直線和圓的位置關(guān)系
直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)這條直線和圓相交。這條直線叫做圓的割線。
直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)這條直線和圓相切。這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)。
直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)這條直線和圓相離。
設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離d，則有：
直線l和⊙O相交d＜r ；
直線l和⊙O相切d=r ；
直線l和⊙O相離d＞r 。
切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。
經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心。
二、課標(biāo)要求：
1、知道三角形的內(nèi)心。
2、了解直線和圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念，探索切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑的關(guān)系，會(huì)用三角尺過(guò)圓上一點(diǎn)畫圓的切線。
三、常見考點(diǎn)：
1、直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系。2、切線的性質(zhì)及判定。
四、專題訓(xùn)練：
1．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，csA＝，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作⊙B，當(dāng)r＝3時(shí)，⊙B與AC的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．無(wú)法確定
2．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，作半徑為2的圓，若直線y＝﹣x+b與⊙O相交，則b的取值范圍是（ ）
A．0≤b＜2B．﹣2C．﹣22D．﹣2＜b＜2
3．如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為1，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．2C．D．
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB是⊙O的直徑，DC與⊙O相切于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AD與⊙O的交點(diǎn)，已知AB＝12，∠C＝60°，則弧FE的長(zhǎng)等于（ ）
A．6πB．3πC．2πD．π
5．如圖，在⊙O中，E是半徑OA上一點(diǎn)，射線EF⊥OA，交圓于B，P為EB上任一點(diǎn)，射線AP交圓于C，D為射線BF上一點(diǎn)，且DC＝DP，下列結(jié)論：①CD為⊙O的切線；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正確的結(jié)論有（ ）
A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)
6．如圖，△ABC內(nèi)心為I，連接AI并延長(zhǎng)交△ABC的外接圓于D，則線段DI與DB的關(guān)系是（ ）
A．DI＝DBB．DI＞DBC．DI＜DBD．不確定
7．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是（ ）
A．4B．6.25C．7.5D．9
8．如圖，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，將∠ACB平移使其頂點(diǎn)與I重合，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（ ）
A．4.5B．4C．3D．2
9．如圖，I點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心，D點(diǎn)在BC上，且ID⊥BC，若∠B＝44°，∠C＝56°，則∠AID的度數(shù)為何？（ ）
A．174B．176C．178D．180
10．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∠AIC＝124°，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，則∠CDE的度數(shù)為（ ）
A．56°B．62°C．68°D．78°
11．如圖，直線l：y＝﹣x+1與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心，2個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與直線l相切時(shí)，則m的值為 ．
12．⊙O的半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d，R，d是方程x2﹣4x+m＝0的兩根，當(dāng)直線l與⊙O相切時(shí)，m的值為 ．
13．如圖，已知⊙O是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓，∠AOB＝45°，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，若過(guò)點(diǎn)P且與OA平行的直線與⊙O有公共點(diǎn)，設(shè)P（x，0），則x的取值范圍是 ．
14．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB＝3，BC＝4，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BP＝x，若能在AC邊上找到一點(diǎn)Q，使∠BQP＝90°，則x的取值范圍是 ．
15．如圖，在△ABC中，D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，連接DE．若⊙O與BC相切，∠ADE＝55°，則∠C的度數(shù)為 ．
16．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．若∠C＝40°，則∠B的度數(shù)是 °．
17．如圖，在菱形OABC中，OB是對(duì)角線，OA＝OB＝2，⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為 ．
18．如圖，矩形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，連接DE，將△ADE沿DE翻折，恰好使點(diǎn)A落在BC邊的中點(diǎn)F處，在DF上取點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OF長(zhǎng)為半徑作半圓與CD相切于點(diǎn)G．若AD＝4，則圖中陰影部分的面積為 ．
19．如圖，點(diǎn)A、B、D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延長(zhǎng)線交直線BC于點(diǎn)C，且∠OCB＝40°，直線BC與⊙O的位置關(guān)系為 ．
20．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝ ．
21．如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F分別為切點(diǎn)，已知∠C＝90°，⊙O半徑長(zhǎng)為3cm，AC＝10cm，則AD長(zhǎng)度為 cm．
22．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，內(nèi)切圓O與邊AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，則∠DEF的度數(shù)為 °．
23．邊長(zhǎng)為1的正三角形的內(nèi)切圓半徑為 ．
