中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《相似三角形》知識要點(diǎn)及專題練習(xí)

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《相似三角形》知識要點(diǎn)及專題練習(xí)，共26頁。試卷主要包含了知識要點(diǎn)，課標(biāo)要求，常見考點(diǎn)，專題訓(xùn)練等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)課標(biāo)要求專題訓(xùn)練：相似三角形（含答案）
一、知識要點(diǎn)：
1、相似多邊形
定義1：形狀相同的圖形叫做相似圖形。
定義2：兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比。
性質(zhì)相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。
2、相似三角形的判定
定義：三個角分別相等，三條邊成比例的兩個三角形相似。
定理：平行線分線段成比例定理 兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。
推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例。
判定1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
判定2：三邊成比例的兩個三角形相似。
判定3：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。
判定4：兩角分別相等的兩個三角形相似。
3、相似三角形的性質(zhì)
相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；
相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；
相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比；
相似三角形周長的比等于相似比；
相似三角形面積的比等于相似比的平方。
4、位似圖形
定義：如果兩個圖形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心。這時的相似比又叫位似比。
二、課標(biāo)要求：
1、了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割。
2、通過具體實(shí)例認(rèn)識圖形的相似。了解相似多邊形和相似比。
3、掌握基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。
4、了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似。
5、了解相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方。
6、了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小。
7、會利用圖形的相似解決一些簡單的實(shí)際問題。
8、在直角坐標(biāo)系中，探索并了解將一個多邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)(有一個頂點(diǎn)為原點(diǎn)、有一條邊在橫坐標(biāo)軸上)分別擴(kuò)大或縮小相同倍數(shù)時所對應(yīng)的圖形與原圖形是位似的。
三、常見考點(diǎn)：
1、比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段。
2、相似多邊形的性質(zhì)。3、相似三角形的性質(zhì)及判定。
4、相似三角形的性質(zhì)和判定在幾何問題中的綜合運(yùn)用。5、位似圖形及坐標(biāo)的位似。
四、專題訓(xùn)練：
1．兩個相似三角形面積比是4：9，其中一個三角形的周長為18，則另一個三角形的周長是（　　）A．12 B．12或24 C．27 D．12或27
2．如圖，在△ABC中，AC＝4，D是AC上一點(diǎn)，AD＝1，M、N分別是BD、BC的中點(diǎn)，若∠ABD＝∠ACB，則的值是（　　）

A． B． C． D．
3．已知等腰△ABC的底角為75°，則下列三角形一定與△ABC相似的是（　　）
A．頂角為30°的等腰三角形 B．頂角為40°的等腰三角形
C．等邊三角形 D．頂角為75°的等腰三角形
4．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，連接DE并延長，與AC的延長線交于點(diǎn)F，且AD＝3BD，EF＝2DE，若CF＝2，則AF的長為（　?。?br />
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為AEFG，如圖所示．CD所在直線與AE、GF交于點(diǎn)H、I，CH＝IH．則線段HI的長度為（　?。?br />
A．3 B．2 C．5 D．
6．如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b與l1，l2，l3分別交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，若AB：BC＝2：3，EF＝6，則DE的長是（　?。?br />
A．8 B．9 C．4 D．10
7．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是對角線BD上的一點(diǎn)，且，連結(jié)CO并延長交AD于點(diǎn)E，若△COD的面積是2，則四邊形ABOE的面積是（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，下列三角形中不一定與△BCD相似的是（　?。?br />
A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE

9．如圖，△ABC的兩個頂點(diǎn)B、C均在第一象限，以點(diǎn)A（0，1）為位似中心，在y軸左側(cè)作△ABC的位似圖形△ADE，△ABC與△ADE的位似比為1：2．若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是m，則其對應(yīng)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是（　?。?br />
A． B．2m+3 C．﹣（2m+3） D．﹣2m+3
10．如圖，點(diǎn)A在⊙O上，BC為⊙O的直徑，AB＝8，AC＝6，D是的中點(diǎn)，CD與AB相交于點(diǎn)P，則CP的長為（　?。?br />
A． B．3 C． D．
11．如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，點(diǎn)E在BC上，AE⊥DE，DC＝1，BE＝3，BC＝5，則AB＝　 ?。?br />
12．生活中到處可見黃金分割的美．如圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時，使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近黃金比，可以增加視覺美感．若圖中b為2米，則a約為　 　米．


