滿分14分）已知橢圓經(jīng)過點和．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線與橢圓C交于，兩點，且坐標原點到直線的距離為．求證：以為直徑的圓經(jīng)過點．    （20）（本小題滿分15分）已知函數(shù).（Ⅰ）若,求曲線的斜率等于3的切線方程；（Ⅱ）若在區(qū)間上恰有兩個零點，求的取值范圍. （21）（本小題滿分15分）已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：①對于中任意兩項，在中都存在一項，使得；②對于中任意項，在中都存在兩項，使得.(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等差數(shù)列.   順義區(qū)2021屆高三第一次模擬統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷參考答案一.  選擇題（共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項）題號 12345678910答案BDAACACCDB二.填空題(本大題共5個小題,每小題5分,共25分)11. ；   12. ，(前3分，后2分)；   13. （答案不唯一）；   14.  ，(前3分，后2分)；   15. ①③三．解答題（本大題共6小題，共85分,其它答案參考給分）16．（本小題共13分）解：（Ⅰ）因為平面，所以.-----------------2分又，平面，平面，所以平面.-----------------4分因為平面，所以.-----------------5分（Ⅱ）在三棱柱中，，因為由平面，所以平面.所以，，兩兩垂直.如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，------------6分      所以，，，.      設(shè)平面的法向量為，       因為，， 所以 . 即.令，則，.所以平面的一個法向量為.-------------------9分因為平面，所以平面的一個法向量為.-----------------10分所以.-----------------------------13分所以二面角的余弦值為.17.（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）由題設(shè)圖象知，周期，因為，所以．---------------------------2分而由題意知，所以．----------------4分      因為函數(shù)的圖象過點，所以．所以．所以又因為，所以.故函數(shù)的解析式為.------------------7分（Ⅱ）---------9分==------------------11分因為，所以.所以當(dāng)時，即時，取到最小值，且最小值為.---------------------------------------14分 18.（本小題共14分）解：（Ⅰ）由題意知，是C款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的人數(shù)為------------------------------------------2分故此顧客是C款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率是.--------------------------------------------4分（Ⅱ）X的取值為0，1，2.---------------------------------5分設(shè)事件為“從A款式運動鞋的回訪顧客中隨機抽取的1人對該款式運動鞋滿意”，事件為“從E款式運動鞋的回訪顧客中隨機抽取的1人對該款式運動鞋滿意”，且事件相互獨立.根據(jù)題意，估計為，估計為.則 ----6分                         ---------7分  --------------8分所以的分布列為：X0120.280.540.18     ---------------------------10分的期望是：.----12分（Ⅲ）.-------------------------------------------14分19.（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）因為橢圓經(jīng)過點，所以.-------------------------1分又因為橢圓經(jīng)過點，所以，解得.------3分所以橢圓的方程為．-----------------------------4分（Ⅱ）由，可得.-------6分由題意，，設(shè)，，所以，.-----------------------8分因為原點到直線的距離為，所以.即.  -----------------------------------------9分因為-----------------------10分                              ----------------11分               ----------------------------13分所以.即.因此以為直徑的圓過原點.-----------------------------14分 20.（本小題滿分15分）解：（Ⅰ）當(dāng)時，，，------------2分設(shè)切點為，則，解得或（舍）----------------------------------3分 所以.切點為---------------------------------------4分所以所求切線方程為.即.------------------------------------5分（Ⅱ）因為，--------------------------6分由及定義域，令，得.-----------7分①當(dāng)，即時，在上，所以在上單調(diào)遞增.此時在上不可能存在兩個零點；-------------------9分②當(dāng)，即時，在上，所以在上單調(diào)遞減.此時在上不可能存在兩個零點；-------------------11分③當(dāng)，即時，要使在區(qū)間上恰有兩個零點，則，即，此時.綜上，實數(shù)的取值范圍是.--------------------------15分21.（本小題滿分15分）解：（Ⅰ）數(shù)列不滿足性質(zhì)①，理由如下：----------------------2分取數(shù)列中的，，所以.由，解得，顯然不是整數(shù).所以在數(shù)列中不存在，使得，故數(shù)列不滿足性質(zhì)①；----------------------------------4分（Ⅱ）數(shù)列同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，理由如下：--------------5分對于中任意兩項，，記，因此，從而數(shù)列滿足性質(zhì)①；-----------------7分對于中任意項，記，，顯然有，從而數(shù)列滿足性質(zhì)②；綜上，數(shù)列同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②  --------------------9分（Ⅲ）是遞增數(shù)列，，則，根據(jù)性質(zhì)①，…,由數(shù)學(xué)歸納法原理，可以證明------------------------12分另一個方面，我們用反證法證明假設(shè)（）是中最小的不能寫成的整倍數(shù)的項，根據(jù)性質(zhì)②，存在兩項，使得，我們記，可知：，易知，根據(jù)（）的最小性，可知道，可以得到，與t不是正整數(shù)矛盾.綜上所述，是首項為0，公差為的等差數(shù)列.-------------15分       

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