1、圓:在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓。固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑，以點(diǎn)O為圓心的圓，記作⊙O，讀作“圓O”。
連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。
圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。小于半圓的弧叫做劣弧。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。
能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。 在同圓或等圓中，能重合的弧叫等弧。
2、垂徑定理
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
3、弧、弦、圓心角之間的關(guān)系
定義：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等；
在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等。
4、圓周角
定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。
圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。
推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。
推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。
5、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為OP=d，則有：
點(diǎn)P在圓外d＞r ；點(diǎn)P在圓上d=r ；點(diǎn)P在圓內(nèi)d＜r 。
性質(zhì)：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。
定義：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。
二、課標(biāo)要求：
1、理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索并了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。
2、掌握垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧。
3、探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半；直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。
4、知道三角形的外心。
三、常見考點(diǎn)：
1、圓的對(duì)稱性，垂徑定理。2、弧、弦、圓心角之間的關(guān)系。3、圓周角定理及其推論。
4、三角形的外心。
四、專題訓(xùn)練：
1．如圖，⊙O的半徑為1，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，點(diǎn)D、E在圓上，四邊形BCDE為矩形，這個(gè)矩形的面積是（ ）
A．2B．C．D．
2．《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)暮作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直徑CD的長．”則CD＝（ ）
A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸
3．圓中有兩條等弦AB＝AE，夾角∠A＝88°，延長AE到C，使EC＝BE，連接BC，如圖．則∠ABC的度數(shù)是（ ）
A．90°B．80°C．69°D．65°
4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，的度數(shù)為α，以點(diǎn)C為圓心，BC長為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．45°﹣αB．αC．45°+αD．25°+α
5．如圖，點(diǎn)A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，則∠α的度數(shù)為（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接BD．若，∠BDC＝50°，則∠ADC的度數(shù)是（ ）
A．125°B．130°C．135°D．140°
7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，3）、B（3，0），以點(diǎn)B為圓心、2為半徑的⊙B上有一動(dòng)點(diǎn)P．連接AP，若點(diǎn)C為AP的中點(diǎn)，連接OC，則OC的最小值為（ ）
A．1B．2﹣1C．D．﹣1
8．如圖，直線AB經(jīng)過⊙O的圓心，與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC＝30度．點(diǎn)E是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O不重合），直線EC交⊙O于D，則使DE＝DO的點(diǎn)E共有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
9．平面上不共線的四點(diǎn)，可以確定圓的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)或3個(gè)B．3個(gè)或4個(gè)
C．1個(gè)或3個(gè)或4個(gè)D．1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)或4個(gè)
10．在半徑為0.5米的地球儀的表面之外，距赤道1米拉一根繩子繞地球儀一周，這條繩子比地球儀的赤道周長多M米；如果在地球赤道表面也這樣做，這條繩子比地球赤道周長多N米，則M與N的關(guān)系為 ．（①M(fèi)＝N；②M＞N；③M＜N；④無法確定）
