2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1～8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).1．（3分）在拋物線上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為　　A． B． C． D．2．（3分）在半徑為的圓中，的圓心角所對(duì)弧的弧長(zhǎng)是　　A． B． C． D．3．（3分）將拋物線先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的解析式為　　A． B． C． D．4．（3分）2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個(gè)國(guó)家曾發(fā)行過(guò)紫禁城元素的郵品．圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開(kāi)的紫禁城大門(mén)和大門(mén)內(nèi)的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門(mén)的門(mén)框并畫(huà)出相關(guān)的幾何圖形（圖，我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素（忽略誤差），圖2中的四邊形與四邊形是位似圖形，點(diǎn)是位似中心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的是　　A．四邊形與四邊形的相似比為 B．四邊形與四邊形的相似比為 C．四邊形與四邊形的周長(zhǎng)比為 D．四邊形與四邊形的面積比為5．（3分）如圖，是的直徑，是弦，若，則等于　　A． B． C． D．6．（3分）若拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為　　A． B． C． D．7．（3分）近年來(lái)我國(guó)無(wú)人機(jī)產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展，無(wú)人機(jī)駕駛員已正式成為國(guó)家認(rèn)可的新職業(yè)，中國(guó)民用航空局的現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從2017年底至2019年底，全國(guó)擁有民航局頒發(fā)的民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)已由約2.44萬(wàn)人增加到約6.72萬(wàn)人．若設(shè)2017年底至2019年底，全國(guó)擁有民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為，則可列出關(guān)于的方程為　　A． B． C． D．8．（3分）現(xiàn)有函數(shù)如果對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A． B． C． D．二、填空題（本題共24分，每小題3分）9．（3分）若正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則它的外接圓的半徑是 　　．10．（3分）若拋物線經(jīng)過(guò)，則該拋物線的解析式為　　．11．（3分）如圖，在中，，，，則　　．12．（3分）若拋物線的示意圖如圖所示，則　　0，　　0，　　0（填“”，“ ”或“” ．13．（3分）如圖，為的直徑，，是弦，于點(diǎn)，若，則　　．14．（3分）如圖，，是的兩條切線，，為切點(diǎn)，若，，則　　．15．（3分）放縮尺是一種繪圖工具，它能把圖形放大或縮小．制作：把鉆有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分別在點(diǎn)，，，處連接起來(lái)，使得直尺可以繞著這些點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，為固定點(diǎn)，，，在點(diǎn)，處分別裝上畫(huà)筆．畫(huà)圖：現(xiàn)有一圖形，畫(huà)圖時(shí)固定點(diǎn)，控制點(diǎn)處的筆尖沿圖形的輪廓線移動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)處的畫(huà)筆便畫(huà)出了將圖形放大后的圖形．原理：若連接，，可證得以下結(jié)論：①和為等腰三角形，則，　　；②四邊形為平行四邊形（理由是　　；③，于是可得，，三點(diǎn)在一條直線上；④當(dāng)時(shí)，圖形是以點(diǎn)為位似中心，把圖形放大為原來(lái)的　　倍得到的．三、解答題（本題共52分，第17、18、20～22題每小題5分，第19題6分，第23～25題每小題5分）17．（5分）計(jì)算：．18．（5分）已知關(guān)于的方程．（1）如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（2）若，求該方程的根．19．（6分）借助網(wǎng)格畫(huà)圖并說(shuō)理：如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，的三個(gè)頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，點(diǎn)在邊的上方，于點(diǎn)，，，．以為直徑作，射線交于點(diǎn)，連接，．（1）補(bǔ)全圖形；（2）填空：　　，理由是　　；（3）判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；（4）　　（填“”，“ ”或“” ．20．（5分）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為．（1）求該二次函數(shù)的解析式并畫(huà)出它的圖象；（2）直線與拋物線和直線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)位于點(diǎn)的上方，結(jié)合函數(shù)的圖象直接寫(xiě)出的取值范圍．21．（5分）如圖，為的直徑，為弦，點(diǎn)在外，，交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，，求的長(zhǎng)．22．（5分）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上，，為邊的中點(diǎn)．