13．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，BE：EC＝1：2，AE與BD相交于F，則S△ADF：S△EBF＝　 ?。?br />

14．如圖，△ABC≌△DEF，AB＝AC＝5，BC＝EF＝6，點(diǎn)E在BC邊上運(yùn)動（不與端點(diǎn)重合），邊DE始終過點(diǎn)A，EF交AC于點(diǎn)G，當(dāng)△AEG是等腰三角形時，△AEG的面積是　 ?。?br />
15．已知（x，y，z均不為零），則＝　 　．
16．如圖，二次函數(shù)y＝﹣2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，在線段BC上有一動點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的平行線交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)M，若△CPN與△BPM相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　 　．

17．如圖，△ABC中，AB＝3，AC＝4，D是AB的中點(diǎn)，在邊AC上確定點(diǎn)E的位置，使得△ADE∽△ACB，則AE的長為　 ?。?br />

18．如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD：DC＝1：2，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長交BC于點(diǎn)E，若BE＝3，則EC的長為　 ?。?br />

19．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在BA的延長線上，ED＝EC，DE交AC于點(diǎn)F，則圖中與△AFE相似的三角形為　 ?。籄F的長為　 ?。?br />
20．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是的中點(diǎn)，連接AD，BD，BD與AC交于點(diǎn)E，請寫出圖中所有與△ADE相似的三角形　 　．

21．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．連接CD，若∠ACD＝∠B．
（1）求證：CD2＝DE?BC；
（2）若DE＝3，BC＝4，求的值．

22．如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P是BC邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），連接AP，過點(diǎn)P作PQ⊥AP交DC于點(diǎn)Q．
（1）求證：AB?CQ＝PB?PC；
（2）當(dāng)CQ最大時，求BP的長．

23．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC上一點(diǎn)，BD＝2，E、F分別是AB、AC邊上的動點(diǎn)，且∠EDF＝∠B．
（1）找出圖中與△BDE相似的三角形，并說明理由；
（2）是否存在這樣的位置，使DE⊥EF？若存在，求出BE的長；若不存在，說明理由．



24．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，C在AB的延長線上．
（1）求證：△CAD∽△CDB；
（2）若∠C＝30°，AC＝9，求△DBC的面積．




25．如圖，已知等邊△ABC的邊長為8，點(diǎn)M、N分別在AB、AC邊上，CN＝3．
（1）把△ABC沿MN折疊，使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A′落在AB邊上（如圖1），求折痕MN的長度；
（2）如圖2，若點(diǎn)P在BC上運(yùn)動，且始終保持∠MPN＝60°．
①請判斷△MBP和△PCN是否相似？并說明理由；
②當(dāng)點(diǎn)P在何位置時線段BM長度最大，并求出線段BM長度的最大值．


26．如圖1，已知△ABC、△DBE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DEB＝90°，BC＝2，E為BC的中點(diǎn)，將△DEB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜360°），如圖2，連接AD，CE．
（1）求證：△ADB∽△CEB．
（2）當(dāng)α＝60°時，求AD的值．
（3）當(dāng)A、D、E三點(diǎn)在同一直線上時，求CE的長．






27．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是圓上兩點(diǎn)，CD＝BD，過點(diǎn)D作AC的垂線分別交AC，AB延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AE＝3，sin∠EAF＝，求⊙O的半徑．