24．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝60°，點(diǎn)E在直徑CD的延長(zhǎng)線上，且AE＝AC．
（1）試判斷AE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AC＝6，求陰影部分的面積．
25．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O外，∠ABC的平分線與⊙O交于點(diǎn)D，∠C＝90°．
（1）CD與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的長(zhǎng)．
26．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)D作直線AC的垂線，垂足為E，連接OD．
（1）求證：∠A＝∠DOB；
（2）DE與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
27．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，點(diǎn)D在⊙O上，，AD與BC相交于點(diǎn)E，AF與⊙O相切于點(diǎn)A，與BC延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．
（1）求證：AE＝AF．
（2）若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半徑．
28．如圖，AC為⊙O的直徑，AP為⊙O的切線，M是AP上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線與⊙O交于點(diǎn)B，D兩點(diǎn)，與AC交于點(diǎn)E，連接AB，AD，AB＝BE．
（1）求證：AB＝BM；
（2）若AB＝3，AD＝，求⊙O的半徑．
29．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長(zhǎng)．
30．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝2a，∠ABC＝60°，過(guò)點(diǎn)B的⊙O與邊AB，BC分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．OG⊥BC，垂足為G，OG＝a．連接OB，OE，OF．
（1）若BF＝2a，試判斷△BOF的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若BE＝BF，求證：⊙O與AD相切于點(diǎn)A．
31．如圖，△ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F(xiàn)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，若AB＝4，求FH的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．
32．如圖，⊙O的直徑AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于D，D是BC的中點(diǎn)．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．
33．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，AC平分∠DAE交⊙O于點(diǎn)C，AD⊥DE于點(diǎn)D．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線．
（2）如果BE＝2，CE＝4，求線段AD的長(zhǎng)．
34．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC與⊙O交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，EF∥BC，交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）CG∥OD，交AB于點(diǎn)G，求CG的長(zhǎng)．
35．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的一條弦，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，且PA＝PC，PD∥AC，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若tan∠PAC＝，AC＝12，求直徑AB的長(zhǎng)．
36．如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，AC是⊙O的直徑，連接OP交⊙O于E．過(guò)A點(diǎn)作AB⊥PO于點(diǎn)D，交⊙O于B，連接BC，PB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）求證：E為△PAB的內(nèi)心；
（3）若cs∠PAB＝，BC＝1，求PO的長(zhǎng)．
參考答案
1．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，csA＝，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作⊙B，當(dāng)r＝3時(shí)，⊙B與AC的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．無(wú)法確定
分析：根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AC，根據(jù)勾股定理求得BC，和⊙B的半徑比較即可．
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，csA＝，
∴＝＝，
∴AC＝4，
∴BC＝＝3，
∵r＝3，
∴BC＝r＝3，
∴⊙B與AC的位置關(guān)系是相切，
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意：直線和圓有三種位置關(guān)系：相切、相交、相離．
2．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，作半徑為2的圓，若直線y＝﹣x+b與⊙O相交，則b的取值范圍是（ ）
A．0≤b＜2B．﹣2C．﹣22D．﹣2＜b＜2
分析：求出直線y＝﹣x+b與圓相切，且函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、四象限，和當(dāng)直線y＝﹣x+b與圓相切，且函數(shù)經(jīng)過(guò)二、三、四象限時(shí)b的值，則相交時(shí)b的值在相切時(shí)的兩個(gè)b的值之間．
解：當(dāng)直線y＝﹣x+b與圓相切，且函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、四象限時(shí)，如圖．
在y＝﹣x+b中，令x＝0時(shí)，y＝b，則與y軸的交點(diǎn)是（0，b），
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝b，則A的交點(diǎn)是（b，0），
則OA＝OB，即△OAB是等腰直角三角形．
連接圓心O和切點(diǎn)C．則OC＝2．
則OB＝OC＝2．即b＝2；
同理，當(dāng)直線y＝﹣x+b與圓相切，且函數(shù)經(jīng)過(guò)二、三、四象限時(shí)，b＝﹣2．
則若直線y＝﹣x+b與⊙O相交，則b的取值范圍是﹣2＜b＜2．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，正確證得直線y＝﹣x+b與圓相切時(shí)，可得△OAB是等腰直角三角形是關(guān)鍵．
3．如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為1，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．2C．D．
分析：連接OB，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到OA＝AB，求得∠AOB＝60°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠DBO＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．