將正方形截去一個(gè)角后得到一個(gè)五邊形，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)可與點(diǎn)，點(diǎn)重合），作矩形，其中，兩點(diǎn)分別在，邊上．設(shè)，矩形的面積為．（1）　　（用含的式子表示），的取值范圍是　　；（2）求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）要使矩形的面積最大，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求最大面積．23．（7分）已知拋物線．（1）直接寫(xiě)出該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，以及拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知該拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．①若，判斷與的大小關(guān)系并說(shuō)明理由；②若，兩點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，且，直接寫(xiě)出的取值范圍．24．（7分）在中，，，．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，點(diǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)時(shí)，　　，　　；（2）當(dāng)線段與線段有交點(diǎn)時(shí)，記交點(diǎn)為點(diǎn)．①在圖2中補(bǔ)全圖形，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；②連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)的取值范圍．25．（7分）對(duì)于平面內(nèi)的圖形和圖形，記平面內(nèi)一點(diǎn)到圖形上各點(diǎn)的最短距離為，點(diǎn)到圖形上各點(diǎn)的最短距離為，若，就稱(chēng)點(diǎn)是圖形和圖形的一個(gè)“等距點(diǎn)”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，．（1）在，，三點(diǎn)中，點(diǎn)和點(diǎn)的等距點(diǎn)是　　；（2）已知直線．①若點(diǎn)和直線的等距點(diǎn)在軸上，則該等距點(diǎn)的坐標(biāo)為　　；②若直線上存在點(diǎn)和直線的等距點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）記直線為直線，直線，以原點(diǎn)為圓心作半徑為的．若上有個(gè)直線和直線的等距點(diǎn)，以及個(gè)直線和軸的等距點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1～8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).1．（3分）在拋物線上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為　　A． B． C． D．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，因此不在拋物線，當(dāng)時(shí)，，因此不在拋物線上，當(dāng)時(shí)，，因此不在拋物線上，當(dāng)時(shí)，，因此在拋物線上，故選：．2．（3分）在半徑為的圓中，的圓心角所對(duì)弧的弧長(zhǎng)是　　A． B． C． D．【解答】解：弧長(zhǎng)為：．故選：．3．（3分）將拋物線先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的解析式為　　A． B． C． D．【解答】解：將拋物線先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得：；再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得：，故選：．4．（3分）2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個(gè)國(guó)家曾發(fā)行過(guò)紫禁城元素的郵品．圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開(kāi)的紫禁城大門(mén)和大門(mén)內(nèi)的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門(mén)的門(mén)框并畫(huà)出相關(guān)的幾何圖形（圖，我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素（忽略誤差），圖2中的四邊形與四邊形是位似圖形，點(diǎn)是位似中心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的是　　A．四邊形與四邊形的相似比為 B．四邊形與四邊形的相似比為 C．四邊形與四邊形的周長(zhǎng)比為 D．四邊形與四邊形的面積比為【解答】解：四邊形與四邊形是位似圖形，點(diǎn)是位似中心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，四邊形與四邊形的相似比為，周長(zhǎng)的比為，面積比為．故選：．5．（3分）如圖，是的直徑，是弦，若，則等于　　A． B． C． D．【解答】解：是的直徑，，，，，，故選：．6．（3分）若拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為　　A． B． C． D．【解答】解：拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線，故選：．7．（3分）近年來(lái)我國(guó)無(wú)人機(jī)產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展，無(wú)人機(jī)駕駛員已正式成為國(guó)家認(rèn)可的新職業(yè)，中國(guó)民用航空局的現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從2017年底至2019年底，全國(guó)擁有民航局頒發(fā)的民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)已由約2.44萬(wàn)人增加到約6.72萬(wàn)人．