11．已知⊙O的直徑為10，圓心O（4，5），則⊙O截y軸所得的弦長為 ．
12．如圖，AB是半圓O的直徑，AB＝8，C是半徑OA上的一動(dòng)點(diǎn)，CD⊥AB交⊙O于點(diǎn)D，在邊CB上取一點(diǎn)E，使得CE＝2CD．EF⊥AB交⊙O于點(diǎn)F．當(dāng)DF∥AB時(shí)，四邊形DCEF的周長為 ．
13．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，AC交⊙O于點(diǎn)E，∠BAC＝45°，給出下列五個(gè)結(jié)論：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
14．如圖，已知：AB和CD為⊙O的兩條直徑，弦CE∥AB，弧CE的度數(shù)為40°，則∠BOC＝ 度．
15．如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，則⊙O的半徑為 ．
16．如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，則⊙O的半徑是 ．
17．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比為4：3：5，則∠D的度數(shù)是 °．
18．如圖，已知 A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標(biāo)為（﹣2，0），半徑為2．若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值是 ．
19．在平面直角坐標(biāo)系中有A，B，C三點(diǎn)，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．現(xiàn)在要畫一個(gè)圓同時(shí)經(jīng)過這三點(diǎn)，則圓心坐標(biāo)為 ．
20．木工師傅可以用角尺測(cè)量并計(jì)算出圓的半徑r．用角尺的較短邊緊靠⊙O，角尺的頂點(diǎn)B（∠B＝90°），并使較長邊與⊙O相切于點(diǎn)C．
（1）如圖，AB＜r，較短邊AB＝8cm，讀得BC長為12cm，則該圓的半徑r為多少？
（2）如果AB＝8cm，假設(shè)角尺的邊BC足夠長，若讀得BC長為acm，則用含a的代數(shù)式表示r為 ．
21．如圖，C，D為⊙O上兩點(diǎn)，且在直徑AB兩側(cè)，連結(jié)CD交AB于點(diǎn)E，G是上一點(diǎn)，∠ADC＝∠G．
（1）求證：∠1＝∠2．
（2）點(diǎn)C關(guān)于DG的對(duì)稱點(diǎn)為F，連結(jié)CF．當(dāng)點(diǎn)F落在直徑AB上時(shí)，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半徑．
22．如圖，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A、C、D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥BC，交⊙O于點(diǎn)F．
求證：（1）四邊形DBCF是平行四邊形；
（2）AF＝EF．
23．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長線分別交于點(diǎn)E、F．
（1）若∠E＝∠F時(shí)，求證：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°時(shí)，求∠A的度數(shù)；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．請(qǐng)你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大?。?br>24．如圖，A、P、B、C是⊙O上四點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）連接OA，OB，當(dāng)點(diǎn)P位于什么位置時(shí)，四邊形PBOA是菱形？并說明理由；
（3）已知PA＝a，PB＝b，求PC的長（用含a和b的式子表示）．
25．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，BD為⊙O的直徑，過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，延長BD交AC延長線于點(diǎn)F．
（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半徑；
（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．
參考答案
1．如圖，⊙O的半徑為1，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，點(diǎn)D、E在圓上，四邊形BCDE為矩形，這個(gè)矩形的面積是（ ）
A．2B．C．D．
分析：連接BD、OC，根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠BCD＝90°，再根據(jù)圓周角定理得BD為⊙O的直徑，則BD＝2；由ABC為等邊三角形得∠A＝60°，于是利用圓周角定理得到∠BOC＝2∠A＝120°，易得∠CBD＝30°，在Rt△BCD中，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD＝BD＝1，BC＝CD＝，然后根據(jù)矩形的面積公式求解．
解：連結(jié)BD、OC，如圖，
∵四邊形BCDE為矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BD為⊙O的直徑，
∴BD＝2，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
而OB＝OC，
∴∠CBD＝30°，
在Rt△BCD中，CD＝BD＝1，BC＝CD＝，
∴矩形BCDE的面積＝BC?CD＝．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)．
2．《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)暮作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直徑CD的長．”則CD＝（ ）