參考答案
1．解：∵兩個相似三角形面積比是4：9，
∴兩個相似三角形相似比是2：3，
∴兩個相似三角形周長比是2：3，
∵一個三角形的周長為18，設(shè)另一三角形周長為x，
∴18：x＝2：3或x：18＝2：3，
解得：x＝12或27，
∴另一個三角形的周長是12或27，故選：D．
2．解：∵M(jìn)、N分別是BD、BC的中點(diǎn)，
∴AM，AN分別是△ABD，△ABC的中線，
∵∠ABD＝∠ACB，∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AB＝2，
∴，故選：C．
3．解：∵等腰△ABC的底角為75°，
∴等腰△ABC的三角分別為30°，75°，75°，
∴一定與△ABC相似的是頂角為30°的等腰三角形，故選：A．
4．解：過點(diǎn)F作FG∥AB，交BC延長線于點(diǎn)G，
則△BED∽△GEF，
∴＝＝，即FG＝2BD，
∵AD＝3BD，
∴AB＝4BD，
∴AB＝2FG，
∵FG∥AB，
∴△ACB∽△FCG，
∴＝＝2，
∴AC＝2CF＝4，
∴AF＝AC+CF＝6，故選：B．

5．解：如圖，連接AI，AC，

∵以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為AEFG，
∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，
在Rt△AGI和Rt△ADI中，
，
∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL），
∴∠GAI＝∠DAI，
∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI，
∴∠IAH＝∠AID，
∴IH＝AH，
又∵IH＝HC，
∴IH＝HC＝AH，
∴∠IAC＝90°，
∴∠DAI+∠DAC＝90°，
又∵∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠DAI＝∠DCA，
又∵∠ADI＝∠ADC＝90°，
∴△ADI∽△CDA，
∴，
∴，
∴DI＝1，
∴CI＝ID+CD＝5，
∴IH＝IC＝，故選：D．
6．解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB：BC＝2：3，EF＝6，
∴＝，
∴DE＝4，故選：C．
7．解：∵，△COD的面積是2，
∴△BOC的面積為4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝2+4＝6，
∴△DOE∽△BOC，
∴＝（）2＝，
∴S△DOE＝1，
∴四邊形ABOE的面積＝6﹣1＝5，故選：C．
8．解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠DBC+∠C＝∠EAC+∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠EAC，
∴△ACE∽△BCD，
又∵∠ADF＝∠BDC＝90°，
∴△AFD∽△BCD，
∵∠FBE＝∠DBC，∠BEF＝∠BDC＝90°，
∴△BFE∽△BCD，
∴一定與△BCD相似的是△BFE，△AFD，△ACE，
故不一定與△BCD相似的是△BAE．故選：D．
9．解：設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為m，則A、C間的縱坐標(biāo)的長度為（m﹣1），
∵△ABC放大到原來的2倍得到△ADE，
∴E、A間的縱坐標(biāo)的長度為2（m﹣1），
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是﹣[2（m﹣1）﹣1]＝﹣（2m﹣3）＝﹣2m+3．故選：D．
10．解：如圖，過點(diǎn)P作PH⊥BC于H．