若設(shè)2017年底至2019年底，全國(guó)擁有民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為，則可列出關(guān)于的方程為　　A． B． C． D．【解答】解：設(shè)2017年底至2019年底，全國(guó)擁有民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為，則可列出關(guān)于的方程為，故選：．8．（3分）現(xiàn)有函數(shù)如果對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A． B． C． D．【解答】解：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)，故選：．二、填空題（本題共24分，每小題3分）9．（3分）若正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則它的外接圓的半徑是 　2　．【解答】解：如圖所示，連接、；此六邊形是正六邊形，，，是等邊三角形，．故答案為：2．10．（3分）若拋物線經(jīng)過(guò)，則該拋物線的解析式為　　．【解答】解：把代入中，得，解得，所以該拋物線的解析式為．故答案為：．11．（3分）如圖，在中，，，，則　　．【解答】解：在中，，，，則，故答案為：．12．（3分）若拋物線的示意圖如圖所示，則　　0，　　0，　　0（填“”，“ ”或“” ．【解答】解：拋物線開(kāi)口方向向上，，對(duì)稱(chēng)軸在軸的右側(cè)，，拋物線與軸交于負(fù)半軸，．故答案為，，．13．（3分）如圖，為的直徑，，是弦，于點(diǎn)，若，則　1　．【解答】解：連接，如圖所示：弦于點(diǎn)，，，在中，，，，，，故答案為：1．14．（3分）如圖，，是的兩條切線，，為切點(diǎn)，若，，則　　．【解答】解：、是的兩條切線，，，，．，．故答案是：．15．（3分）放縮尺是一種繪圖工具，它能把圖形放大或縮?。?/span>制作：把鉆有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分別在點(diǎn)，，，處連接起來(lái)，使得直尺可以繞著這些點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，為固定點(diǎn)，，，在點(diǎn)，處分別裝上畫(huà)筆．畫(huà)圖：現(xiàn)有一圖形，畫(huà)圖時(shí)固定點(diǎn)，控制點(diǎn)處的筆尖沿圖形的輪廓線移動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)處的畫(huà)筆便畫(huà)出了將圖形放大后的圖形．原理：若連接，，可證得以下結(jié)論：①和為等腰三角形，則，　　；②四邊形為平行四邊形（理由是　　；③，于是可得，，三點(diǎn)在一條直線上；④當(dāng)時(shí)，圖形是以點(diǎn)為位似中心，把圖形放大為原來(lái)的　　倍得到的．【解答】解：①和為等腰三角形，，；②，，四邊形為平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）；③連接，，，，，三點(diǎn)在一條直線上；④，設(shè)，，四邊形是平行四邊形，，，，圖形是以點(diǎn)為位似中心，把圖形放大為原來(lái)的，故答案為：；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；．三、解答題（本題共52分，第17、18、20～22題每小題5分，第19題6分，第23～25題每小題5分）17．（5分）計(jì)算：．【解答】解：原式．18．（5分）已知關(guān)于的方程．（1）如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（2）若，求該方程的根．【解答】解：（1）△．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，△．，解得；（2）當(dāng)時(shí)，原方程化為，，或，解得，．19．（6分）借助網(wǎng)格畫(huà)圖并說(shuō)理：如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，的三個(gè)頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，點(diǎn)在邊的上方，于點(diǎn)，，，．以為直徑作，射線交于點(diǎn)，連接，．（1）補(bǔ)全圖形；（2）填空：　90　，理由是　　；（3）判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；（4）　　（填“”，“ ”或“” ．【解答】解：（1）補(bǔ)全圖形見(jiàn)圖1． （2）是直徑，（直徑所對(duì)的圓周角是直角）．故答案為：90，直徑所對(duì)的圓周角是直角． （3）點(diǎn)在外．理由如下：連接．，，，．，，在中，，，．，，點(diǎn)在外． （4）觀察圖像可知：．故答案為：．20．（5分）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為．（1）求該二次函數(shù)的解析式并畫(huà)出它的圖象；（2）直線與拋物線和直線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)位于點(diǎn)的上方，結(jié)合函數(shù)的圖象直接寫(xiě)出的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為，二次函數(shù)的解析式可設(shè)為，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．解得．該二次函數(shù)的解析式為；如圖，（2）由圖象可得或．21．（5分）如圖，為的直徑，為弦，點(diǎn)在外，，交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖，連接．為的直徑，為弦，，．，．，．．．．為的半徑，是的切線；（2）解：，，．在中，，，．．．在中，，，，．．22．（5分）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上，，為邊的中點(diǎn)．將正方形截去一個(gè)角后得到一個(gè)五邊形，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)可與點(diǎn)，點(diǎn)重合），作矩形，其中，兩點(diǎn)分別在，邊上．設(shè)，矩形的面積為．