A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸
分析：連接OA構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由DE垂直AB得到點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，由AB＝10可求出AE的長，再設(shè)出圓的半徑OA為x，表示出OE，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為圓的半徑，把求出的半徑代入即可得到答案．
解：連接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
設(shè)圓O的半徑OA的長為x寸，則OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化簡得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，注意利用圓的半徑，弦的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形來解決實(shí)際問題，做此類題時(shí)要多觀察，多分析，才能發(fā)現(xiàn)線段之間的聯(lián)系．
3．圓中有兩條等弦AB＝AE，夾角∠A＝88°，延長AE到C，使EC＝BE，連接BC，如圖．則∠ABC的度數(shù)是（ ）
A．90°B．80°C．69°D．65°
分析：根據(jù)題意可得出△ABE、△BEC是等腰三角形，在等腰三角形中先求出∠AEB的度數(shù)，然后利用外角的性質(zhì)可求出∠EBC的度數(shù)，繼而可得出答案．
解：∵AB＝AE，EC＝BE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠EBC＝∠ACB，
又∵∠A＝88°，
∴∠ABE＝∠AEB＝46°，∠EBC＝∠ACB＝∠AEB＝23°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝69°．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出∠ABE及∠EBC的度數(shù)，難度一般．
4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，的度數(shù)為α，以點(diǎn)C為圓心，BC長為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．45°﹣αB．αC．45°+αD．25°+α
分析：連接OD，求得∠DCE＝α，得到∠BCD＝90°﹣α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．
解：連接OD，
∵的度數(shù)為α，
∴∠DCE＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣α，
∵BC＝DC，
∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣90°+α）＝45°+α，
∴∠A＝90°﹣∠B＝45°﹣α，
故選：A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓心角，弧，弦，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，點(diǎn)A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，則∠α的度數(shù)為（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
分析：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論
解：在優(yōu)弧AB上任意找一點(diǎn)D，連接AD，BD．
∵∠D＝180°﹣∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠D＝100°，
故選：A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接BD．若，∠BDC＝50°，則∠ADC的度數(shù)是（ ）
A．125°B．130°C．135°D．140°
分析：連接OA，OB，OC，根據(jù)圓周角定理得出∠BOC＝100°，再根據(jù)得到∠AOC，從而得到∠ABC，最后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到結(jié)果．
解：連接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于畫出半徑，構(gòu)造圓心角．
7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，3）、B（3，0），以點(diǎn)B為圓心、2為半徑的⊙B上有一動(dòng)點(diǎn)P．連接AP，若點(diǎn)C為AP的中點(diǎn)，連接OC，則OC的最小值為（ ）
A．1B．2﹣1C．D．﹣1
分析：確定點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是：以D為圓心，以DC1為半徑的圓，當(dāng)O、C、D共線時(shí)，OC的長最小，先求⊙D的半徑為1，說明D是AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線是斜邊一半可得OD＝，所以O(shè)C的最小值是﹣1．
解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的延長線上時(shí)，即如圖中點(diǎn)P1，C1是AP1的中點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，C2是中點(diǎn)，取C1C2的中點(diǎn)為D，
點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是以D為圓心，以DC1為半徑的圓（CA：PA＝1：2，則點(diǎn)C軌跡和點(diǎn)P軌跡相似，所以點(diǎn)C的軌跡就是圓），當(dāng)O、C、D共線時(shí)，OC的長最小，
設(shè)線段AB交⊙B于Q，