解：連接OB，
∵四邊形OABC是菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝AB＝OB，
∴∠AOB＝60°，
∵BD是⊙O的切線，
∴∠DBO＝90°，
∵OB＝1，
∴BD＝OB＝，
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練正確切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB是⊙O的直徑，DC與⊙O相切于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AD與⊙O的交點(diǎn)，已知AB＝12，∠C＝60°，則弧FE的長(zhǎng)等于（ ）
A．6πB．3πC．2πD．π
分析：首先求出圓心角∠EOF的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式l＝，即可解決問(wèn)題．
解：如圖，連接OE、OF，
∵CD是⊙O的切線，
∴OE⊥CD，
∴∠OED＝90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠C＝60°，
∴∠A＝∠C＝60°，∠D＝120°，
∵OA＝OF，
∴∠A＝∠OFA＝60°，
∴∠DFO＝120°，
∴∠EOF＝360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO＝30°，
∵AB＝12，
∴OA＝6，
∴的長(zhǎng)為：．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查切線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出圓心角的度數(shù)，熟記弧長(zhǎng)公式．
5．如圖，在⊙O中，E是半徑OA上一點(diǎn)，射線EF⊥OA，交圓于B，P為EB上任一點(diǎn)，射線AP交圓于C，D為射線BF上一點(diǎn)，且DC＝DP，下列結(jié)論：①CD為⊙O的切線；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正確的結(jié)論有（ ）
A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)
分析：根據(jù)已知及切線的判定等對(duì)各個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析，從而得到答案．
解：∵DC＝DP，
∴∠DPC＝∠DCP，
∵∠DPC＝∠APE，
∴∠DCP＝∠APE，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA；
∵∠OAC+∠APE＝90°，
∴∠OCA+∠DCP＝90°，
∴CD為⊙O的切線（①正確）；
②不一定；
連接CO，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠DCP＝∠AOC．
∵∠DCP＝（180°﹣2∠A），
又∵∠DCP＝（180°﹣∠CDP），
∴180°﹣2∠A＝180°﹣∠CDP，
∴∠CDP＝2∠A，③正確．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定的理解及運(yùn)用．
6．如圖，△ABC內(nèi)心為I，連接AI并延長(zhǎng)交△ABC的外接圓于D，則線段DI與DB的關(guān)系是（ ）
A．DI＝DBB．DI＞DBC．DI＜DBD．不確定
分析：連接BI，如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根據(jù)圓周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性質(zhì)和角度的代換證明∠4＝∠DBI，從而可判斷DI＝DB．
解：連接BI，如圖，
∵△ABC內(nèi)心為I，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2，
∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，
即∠4＝∠DBI，
∴DI＝DB．
故選：A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了三角形的外接圓和圓周角定理．
7．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是（ ）
A．4B．6.25C．7.5D．9
分析：利用勾股定理的逆定理得到△ABC為直角三角形，∠A＝90°，再利用切線的性質(zhì)得到OF⊥AB，OE⊥AC，所以四邊形OFAE為正方形，設(shè)OE＝AE＝AF＝r，利用切線長(zhǎng)定理得到BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，所以5﹣r+12﹣r＝13，然后求出r后可計(jì)算出陰影部分（即四邊形AEOF）的面積．
解：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，
∴AB2+CA2＝BC2，
∴△ABC為直角三角形，∠A＝90°，
∵AB、AC與⊙O分別相切于點(diǎn)E、F
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴四邊形OFAE為正方形，
設(shè)OE＝r，
則AE＝AF＝r，
∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，
∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，
∴5﹣r+12﹣r＝13，
∴r＝＝2，
∴陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是2×2＝4．
故選：A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了勾股定理的逆定理和切線的性質(zhì)．
8．如圖，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，將∠ACB平移使其頂點(diǎn)與I重合，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（ ）
A．4.5B．4C．3D．2
分析：連接AI、BI，因?yàn)槿切蔚膬?nèi)心是角平分線的交點(diǎn)，所以AI是∠CAB的平分線，由平行的性質(zhì)和等角對(duì)等邊可得：AD＝DI，同理BE＝EI，所以圖中陰影部分的周長(zhǎng)就是邊AB的長(zhǎng)．
解：連接AI、BI，
∵點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI＝∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI＝∠AID，
∴∠BAI＝∠AID，
∴AD＝DI，
同理可得：BE＝EI，
∴△DIE的周長(zhǎng)＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝4，
即圖中陰影部分的周長(zhǎng)為4，
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)心的定義、平移的性質(zhì)及角平分線的定義等知識(shí)，熟練掌握三角形的內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)是關(guān)鍵．
9．如圖，I點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心，D點(diǎn)在BC上，且ID⊥BC，若∠B＝44°，∠C＝56°，則∠AID的度數(shù)為何？（ ）
A．174B．176C．178D．180
分析：連接CI，利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠BAC的度數(shù)，由I點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心，可得出∠CAI、∠ACI、∠DCI的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和定理可得出∠AIC、∠CID的度數(shù)，再由∠AID＝∠AIC+∠CID即可求出∠AID的度數(shù)．