（1）　　（用含的式子表示），的取值范圍是　　；（2）求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）要使矩形的面積最大，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求最大面積．【解答】解：（1）正方形的邊長(zhǎng)為4，，，，其中．故答案是：，； （2）如圖，延長(zhǎng)交于，正方形的邊長(zhǎng)為4，為邊的中點(diǎn)，四邊形是矩形，，，，，，，，，，即．，，，其中． （3）由（2）知，，，此拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，即，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．的取值范圍為，當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)最大面積為12．23．（7分）已知拋物線．（1）直接寫(xiě)出該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，以及拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知該拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．①若，判斷與的大小關(guān)系并說(shuō)明理由；②若，兩點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，且，直接寫(xiě)出的取值范圍．【解答】解：（1），對(duì)稱(chēng)軸為直線，令，則，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，（2），，．①當(dāng)時(shí)，，，．，兩點(diǎn)都在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，且，拋物線開(kāi)口向下，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，隨的增大而增大．；②若點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸直線的左側(cè)，點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸直線的右側(cè)時(shí)，由題意可得，不等式組無(wú)解，若點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸直線的左側(cè)，點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸直線的右側(cè)時(shí)，由題意可得：，，綜上所述：．24．（7分）在中，，，．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，點(diǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)時(shí)，　60　，　　；（2）當(dāng)線段與線段有交點(diǎn)時(shí)，記交點(diǎn)為點(diǎn)．①在圖2中補(bǔ)全圖形，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；②連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)的取值范圍．【解答】解：（1），，，，，，，，是等邊三角形，，．故答案為：60，2． （2）①補(bǔ)全圖形如圖所示：結(jié)論：．理由：如圖2，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，記．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，，，．．，．．．．．．在和△中，，△，． ②如圖1中，當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為．當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值，．25．（7分）對(duì)于平面內(nèi)的圖形和圖形，記平面內(nèi)一點(diǎn)到圖形上各點(diǎn)的最短距離為，點(diǎn)到圖形上各點(diǎn)的最短距離為，若，就稱(chēng)點(diǎn)是圖形和圖形的一個(gè)“等距點(diǎn)”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，．（1）在，，三點(diǎn)中，點(diǎn)和點(diǎn)的等距點(diǎn)是　　；（2）已知直線．①若點(diǎn)和直線的等距點(diǎn)在軸上，則該等距點(diǎn)的坐標(biāo)為　　；②若直線上存在點(diǎn)和直線的等距點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）記直線為直線，直線，以原點(diǎn)為圓心作半徑為的．若上有個(gè)直線和直線的等距點(diǎn)，以及個(gè)直線和軸的等距點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【解答】解：（1）點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)和點(diǎn)的等距點(diǎn)是，故答案為：；（2）①設(shè)等距點(diǎn)的坐標(biāo)為，，或8，等距點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故答案為：或；②如圖1，設(shè)直線上的點(diǎn)為點(diǎn)相直線的等距點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)和直線的等距點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．整理得，由題意得關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根．△．解得；（3）如圖2，直線和直線的等距點(diǎn)在直線上．直線和軸的等距點(diǎn)在直線或上．由題意得或．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2021/12/8 12:40:05；用戶：初中數(shù)學(xué)1；郵箱：jse032@xyh.com；學(xué)號(hào)：39024122

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