Rt△AOB中，OA＝3，OB＝3，
∴AB＝3，
∵⊙B的半徑為2，
∴BP1＝2，AP1＝3+2，
∵C1是AP1的中點(diǎn)，
∴AC1＝+1，AQ＝3﹣2，
∵C2是AQ的中點(diǎn)，
∴AC2＝C2Q＝﹣1，
C1C2＝+1﹣（﹣1）＝2，即⊙D的半徑為1，
∵AD＝﹣1+1＝＝AB，
∴OD＝AB＝，
∴OC＝﹣1，
方法二：如圖，取A′（0，﹣3），連接PA′．
根據(jù)三角形中位線定理可知：PA′＝2OC，求出PA′的最小值即可解決問題．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖形與坐標(biāo)的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短，確定出OC最小時(shí)點(diǎn)C的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．
8．如圖，直線AB經(jīng)過⊙O的圓心，與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC＝30度．點(diǎn)E是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O不重合），直線EC交⊙O于D，則使DE＝DO的點(diǎn)E共有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
分析：作出圖形，根據(jù)畫圖可知應(yīng)分E在AB的延長線上、在BA的延長線上、在線段AB上，三種情況來解決．
解：
如圖所示，點(diǎn)E的位置有3個(gè)．當(dāng)是E1時(shí)，∠CE1O＝10°；
當(dāng)是E2時(shí)，則∠CE20＝110°；
當(dāng)是E3時(shí)，則∠CE3O＝50°．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：此題根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到三種情況．
9．平面上不共線的四點(diǎn)，可以確定圓的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)或3個(gè)B．3個(gè)或4個(gè)
C．1個(gè)或3個(gè)或4個(gè)D．1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)或4個(gè)
分析：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．由于點(diǎn)的位置不同，導(dǎo)致確定的圓的個(gè)數(shù)不同，所以本題分三種不同情況考慮．
解：（1）當(dāng)四個(gè)點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在同一直線上，另外一個(gè)點(diǎn)不在這條直線上時(shí)，確定3個(gè)圓；
（2）當(dāng)四個(gè)點(diǎn)中任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，并且四點(diǎn)不共圓時(shí)，則任意三點(diǎn)都能確定一個(gè)圓，一共確定4個(gè)圓；
（3）當(dāng)四個(gè)點(diǎn)共圓時(shí)，只能確定一個(gè)圓．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的確定，由于點(diǎn)的位置不確定，因此用分類討論的思想方法進(jìn)行解答．
10．在半徑為0.5米的地球儀的表面之外，距赤道1米拉一根繩子繞地球儀一周，這條繩子比地球儀的赤道周長多M米；如果在地球赤道表面也這樣做，這條繩子比地球赤道周長多N米，則M與N的關(guān)系為 ① ．（①M(fèi)＝N；②M＞N；③M＜N；④無法確定）（填序號(hào)）
分析：根據(jù)圓的周長公式分別計(jì)算出M與N的值，從而得到M與N的大小關(guān)系．
解：因?yàn)榈厍騼x的半徑為0.5米，所以所拉繩子組成的環(huán)的半徑為0.5+1＝1.5米．
所以繩構(gòu)成的環(huán)的周長為：2π×1.5＝3π米，
又因?yàn)榈厍騼x赤道的周長為：2π×0.5＝π米，
所以這條繩子比地球儀赤道的周長多：3π﹣π＝2π米，即M＝2π；
設(shè)地球的半徑是r米，則增加后，圓的半徑是（r+1）米．
所以兩者周長的差為：2π（r+1）﹣2πr＝2π米，即N＝2π．
∴M＝N．
故答案為①．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的周長公式：圓的周長＝2π×圓的半徑．注意這里的M和N指的都是增加的周長．
11．已知⊙O的直徑為10，圓心O（4，5），則⊙O截y軸所得的弦長為 6 ．
分析：根據(jù)垂徑定理解答即可．
解：∵⊙O的直徑為10，
∴OA＝5，
∵OD＝4，
∴AD＝，
∴⊙O截y軸所得的弦長為6，
故答案為：6．
點(diǎn)評(píng)：此題考查垂徑定理問題，關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得出OD的長度．
12．如圖，AB是半圓O的直徑，AB＝8，C是半徑OA上的一動(dòng)點(diǎn)，CD⊥AB交⊙O于點(diǎn)D，在邊CB上取一點(diǎn)E，使得CE＝2CD．EF⊥AB交⊙O于點(diǎn)F．當(dāng)DF∥AB時(shí)，四邊形DCEF的周長為 12 ．
分析：證得四邊形DCEF是矩形，進(jìn)一步證得CD＝OC＝OE＝EF，解等腰直角三角形求得CD＝OC＝OE＝EF＝2，即可求得四邊形的面積．
解：如圖，連接OD，OF，
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∵DF∥AB，
∴四邊形DCEF是矩形，
∴DC＝EF，
在Rt△CDO和Rt△EFO中，
，
∴Rt△CDO≌Rt△EFO（HL），
∴OC＝OE，
∵CE＝2CD，
∴CD＝OC，
∵AB＝8，
∴OD＝4，
∴OC＝CD＝2，
∴CE＝4，
∴四邊形DCEF的周長＝12，
故答案為12．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理，勾股定理，證得OC＝OE是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，AC交⊙O于點(diǎn)E，∠BAC＝45°，給出下列五個(gè)結(jié)論：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ①②④ ．
