2020-2021學(xué)年1.2 任意的三角函數(shù)教案

這是一份2020-2021學(xué)年1.2 任意的三角函數(shù)教案，共6頁(yè)。
科目數(shù)學(xué)課題  任意角的三角函數(shù)教材分析重點(diǎn)1．  任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)）；2．  終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）。難點(diǎn)1．任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)）；2．正弦、余弦、正切這三種三角函數(shù)的幾何表示。關(guān)鍵點(diǎn)1．  使學(xué)生掌握單位圓的概念；2．  了解三種線(xiàn)段的正、負(fù)與坐標(biāo)軸的正、負(fù)方向之間的對(duì)應(yīng)；3．  這三種有向線(xiàn)段（的數(shù)量）與三種三角函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)。教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)1．  掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)），理解余切、正割、余割的定義；2．  了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段，將任意角α的正弦、余弦、正切、函數(shù)值分別用正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)表示出來(lái)；3．  掌握并能初步運(yùn)用公式一。能力目標(biāo)樹(shù)立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)。情感目標(biāo)  課時(shí)安排2課時(shí)教法啟發(fā)式教學(xué)教學(xué)設(shè)備 教與學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)具體見(jiàn)下教學(xué)后記應(yīng)簡(jiǎn)略的介紹正弦、余弦函數(shù)的取值范圍，為以后作準(zhǔn)備。 教與學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)第一課時(shí) 任意角的三角函數(shù)（一）（一）新課引入提問(wèn)：銳角O的正弦、余弦、正切、余切怎樣表示？答：根據(jù)圖形，手勢(shì)比劃。引入：銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。如果現(xiàn)在要求的值，怎么辦？還能不能用直角三角形來(lái)求？顯然，不能再用初中的定義，因?yàn)椋@里沒(méi)有直角三角形，也就沒(méi)有什么對(duì)邊、鄰邊和斜邊。那么，我們應(yīng)該如何對(duì)初中的三角函數(shù)的定義進(jìn)行修改，以利推廣到任意角呢？ （二）新課1．任意角的三角函數(shù)的定義在上述三角形上畫(huà)上直角坐標(biāo)系。此時(shí)，∠POM的對(duì)邊，鄰邊分別是什么？斜邊呢？將P點(diǎn)改寫(xiě)成坐標(biāo)形式，P的坐標(biāo)是（x，y），它與原點(diǎn)的距離是），然后寫(xiě)出三個(gè)三角函數(shù)的定義。我們定義：（1）比值叫做α的正弦，記做sinα即 sinα=；（2）比值叫做α的余弦，記做cosα即 cosα=；（3）比值叫做α的正切，記做tanα  即 tanα=.說(shuō)明：這樣定義以后，（1）當(dāng)α是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同。（指出對(duì)邊，鄰邊，斜邊所在）（2）當(dāng)α不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)椋热挥薪?，就必然有終邊，就必然可以在終邊上取點(diǎn)P（x，y），從而就必然能夠算出P到原點(diǎn)的距離r，最終就可算出三角函數(shù)。(用第三象限角示范，可能避免尋找對(duì)邊的誤區(qū))所以現(xiàn)在大家可以完全拋開(kāi)對(duì)邊、鄰邊、斜邊的概念，用我們現(xiàn)在新的坐標(biāo)定義來(lái)研究三角函數(shù)。（3）注意，三角函數(shù)的值與點(diǎn)P在終邊上的位置無(wú)關(guān)，（可在銳角的情形下任取兩點(diǎn)P和P/，由三角形的相似形知各類(lèi)比值不變）。追問(wèn)：那三角函數(shù)的值與什么有關(guān)？答：僅與角的大小有關(guān)。（可考察30度角和45度角的三角函數(shù)值）所以，三角函數(shù)是角的函數(shù)，又因?yàn)榻桥c實(shí)數(shù)成一一對(duì)應(yīng)，故三角函數(shù)也是實(shí)數(shù)的函數(shù)。