解：連接CI，如圖所示．
在△ABC中，∠B＝44°，∠ACB＝56°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°．
∵I點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心，
∴∠CAI＝∠BAC＝40°，∠ACI＝∠DCI＝∠ACB＝28°，
∴∠AIC＝180°﹣∠CAI﹣∠ACI＝112°，
又ID⊥BC，
∴∠CID＝90°﹣∠DCI＝62°，
∴∠AID＝∠AIC+∠CID＝112°+62°＝174°．
故選：A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)心、三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出∠AIC、∠CID的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∠AIC＝124°，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，則∠CDE的度數(shù)為（ ）
A．56°B．62°C．68°D．78°
分析：由點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，從而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角可得答案．
解：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，
∵∠AIC＝124°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）
＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）
＝68°，
又四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B＝68°，
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)心的性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．
11．如圖，直線l：y＝﹣x+1與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心，2個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與直線l相切時(shí)，則m的值為 2﹣2或2+2． ．
分析：根據(jù)直線l：y＝﹣x+1由x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)A（0，1），B（2，0），得到OA＝1，OB＝2，求出AB＝；設(shè)⊙M與AB相切與C，連接MC，則MC＝2，MC⊥AB，通過(guò)△BMC∽△BAO，即可得到結(jié)果．
解：在y＝﹣x+1中，
令x＝0，則y＝1，
令y＝0，則x＝2，
∴A（0，1），B（2，0），
∴AB＝；
如圖，設(shè)⊙M與AB相切與C，
連接MC，則MC＝2，MC⊥AB，
∵∠MCB＝∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBM，
∴△BMC～△BAO，
∴，即，
∴BM＝2，
∴OM＝2﹣2，或OM＝2+2．
∴m＝2﹣2或m＝2+2．
故答案為：2﹣2，2+2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，一次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意分類討論是解題的關(guān)鍵．
12．⊙O的半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d，R，d是方程x2﹣4x+m＝0的兩根，當(dāng)直線l與⊙O相切時(shí)，m的值為 4 ．
分析：先根據(jù)切線的性質(zhì)得出方程有且只有一個(gè)根，再根據(jù)△＝0即可求出m的值．
解：∵d、R是方程x2﹣4x+m＝0的兩個(gè)根，且直線L與⊙O相切，
∴d＝R，
∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，
∴△＝16﹣4m＝0，
解得，m＝4，
故答案為：4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的性質(zhì)及一元二次方程根的判別式，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．
13．如圖，已知⊙O是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓，∠AOB＝45°，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，若過(guò)點(diǎn)P且與OA平行的直線與⊙O有公共點(diǎn)，設(shè)P（x，0），則x的取值范圍是 ﹣≤x≤且x≠0 ．
分析：由題意得x有兩個(gè)極值點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P與⊙O相切時(shí)，x取得極值，作出切線，利用切線的性質(zhì)求解即可．
解：將OA平移至P'D的位置，使P'D與圓相切，
連接OD，由題意得，OD＝1，∠DOP'＝45°，∠ODP'＝90°，
故可得OP'＝，即x的極大值為，
同理當(dāng)點(diǎn)P在y軸左邊時(shí)也有一個(gè)極值點(diǎn)，此時(shí)x取得極小值，x＝﹣，
綜上可得x的范圍為：﹣≤x≤．
又∵DP'與OA平行，
∴x≠0，
故答案為：﹣≤x≤且x≠0．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，分別得出兩圓與圓相切時(shí)求出OP的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，難度一般，注意兩個(gè)極值點(diǎn)的尋找．
14．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB＝3，BC＝4，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BP＝x，若能在AC邊上找到一點(diǎn)Q，使∠BQP＝90°，則x的取值范圍是 3≤x≤4 ．
分析：根據(jù)已知首先找出BP取最小值時(shí)QO⊥AC，進(jìn)而求出△ABC∽△OQC，再求出x的最小值，進(jìn)而求出PB的取值范圍即可．
解：取BP中點(diǎn)O，以BP為直徑作⊙O，
連接QO，當(dāng)QO⊥AC時(shí)，QO最短，即BP最短，
∵∠OQC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△OQC，
∴＝，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
∵BP＝x，
∴QO＝x，CO＝4﹣x，
∴＝，
解得：x＝3，
當(dāng)P與C重合時(shí)，BP＝4，
∴BP＝x的取值范圍是：3≤x≤4，
故答案為：3≤x≤4．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系以及三角形的相似的性質(zhì)與判定和勾股定理等知識(shí)，找出當(dāng)QO⊥AC時(shí)，QO最短即BP最短，進(jìn)而利用相似求出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
15．如圖，在△ABC中，D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，連接DE．若⊙O與BC相切，∠ADE＝55°，則∠C的度數(shù)為 55° ．
分析：由直徑所對(duì)的圓周角為直角得∠AED＝90°，由切線的性質(zhì)可得∠ADC＝90°，然后由同角的余角相等可得∠C＝∠ADE＝55°．
解：∵AD為⊙O的直徑，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°；
∵⊙O與BC相切，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠DAE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠ADE＝55°，
∴∠C＝55°．