分析：先利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABE、∠ABC的度數(shù)，即可求∠EBC的度數(shù)，再運(yùn)用弧、弦、圓心角的關(guān)系即可求出②④．
解：連接AD，AB是⊙O的直徑，則∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°，∠C＝∠ABC＝＝67.5°，AD平分∠BAC，
∴AE＝BE，∠EBC＝90°﹣67.5°＝22.5°，DB＝CD，故②正確，
∵∠ABE＝45°，∠EBC＝22.5°，故①正確，
∵AE＝BE，
∴＝，
又AD平分∠BAC，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍，④正確．
∵∠EBC＝22.5°，BE⊥CE，
∴BE＞2EC，
∴AE＞2EC，故③錯(cuò)誤．
∵∠BEC＝90°，
∴BC＞BE，
又∵AE＝BE，
∴BC＞AE
故⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①②④．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了：①等腰三角形的性質(zhì)；②圓周角定理；③三角形內(nèi)角和定理．
14．如圖，已知：AB和CD為⊙O的兩條直徑，弦CE∥AB，弧CE的度數(shù)為40°，則∠BOC＝ 70 度．
分析：利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可求出．
解：∵AB和CD為⊙O的兩條直徑，弧CE的度數(shù)為40°，
∴連接OE，則OE＝OC，
∠COE＝40°，
故∠1＝∠2＝（180°﹣∠COE）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠BOC＝∠1＝70°．
故填70°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，比較簡單．
15．如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，則⊙O的半徑為 6 ．
分析：根據(jù)一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形求解．
解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△BOC是等邊三角形
∴OB＝BC＝6，
故答案為6．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用圓周角定理以及等邊三角形的判定和性質(zhì)．
16．如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，則⊙O的半徑是 2 ．
分析：連接BC，由圓周角定理和垂徑定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性質(zhì)得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．
解：連接BC，如圖所示：
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝2，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半徑是2；
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理、圓周角定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比為4：3：5，則∠D的度數(shù)是 120 °．
分析：設(shè)∠A＝4x，∠B＝3x，∠C＝5x，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．
解：∵∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比為4：3：5，
∴設(shè)∠A＝4x，則∠B＝3x，∠C＝5x．
∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠B＝3x＝60°，
∴∠D＝180°﹣60°＝120°．
故答案為：120．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．
18．如圖，已知 A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標(biāo)為（﹣2，0），半徑為2．若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值是 2﹣ ．
分析：先根據(jù)當(dāng)AD與⊙C相切，且在x軸的上方時(shí)，△ABE的面積最小，連接CD，則CD⊥AD，再求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求出AD，從而得出S△ACD，再根據(jù)△AOE∽△ADC，求出△ABE的面積．
解：當(dāng)AD與⊙C相切，且在x軸的上方時(shí)，△ABE的面積最小，
連接CD，則CD⊥AD，
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0），（0，2），
在Rt△ACD中，CD＝2，AC＝OC+OA＝4，
由勾股定理，得：AD＝2，
∴S△ACD＝AD?CD＝×2×2＝2，
∵△AOE∽△ADC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△AOE＝S△ADC＝
∴S△ABE＝S△AOB﹣S△AOE＝×2×2﹣＝2﹣．
故答案為：2﹣．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是切線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，求出△ABE的面積的最大值和最小值．