∵＝，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵BC是直徑，
∴∠BAC＝90°，
∴PA⊥AC，
∵PH⊥BC，
∴PA＝PH，
在Rt△PCA和Rt△PCH中，
，
∴Rt△PCA≌Rt△PCH（HL），
∴AC＝CH＝6，
∵BC＝＝＝10，
∴BH＝4，
設(shè)PA＝PH＝x，則PB＝8﹣x，
在Rt△PBH中，∵PB2＝PH2+BH2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴PA＝3，
∴CP＝＝＝3，故選：B．
11．解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴AB＝6，
故答案為：6．
12．解：∵雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近黃金比，
∴＝，
∴a＝b＝×2＝（﹣1）米，
故答案為：（﹣1）．
13．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∵BE：EC＝1：2，
∴BE：BC＝1：3，
∴BE：AD＝1：3，
∴AD：BE＝3：1，
∴S△ADF：S△EBF＝32：12＝9．
故答案為：9．
14．解：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AGE＞∠C，
∴∠AGE＞∠AEF，
∴AE≠AG；
當(dāng)AE＝EG時，則△ABE≌△ECG，
∴CE＝AB＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1，
過點(diǎn)AM⊥BC于點(diǎn)M，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝3，
∴AM＝＝＝4，
∴S△ABE＝S△CEG＝×1×4＝2，
∴S△AEG＝S△ABC﹣2S△ABE＝×6×4﹣2×2＝8，
當(dāng)AG＝EG時，則∠GAE＝∠GEA，
∴∠GAE+∠BAE＝∠GEA+∠CEG，
即∠CAB＝∠CEA，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴，
∴CE＝＝，
∴BE＝6﹣＝，
∵∠CEG＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECG，
∴，
∴CG＝，
∴AG＝5﹣＝，
∵∠EAG＝∠AEG＝∠B＝∠C，
∴△GAE∽△ABC，
∴＝，
∴S△EAG＝×12＝．
故答案為：8或．
15．解：∵（x，y，z均不為零），
∴設(shè)x＝6k，則y＝4k，z＝3k，
∴＝＝＝．
故答案為：．
16．解：對于拋物線y＝﹣2，令x＝0，得到y(tǒng)＝﹣2，可得C（0，﹣2），
令y＝0，可得0＝﹣2，解得x＝3或﹣，
∴A（﹣，0），B（3，0），
∴直線BC的解析式為y＝x﹣2，
設(shè)P（m，m﹣2），
∵∠BPM＝∠CPN，
當(dāng)CN∥AB時，∠PBM＝∠PCN，此時△PCN∽△PBM，N（，﹣2），
∴P（，﹣），
當(dāng)NC⊥BC時，∠PCN＝∠PMB＝90°，此時△PCN∽△PMB，
過點(diǎn)N作NH⊥y軸于H．
∵N（m，m2﹣m﹣2），
∵∠OCB+∠NCH＝90°，∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝∠NCH，
∴tan∠NCH＝tan∠OBC，
∴＝＝，
∴＝，
∴m＝，
∴P（，﹣），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣），
故答案為：（，﹣）或（，﹣）．

17．解：∵AB＝3，D是AB的中點(diǎn)，
∴AD＝AB＝，
當(dāng)△ADE∽△ACB時，
則AE：AB＝AD：AC，
即AE：3＝：4，
∴AE＝，
故答案為：．
18．解：過D點(diǎn)作DF∥CE交AE于F，如圖，
∵DF∥BE，
∴＝，
∵O是BD的中點(diǎn)，
∴OB＝OD，
∴DF＝BE＝3，
∵DF∥CE，
∴＝，
∵AD：DC＝1：2，
∴AD：AC＝1：3，
∴＝，
∴CE＝3DF＝3×3＝9．
故答案為9．

19．解：（1）∵AB＝AC，ED＝EC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，
∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠ECD＝∠ACB+∠ACE
∴∠ECA＝∠FEA，
∵∠FAE＝∠EAC，
∴△AFE∽△AEC．

（2）如圖，作EG⊥CD交CD于點(diǎn)G，
∵ED＝EC，
∴，
∵AD∥EG，
∴，
∴＝2，
解得，
∵△AFE∽△AEC，
∴，
∴＝，
解得．
故答案為：．

20．解：∵＝，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠DAE＝∠DBC，
∴∠DAE＝∠ABD，
∵∠ADE＝∠ADB，
∴△ADE∽△BDA，
∵∠DAE＝∠EBC，∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
故答案為：△CBE，△BDA．
21．（1）證明：∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
又∵∠ACD＝∠B，
∴△DEC∽△CDB，
∴，
∴CD2＝DE?BC；
（2）解：∵CD2＝DE?BC，DE＝3，BC＝4，
∴CD2＝12，
∴CD＝2（負(fù)值舍去），
∵△DEC∽△CDB，
∴，
∴，
∵DE∥BC，
∴．
22．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°
∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠QPC，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴AB?CQ＝PB?PC；
（2）解：設(shè)BP＝x，CQ＝y(tǒng)，由（1）得2y＝x（2﹣x），
∴，
∵，開口向下，對稱軸是x＝1，且x的范圍是0≤x≤2，
∴當(dāng)x＝1時，y有最大值為，即當(dāng)CQ最大時，BP＝1．
23．解：（1）△CFD∽△BDE，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B，
∴∠FDC＝∠BED，
∴△CFD∽△BDE；
（2）存在．理由如下：
如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，

∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝BC＝×6＝3，
∵∠DEF＝∠AHB＝90°，∠EDF＝∠B，
∴△ABH∽△FDE，
∴DE：BH＝DF：AB，
∴DE：3＝DF：5，
∴DE：DF＝3：5，
∵△CFD∽△BDE，
∴BE：CD＝DE：DF＝3：5，
∵BD＝2，BC＝6，
∴CD＝4，
∴BE：4＝3：5，
∴BE＝．
24．（1）證明：如圖，連接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠ABD，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠ODC＝90°，
∴∠ODB+∠CDB＝90°，
∵AB 是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝∠CDB，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CDB；
（2）解：∵∠ODC＝90°，∠C＝30°，
∴OC＝2OD，
∵AB是⊙O的直徑，AC＝9，
∴OA＝OB＝OD＝BC＝AC＝3，
由（1）得：△CAD∽△CDB，
∴CD：CB＝CA：CD，
∴CD2＝CB×CA＝3×9＝27，
∴CD＝＝3，
∴△OCD的面積＝OD×CD＝×3×3＝，
又∵BC＝OB，
∴△DBC＝面積＝△OCD的面積＝．

25．解：（1）∵等邊△ABC的邊長為8，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
∵CN＝3，
∴AN＝5，
∵把△ABC沿MN折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'恰好落在AB邊上，
∴∠NMA＝90°，
∴sinA＝，
∴MN＝AN?sin60°＝；
（2）①∵∠MPN＝60°，
∴∠MPB+∠NPC＝120°，
∴∠NPC＝∠BMP，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△MBP∽△PCN；
②設(shè)BP＝x，BM＝y(tǒng)，則PC＝8﹣x，
∵△MBP∽△PCN，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)x＝4時，y最大值為，
因此，當(dāng)點(diǎn)P位于BC的中點(diǎn)時，線段BM長度最大值為．
26．（1）證明：在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴，
同理：∠DBE＝45°，，
∴，
∵∠ABC＝∠EBD，
∴∠ACB﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，
∴∠CBE＝∠ABD，
∴△ADB∽△CEB；
（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)前，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BE＝BC＝1，
在Rt△ABC中，AB＝＝2

取BC的中點(diǎn)，連接EF，
∴BF＝BC＝1，
∴BF＝BE，
由旋轉(zhuǎn)知，∠CBE＝60°，
∴△BEF是等邊三角形，
∴∠BFE＝60°，EF＝BF＝CF，
∴∠BCE＝30°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴CE＝＝，
由（1）知，△ADB∽△CEB，
∴，
∴AD＝＝＝；
（3）①當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時，如圖3，

∵∠BED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得，AE＝＝＝，
在Rt△BED中，DE＝BE＝1，
∴AD＝AE+DE＝+1，
由（1）知，△ADB∽△CEB，
∴，
∴CE＝＝＝；
②當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長線上，如圖4，

同①的方法得，AE＝，
∴AD＝AE﹣DE＝﹣1，
由（1）知，△ADB∽△CEB，
∴，
∴CE＝＝＝，
即：滿足條件的CE長為或．
27．（1）證明：連接OD，AD，

∵CD＝BD，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵AE⊥ED，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠ADO+∠EDA＝90°，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，
∴sin∠EAF＝，
∵sin∠EAF＝，
設(shè)EF＝4k，AF＝5k（k＞0），則AE＝3k，
∵AE＝3，
∴k＝1，
∴AF＝5，
∵EF⊥OD，EF⊥AE，
∴OD∥AE，
∴△FOD∽△FAE，
∴，
∴，
∴r＝