故答案為：55°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、圓的相關(guān)概念及性質(zhì)及互余關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．若∠C＝40°，則∠B的度數(shù)是 25 °．
分析：先根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OAC＝90°，再利用互余計(jì)算出∠AOC＝90°﹣∠C＝50°，由于∠OBD＝∠ODB，利用三角形的外角性質(zhì)得∠OBD＝∠AOC＝25°．
解：∵AC是⊙O的切線，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
而∠AOC＝∠OBD+∠ODB，
∴∠OBD＝∠AOC＝25°，
即∠ABD的度數(shù)為25°，
故答案為：25．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．
17．如圖，在菱形OABC中，OB是對(duì)角線，OA＝OB＝2，⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為 2﹣π ．
分析：連接OD，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到OA＝AB，得到△OAB為等邊三角形，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥AB，根據(jù)余弦的定義求出OD，根據(jù)菱形面積公式、扇形面積公式計(jì)算，得到答案．
解：連接OD，
∵四邊形OABC為菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠A＝∠AOB＝60°，
∵AB是⊙O的切線，
∴OD⊥AB，
∴OD＝OA?sinA＝，
同理可知，△OBC為等邊三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴圖中陰影部分的面積＝2×﹣＝2﹣π，
故答案為：2﹣π．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的性質(zhì)、扇形面積計(jì)算、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的性質(zhì)定理、扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，矩形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，連接DE，將△ADE沿DE翻折，恰好使點(diǎn)A落在BC邊的中點(diǎn)F處，在DF上取點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OF長(zhǎng)為半徑作半圓與CD相切于點(diǎn)G．若AD＝4，則圖中陰影部分的面積為 ．
分析：連接OG，QG，證明△DOG∽△DFC，得出，設(shè)OG＝OF＝x，則，求出圓的半徑為，證明△OFQ為等邊三角形，求出CQ，CG，則可由三角形的面積公式求出答案．
解：連接OG，QG，
∵將△ADE沿DE翻折，恰好使點(diǎn)A落在BC邊的中點(diǎn)F處，
∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，
∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，
∴∠FDC＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∵⊙O與CD相切于點(diǎn)G，
∴OG⊥CD，
∵BC⊥CD，
∴OG∥BC，
∴△DOG∽△DFC，
∴，
設(shè)OG＝OF＝x，則，
解得：x＝，即⊙O的半徑是．
連接OQ，作OH⊥FQ，
∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，
∴△OFQ為等邊三角形；同理△OGQ為等邊三角形；
∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH＝OQ＝，
∴QH＝＝，
∴CQ＝
∵四邊形OHCG為矩形，
∴OH＝CG＝，
∴S陰影＝S△CGQ＝＝＝．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形面積的計(jì)算，切線的性質(zhì)，翻折變換，熟練掌握基本圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，點(diǎn)A、B、D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延長(zhǎng)線交直線BC于點(diǎn)C，且∠OCB＝40°，直線BC與⊙O的位置關(guān)系為 相切 ．
分析：先利用同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系求出∠BOC＝2∠A＝50°，再求，∠OBC＝180°﹣50°﹣40°＝90°，可得結(jié)論．
解：∵∠BOC＝2∠A＝50°，∠OCB＝40°，
∴在△OBC中，∠OBC＝180°﹣50°﹣40°＝90度．
∴直線BC與⊙O相切．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系，及圓的切線的判定．
20．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝ 1 ．
分析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根據(jù)勾股定理可得AB＝5，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與三條邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，可得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得CE＝CF，所以矩形EOFC是正方形，可得CE＝CF＝r，所以AF＝AD＝3﹣r，BE＝BD＝4﹣r，進(jìn)而可得△ABC的內(nèi)切圓半徑r的值．
解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
根據(jù)勾股定理，得AB＝5，
如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與三條邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，
連接OD、OE、OF，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴四邊形EOFC是矩形，
根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得
CE＝CF，
∴矩形EOFC是正方形，
∴CE＝CF＝r，
∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，
BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，
∵AD+BD＝AB，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
解得r＝1．
則△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝1．
故答案為：1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．
21．如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F分別為切點(diǎn)，已知∠C＝90°，⊙O半徑長(zhǎng)為3cm，AC＝10cm，則AD長(zhǎng)度為 7 cm．
分析：連接OD、OE、OF，如圖，根據(jù)內(nèi)切圓的定義和切線的性質(zhì)得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，接著證明四邊形OECF為正方形，則CE＝OE＝3，所以AF＝AC﹣CF＝7，然后根據(jù)切線長(zhǎng)定理求AD．