19．在平面直角坐標(biāo)系中有A，B，C三點(diǎn)，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．現(xiàn)在要畫一個(gè)圓同時(shí)經(jīng)過這三點(diǎn)，則圓心坐標(biāo)為 （2，0） ．
分析：根據(jù)不在同一直線上的三點(diǎn)能確定一個(gè)圓，該圓圓心在三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，據(jù)此及勾股定理可列式求解．
解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直線上
∴經(jīng)過點(diǎn)A，B，C可以確定一個(gè)圓
∴該圓圓心必在線段AB的垂直平分線上
∴設(shè)圓心坐標(biāo)為M（2，m）
則點(diǎn)M在線段BC的垂直平分線上
∴MB＝MC
由勾股定理得：＝
∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1
∴m＝0
∴圓心坐標(biāo)為M（2，0）
故答案為：（2，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了確定圓的條件，明確不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓及圓心在這三條線段的垂直平分線的交點(diǎn)上，是解題的關(guān)鍵．
20．木工師傅可以用角尺測(cè)量并計(jì)算出圓的半徑r．用角尺的較短邊緊靠⊙O，角尺的頂點(diǎn)B（∠B＝90°），并使較長邊與⊙O相切于點(diǎn)C．
（1）如圖，AB＜r，較短邊AB＝8cm，讀得BC長為12cm，則該圓的半徑r為多少？
（2）如果AB＝8cm，假設(shè)角尺的邊BC足夠長，若讀得BC長為acm，則用含a的代數(shù)式表示r為 0＜r≤8時(shí)，r＝a；當(dāng)r＞8時(shí)，r＝a 2+4 ．
分析：（1）利用在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122，求出r即可．
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)，連接OC，則OC⊥BC，連接OA，過點(diǎn)A作AD⊥OC于點(diǎn)D，在Rt△OAD中用勾股定理計(jì)算求出圓的半徑．
解：（1）如圖1，連接OC、OA，作AD⊥OC，垂足為D．則OD＝r﹣8
在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122
解得：r＝13；
答：該圓的半徑r為13；
（2）①如圖2，易知，0＜r≤8時(shí)，r＝a；
②當(dāng)r＞8時(shí)，
如圖1：連接OC，連接OA，過點(diǎn)A作AD⊥OC于點(diǎn)D，
∵BC與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴OC⊥BC，
則四邊形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
即：r2＝（r﹣8）2+a2，
整理得：r＝a2+4．
故答案為：0＜r≤8時(shí)，r＝a；當(dāng)r＞8時(shí)，r＝a 2+4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的性質(zhì)，根據(jù)切線的性質(zhì)，利用圖形得到直角三角形，然后用勾股定理計(jì)算求出圓的半徑．
21．如圖，C，D為⊙O上兩點(diǎn)，且在直徑AB兩側(cè)，連結(jié)CD交AB于點(diǎn)E，G是上一點(diǎn)，∠ADC＝∠G．
（1）求證：∠1＝∠2．
（2）點(diǎn)C關(guān)于DG的對(duì)稱點(diǎn)為F，連結(jié)CF．當(dāng)點(diǎn)F落在直徑AB上時(shí)，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半徑．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理和AB為⊙O的直徑，即可證明∠1＝∠2；
（2）連接DF，根據(jù)垂徑定理可得FD＝FC＝10，再根據(jù)對(duì)稱性可得DC＝DF，進(jìn)而可得DE的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出⊙O的半徑．
解：（1）∵∠ADC＝∠G，
∴＝，
∵AB為⊙O的直徑，
∴＝，
∴∠1＝∠2；
（2）如圖，連接DF，
∵＝，AB是⊙O的直徑，
∴AB⊥CD，CE＝DE，
∴FD＝FC＝10，
∵點(diǎn)C，F(xiàn)關(guān)于DG對(duì)稱，
∴DC＝DF＝10，
∴DE＝5，
∵tan∠1＝，
∴EB＝DE?tan∠1＝2，
∵∠1＝∠2，
∴tan∠2＝，
∴AE＝＝，
∴AB＝AE+EB＝，
∴⊙O的半徑為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．
22．如圖，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A、C、D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥BC，交⊙O于點(diǎn)F．
求證：（1）四邊形DBCF是平行四邊形；
（2）AF＝EF．
分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠B，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根據(jù)平行線的判定得出BD∥CF，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可；
（2）求出∠AEF＝∠B，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ECF+∠EAF＝180°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可．
證明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四邊形DBCF是平行四邊形；
（2）連接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四邊形AECF是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，圓內(nèi)接四邊形，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