解：連接OD、OE、OF，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵⊙O為△ABC內(nèi)切圓，與三邊分別相切于D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四邊形OECF為矩形
而OF＝OE，
∴四邊形OECF為正方形，
∴CE＝OE＝3，
∵AC＝10，
∴AF＝AC﹣CF＝7，
∴AD＝AF＝7（cm）．故答案為7．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了切線的性質(zhì)與切線長(zhǎng)定理．
22．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，內(nèi)切圓O與邊AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，則∠DEF的度數(shù)為 75 °．
分析：連接DO，F(xiàn)O，利用切線的性質(zhì)得出∠ODA＝∠OFA＝90°，再利用三角形內(nèi)角和以及四邊形內(nèi)角和定理求出∠DOF的度數(shù)，進(jìn)而利用圓周角定理得出∠DEF的度數(shù)．
解：連接DO，F(xiàn)O，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°
∴∠A＝30°，
∵內(nèi)切圓O與邊AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，
∴∠ODA＝∠OFA＝90°，
∴∠DOF＝150°，
∴∠DEF的度數(shù)為75°．
故答案為：75．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理以及切線的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和定理等知識(shí)，得出∠DOF＝150°是解題關(guān)鍵．
23．邊長(zhǎng)為1的正三角形的內(nèi)切圓半徑為 ．
分析：根據(jù)等邊三角形的三線合一，可以構(gòu)造一個(gè)由其內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊組成的30°的直角三角形，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出內(nèi)切圓半徑即可．
解：∵內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊組成一個(gè)30°的直角三角形，
則∠OBD＝30°，BD＝，
∴tan∠OBD＝＝，
∴內(nèi)切圓半徑OD＝＝．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的內(nèi)切圓，注意：根據(jù)等邊三角形的三線合一，可以發(fā)現(xiàn)其內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊正好組成了一個(gè)30°的直角三角形．
24．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝60°，點(diǎn)E在直徑CD的延長(zhǎng)線上，且AE＝AC．
（1）試判斷AE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AC＝6，求陰影部分的面積．
分析：（1）連接OA、AD，可求得∠ACE＝∠AEC＝30°，可證明△AOD為等邊三角形，可求得∠EAO＝90°，可證明AE為⊙O的切線；
（2）結(jié)合（1）可得到OA＝2，AE＝6，再根據(jù)圓的面積公式和扇形面積公式即可求解．
（1）證明：連接OA、AD，如圖，
∵CD為⊙O的直徑，
∴∠DAC＝90°，
又∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠ACE＝30°，
又∵AE＝AC，OA＝OD，
∴△ADO為等邊三角形，
∴∠AEC＝30°，∠ADO＝∠DAO＝60°，
∴∠EAD＝30°，
∴∠EAD+∠DAO＝90°，
∴∠EAO＝90°，即OA⊥AE，
∴AE為⊙O的切線；
（2）解：由（1）可知△AEO為直角三角形，且∠E＝30°，
∴OA＝2，AE＝6，
∴陰影部分的面積為×6×2﹣＝6﹣2π．
故陰影部分的面積為6﹣2π．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的判定和性質(zhì)，掌握切線的證明方法是解題的關(guān)鍵，即有切點(diǎn)時(shí)連接圓心和切點(diǎn)證明垂直，沒(méi)有切點(diǎn)時(shí)，作垂直證明距離等于半徑．注意這類問(wèn)題的常用輔助線的作法．
25．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O外，∠ABC的平分線與⊙O交于點(diǎn)D，∠C＝90°．
（1）CD與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的長(zhǎng)．
分析：（1）連接OD，只需證明∠ODC＝90°即可；
（2）由（1）中的結(jié)論可得∠ODB＝30°，可求得弧AD的圓心角度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式求得結(jié)果即可．
解：（1）相切．理由如下：
連接OD，
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠CBD＝∠ABD，
又∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥CB，
∴∠ODC＝∠C＝90°，
∴CD與⊙O相切；
（2）若∠CDB＝60°，可得∠ODB＝30°，
∴∠AOD＝60°，
又∵AB＝6，
∴AO＝3，
∴的長(zhǎng)＝＝π．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理的運(yùn)用．一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．
26．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)D作直線AC的垂線，垂足為E，連接OD．
（1）求證：∠A＝∠DOB；
（2）DE與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）連接OC，由D為的中點(diǎn)，得到＝，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的判定定理得到AE∥OD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥DE，于是得到結(jié)論．
（1）證明：連接OC，
∵D為的中點(diǎn)，
∴＝，
∴∠BOD＝BOC，
∵∠BAC＝BOC，
∴∠A＝∠DOB；
（2）解：DE與⊙O相切，
理由：∵∠A＝∠DOB，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
27．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，點(diǎn)D在⊙O上，，AD與BC相交于點(diǎn)E，AF與⊙O相切于點(diǎn)A，與BC延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．
（1）求證：AE＝AF．
（2）若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半徑．
分析：（1）由切線的性質(zhì)得出∠FAB＝90°，由圓周角定理得出∠CAE＝∠D，∠D＝∠B，證得∠F＝∠CEA，則可得出結(jié)論；
（2）由銳角三角函數(shù)的定義得出，求出AE＝10，由勾股定理求出AC，則可求出AB的長(zhǎng)．
（1）證明：∵AF與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴FA⊥AB，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠B＝90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵＝，
∴∠CAE＝∠D，
∴∠D+∠CEA＝90°，
∵∠D＝∠B，
∴∠B+∠CEA＝90°，
∴∠F＝∠CEA，
∴AE＝AF．
（2）解：∵AE＝AF，∠ACB＝90°，
∴CF＝CE＝EF＝6，
∵∠ABF＝∠D＝∠CAE，
∴sin∠ABF＝sin∠CAE＝，
∴，
∴AE＝10，
∴AC＝＝＝8，
∵sin∠ABC＝＝＝，
∴AB＝，
∴OA＝AB＝．
即⊙O的半徑為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
28．如圖，AC為⊙O的直徑，AP為⊙O的切線，M是AP上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線與⊙O交于點(diǎn)B，D兩點(diǎn)，與AC交于點(diǎn)E，連接AB，AD，AB＝BE．
（1）求證：AB＝BM；
（2）若AB＝3，AD＝，求⊙O的半徑．
分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可求出答案．
（2）連接BC，先求出EM與AE的長(zhǎng)度，再證明△MAE∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．
解：（1）∵AP為⊙O的切線，AC為⊙O的直徑，
∴AP⊥AC，
∴∠CAB+∠PAB＝90°，
∴∠AMD+∠AEB＝90°，
∵AB＝BE，
∴∠AEB＝∠CAB，
∴∠AMD＝∠PAB，
∴AB＝BM．
（2）連接BC，
∵AC為直徑，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∵∠CAB+∠PAB＝90°
∴∠C＝∠PAB，
∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D，
∴∠AMD＝∠D＝∠C，
∴AM＝AD＝，
∵AB＝3，AB＝BM＝BE，
∴EM＝6，
∴由勾股定理可知：AE＝＝，
∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°，
∴△MAE∽△CBA，
∴＝，
∴，
∴CA＝5，
∴⊙O的半徑為2.5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)．
29．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長(zhǎng)．
分析：（1）連接AD、OD．先證明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，從而可證明∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性質(zhì)可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD+∠EDA＝90°，由三角形的內(nèi)角和定理可知∠DEA＝90°，于是可得到DE⊥AC．
（2）由等腰三角形的性質(zhì)求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積得出答案．
（1）證明：連接AD、OD．
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ADO+∠ODB＝90°．
∵DE是圓O的切線，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO＝90°．
∴∠EDA＝∠ODB．
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∴∠EDA＝∠OBD．
∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°．
∴∠DEA＝90°．
∴DE⊥AC．
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵⊙O的半徑為5，BC＝16，
∴AC＝10，CD＝8，
∴AD＝＝6，
∵S△ADC＝AC?DE，
∴DE＝＝＝．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
30．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝2a，∠ABC＝60°，過(guò)點(diǎn)B的⊙O與邊AB，BC分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．OG⊥BC，垂足為G，OG＝a．連接OB，OE，OF．
（1）若BF＝2a，試判斷△BOF的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若BE＝BF，求證：⊙O與AD相切于點(diǎn)A．
分析：（1）由垂徑定理得到BG＝FG＝a，則BG＝OG，F(xiàn)G＝OG，所以△BOG和△OFG都是等腰直角三角形，則∠BOF＝90°，從而可判斷△BOF為等腰直角三角形．
（2）連接EF，如圖，先證明△BEF為等邊三角形，再證明點(diǎn)E、O、G共線，即EG⊥BF，接著計(jì)算出BE＝2BG＝2a＝AB，則可判斷點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，然后證明AG⊥AD，從而得到⊙O與AD相切于點(diǎn)A．
（1）解：△BOF為等腰直角三角形．
理由如下：∵OG⊥BC，
∴BG＝FG＝BF＝a，
∵OG＝a，
∴BG＝OG，F(xiàn)G＝OG，
∴△BOG和△OFG都是等腰直角三角形，
∴∠BOG＝∠FOG＝45°，
∴∠BOF＝90°，
而OB＝OF，
∴△BOF為等腰直角三角形．
（2）證明：連接EF，如圖，
∵∠EBF＝60°，BF＝BE，
∴△BEF為等邊三角形，
∴EB＝EF，
∵OG垂直平分BF，
∴點(diǎn)E、O、G共線，
即EG⊥BF，
∵OG＝a，∠OBG＝30°，
∴BG＝OG＝a，
∴BE＝2BG＝2a，
而AB＝2a，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，
∵AD∥BC，AG⊥BF，
∴AG⊥AD，
∴⊙O與AD相切于點(diǎn)A
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和垂徑定理．
31．如圖，△ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F(xiàn)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，若AB＝4，求FH的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．
分析：（1）連接OD，由等邊三角形的性質(zhì)得出AB＝BC，∠B＝∠C＝60°，證出△OBD是等邊三角形，得出∠BOD＝∠C，證出OD∥AC，得出DE⊥OD，即可得出結(jié)論；
（2）先證明△OCF是等邊三角形，得出CF＝OC＝BC＝AB＝2，再由三角函數(shù)即可求出FH．
解：（1）DE是⊙O的切線；理由如下：
連接OD，如圖1所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOD＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；
（2）連接OF，如圖2所示：
∵OC＝OF，∠C＝60°，
∴△OCF是等邊三角形，
∴CF＝OC＝BC＝AB＝2，
∵FH⊥BC，
∴∠FHC＝90°，
∴FH＝CF?sin∠C＝2×＝．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、平行線的判定、三角函數(shù)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
32．如圖，⊙O的直徑AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于D，D是BC的中點(diǎn)．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理求得∠ADB＝90°，然后解直角三角形即可求得BD，進(jìn)而求得BC即可；
（2）要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO＝90°即可．
證明：（1）解：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴BD＝2，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BC＝2BD＝4；
（2）證明：連接OD．
∵D是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，