23．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長線分別交于點(diǎn)E、F．
（1）若∠E＝∠F時(shí)，求證：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°時(shí)，求∠A的度數(shù)；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．請(qǐng)你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大小．
分析：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等量代換即可求得結(jié)果；
（3）連結(jié)EF，如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ECD＝∠A，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ECD＝∠1+∠2，則∠A＝∠1+∠2，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，即2∠A+α+β＝180°，再解方程即可．
解：（1）∠E＝∠F，
∵∠DCE＝∠BCF，
∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ADC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°；
（3）連結(jié)EF，如圖，
∵四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠ECD＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，
∴2∠A+α+β＝180°，
∴∠A＝90°﹣．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．
24．如圖，A、P、B、C是⊙O上四點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）連接OA，OB，當(dāng)點(diǎn)P位于什么位置時(shí)，四邊形PBOA是菱形？并說明理由；
（3）已知PA＝a，PB＝b，求PC的長（用含a和b的式子表示）．
分析：（1）利用圓周角定理得到∠BAC＝∠CPB＝60°，則∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，從而可判斷△ABC為等邊三角形；
（2）當(dāng)點(diǎn)P位于 的中點(diǎn)時(shí)，四邊形PBOA是菱形，連接OP，如圖1，先證明∠AOP＝∠BOP＝60°，再證明△OAP和△OBP都為等邊三角形，從而得到四邊形PBOA是菱形；
（3）如圖2，在PC上截取PD＝PA，證明△APB≌△ADC得到PB＝DC，從而得到PC＝PD+DC＝PA+PB＝a+b．
（1）證明：∵∠BAC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC為等邊三角形；
（2）解：當(dāng)點(diǎn)P位于 的中點(diǎn)時(shí)，四邊形PBOA是菱形．
理由如下：連接OP，如圖1，
∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，
而P是的中點(diǎn)，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
又∵OA＝OP＝OB，
∴△OAP和△OBP都為等邊三角形，
∴OA＝AP＝OB＝PB，
∴四邊形PBOA是菱形；
（3）解：如圖2，在PC上截取PD＝PA，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴PA＝DA，∠DAP＝60°，
∵∠PAB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，
∴∠PAB＝∠DAC，
在△APB和△ADC中
，
∴△APB≌△ADC（ASA），
∴PB＝DC，
又∵PA＝PD，
∴PC＝PD+DC＝PA+PB＝a+b．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定．
25．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，BD為⊙O的直徑，過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，延長BD交AC延長線于點(diǎn)F．
（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半徑；
（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．
分析：（1）連接OA，求BE＝3，設(shè)OA＝x，則OB＝x，OE＝x﹣3，得出（x﹣3）2+42＝x2，易求出半徑；
（2）連接CD，先證OA⊥BC，再得OA∥CD，設(shè)OA與BC交于點(diǎn)H，OH＝a，則CD＝2a，OA＝4a，得出AH＝3a，由勾股定理得BH＝a，求出AB＝2a，則可得出sin∠ACB＝．
解：（1）如圖1，連接OA，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝4，AB＝5，
∴BE＝＝＝3，
設(shè)OA＝x，則OB＝x，
∴OE＝x﹣3，
在Rt△OAE中，OE2+AE2＝OA2，
∴（x﹣3）2+42＝x2，
解得x＝，
∴⊙O的半徑為；
（2）如圖2，連接CD，設(shè)OA與BC交于點(diǎn)H，
∵AB＝AC，
∴OA⊥BC，
∴∠BHO＝90°，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BHO＝∠BCD，
∴OA∥CD，
設(shè)OH＝a，則CD＝2a，
∵BD＝2DF，BD＝2OD，
∴DF＝OD，
∴OA＝2CD＝4a，
∴AH＝3a，
∴BH＝＝＝a，
∴AB＝＝2a，
∴sin∠ACB＝sin∠ABC＝＝＝

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