∴DO是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，則∠EDO＝∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，∠EDO＝∠CED＝90°
∴DE是⊙O的切線．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．解題時(shí)要注意連接過(guò)切點(diǎn)的半徑是圓中的常見輔助線．
33．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，AC平分∠DAE交⊙O于點(diǎn)C，AD⊥DE于點(diǎn)D．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線．
（2）如果BE＝2，CE＝4，求線段AD的長(zhǎng)．
分析：（1）連接OC，由角平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC＝∠ACO，則AD∥OC，證得∠OCE＝90°，則可得出結(jié)論；
（2）連接BC，證明△CBE∽△AEC，由相似三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，證明△DAC∽△CAB，得出，則可求出答案．
證明：（1）如圖1，連接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCE＝∠ADC，
∴∠OCE＝90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：如圖2，連接BC，
∵∠OCE＝90°，
∴∠OCB+∠BCE＝90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCE＝∠CAB，
∵∠CEB＝∠AEC，
∴△CBE∽△AEC，
∴，
∴AE＝8，
∴AB＝6，
設(shè)CB＝x，則AC＝2x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴x2+（2x）2＝62，
解得，x＝．
∴AC＝，
∵∠DAC＝∠CAB，∠D＝∠ACB＝90°，
∴△DAC∽△CAB，
∴，
∴，
∴AD＝．
點(diǎn)評(píng)：本題考查切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)作常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
34．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC與⊙O交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，EF∥BC，交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）CG∥OD，交AB于點(diǎn)G，求CG的長(zhǎng)．
分析：（1）由垂徑定理可得OE⊥BD，BH＝DH，由平行線的性質(zhì)可得OE⊥EF，可證EF是⊙O的切線；
（2）由勾股定理可求BC的長(zhǎng)，由面積法可求OH的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求BH的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例可求解．
證明：（1）連接OE，交BD于H，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，OE是半徑，
∴OE⊥BD，BH＝DH，
∵EF∥BC，
∴OE⊥EF，
又∵OE是半徑，
∴EF是⊙O的切線；
（2）∵AB是⊙O的直徑，AB＝6，OC⊥AB，
∴OB＝3，
∴BC＝＝＝，
∵S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OH，
∴OH＝＝，
∵cs∠OBC＝，
∴＝，
∴BH＝，
∴BD＝2BH＝，
∵CG∥OD，
∴，
∴＝，
∴CG＝．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，平行線分線段成比例等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
35．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的一條弦，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，且PA＝PC，PD∥AC，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若tan∠PAC＝，AC＝12，求直徑AB的長(zhǎng)．
分析：（1）連接PO，交AC于H，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠PAC＝∠PCA，∠PAO＝∠OPA，由平行線的性質(zhì)和圓周角定理可得∠DPA＝∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，∠APB＝90°，可證∠DPO＝90°，可得結(jié)論；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)可求AH＝HC＝AC＝6，由銳角三角函數(shù)可求PH＝4，由勾股定理可求AO的長(zhǎng)，即可求解．
解：（1）連接PO，交AC于H，
∵PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠PCA＝∠PBA，
∴∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，
∵DP∥AC，
∴∠DPA＝∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，
∵OA＝OP，
∴∠PAO＝∠OPA，
∵AB是直徑，
∴∠APB＝90°，
∴∠PAB+∠ABP＝90°，
∴∠OPA+∠DPA＝90°，
∴∠DPO＝90°，
又∵OP是半徑，
∴DP是⊙O的切線；
（2）∵DP∥AC，∠DPO＝90°，
∴∠DPO＝∠AHO＝90°，
又∵PA＝PC，
∴AH＝HC＝AC＝6，
∵tan∠PAC＝＝，
∴PH＝×AH＝4，
∵AO2＝AH2+OH2，
∴AO2＝36+（OA﹣4）2，
∴OA＝，
∴AB＝2OA＝13．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．
36．如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，AC是⊙O的直徑，連接OP交⊙O于E．過(guò)A點(diǎn)作AB⊥PO于點(diǎn)D，交⊙O于B，連接BC，PB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）求證：E為△PAB的內(nèi)心；
（3）若cs∠PAB＝，BC＝1，求PO的長(zhǎng)．
分析：（1）連結(jié)OB，根據(jù)圓周角定理得到∠ABC＝90°，證明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根據(jù)切線的判定定理證明；
（2）連結(jié)AE，根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，證明EA平分∠PAD，根據(jù)三角形的內(nèi)心的概念證明即可；
（3）根據(jù)余弦的定義求出OA，證明△PAO∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．
（1）證明：連結(jié)OB，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA為⊙O的切線，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切線；
（2）證明：連結(jié)AE，
∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PB為⊙O的切線，
∴PD平分∠APB
∴E為△PAB的內(nèi)心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cs∠C＝cs∠PAB＝，
在Rt△ABC中，cs∠C＝＝＝，
∴AC＝，AO＝，
∵△PAO∽△ABC，
∴，
∴PO＝＝＝5．

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