例1  已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，-3）（如圖），問(wèn)角α為第幾象限角？并求α的三個(gè)三角函數(shù)值。注意：體會(huì)三角函數(shù)的符號(hào)（問(wèn)為什么會(huì)出現(xiàn)負(fù)號(hào)？）并說(shuō)明三角函數(shù)值不一定是正的。練習(xí)1 已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，-1），說(shuō)出角α在什么象限，并求出角α的三個(gè)三角函數(shù)值。處理：A、學(xué)生練習(xí)。B、練習(xí)講評(píng)后問(wèn)，若角α滿(mǎn)足0~360°，則此題的角α是多少度？（答225°）除正弦、余弦、正切三種三角函數(shù)外，下面再介紹三種三角函數(shù)。（以與前三種三角函數(shù)的倒數(shù)關(guān)系來(lái)說(shuō)明）（4）比值叫做α的余切，記作cotα，即cotα=；（5）比值叫做α的正割，記作secα，即secα=；（6）比值叫做α的余割，記作cscα，即cscα=.師：以上六種函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)。不過(guò)，在實(shí)際操作過(guò)程中，我們更多的是運(yùn)用前面三種三角函數(shù)，因此大家著重掌握前三種三角函數(shù)。練習(xí)2 求出例1、練習(xí)1的另外三個(gè)三角函數(shù)值。練習(xí)3 P19練習(xí)1 三角函數(shù)的符號(hào)（1）       從剛才的例題和練習(xí)中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)并不永遠(yuǎn)為正值，那么，何時(shí)為正？何時(shí)為負(fù)？為什么？（2）       畫(huà)直角坐標(biāo)系，先復(fù)習(xí)各象限的點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)的符號(hào)。（3）       教師示范寫(xiě)出正弦的符號(hào)。（4）       師生共同寫(xiě)出余弦的符號(hào)。（5）       學(xué)生寫(xiě)出其余正切函數(shù)的符號(hào)。（6）       要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記憶。（7）       其余三種三角函數(shù)值是這三種的倒數(shù)，故符號(hào)相對(duì)應(yīng)一致。（8）  例2  P18，例3  確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)（1）cos2500； （2）sin(-)； （3）tan(-6720)； （4）tan處理：教師示范（1），學(xué)生嘗試其余，然后校對(duì)。（9）練習(xí)：P19，T3，4處理：T3口答，T4板演。例3     求下列各角的六個(gè)三角函數(shù)值：（1）0；  （2）；  （3）處理：師生共解，教師板演。說(shuō)明：熟悉三角函數(shù)定義，并由此引出對(duì)三角函數(shù)定義域的探討。3．三角函數(shù)的定義域（1）三角函數(shù)既然是函數(shù)，那么就要考慮其定義域，請(qǐng)對(duì)照三角函數(shù)的定義，考慮其定義域。（2）教師示范考慮正弦，學(xué)生考慮余弦。（3）學(xué)生討論正切，教師予以評(píng)價(jià)。（4）學(xué)生獨(dú)立考慮余切，正割，余割。（5）教師列表總結(jié)。要求學(xué)生結(jié)合定義與角的位置予以記憶。例4   求證角β為第三象限角的充分必要條件是練習(xí)：P19第5（1）（3）題（口答）4．誘導(dǎo)公式一問(wèn)題：求sin3900,sin(-3300)的值。根據(jù)三角函數(shù)定義，在坐標(biāo)系內(nèi)分析得到，它們的值與sin300的值相等。追問(wèn)：什么原因使這三個(gè)值相等？（終邊相同）師：那我們可以猜想至少還有哪些角與sin300,sin3900,sin(-3300)的值相等，隨便舉兩個(gè)。很好，現(xiàn)在大家是不是可以自己得出某一個(gè)結(jié)論？       sin(300+k*3600)=sin300（k∈Z）推廣：得出誘導(dǎo)公式一追問(wèn)：能將此公式用文字語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)嗎？（終邊相同的同一三角函數(shù)的值相等）師：可不可以將此公式用弧度制表示？注意：三角函數(shù)里，共有五組誘導(dǎo)公式，這是第一組，它們的主要作用是將任意角的三角函數(shù)化簡(jiǎn)到00～3600的三角函數(shù)。  例5  P19  例5 求下列三角函數(shù)值：（1）sin1480010’；（2）cos；（3）tan(-)練習(xí)4 P19  練習(xí)6（三）小結(jié)1．  六個(gè)三角函數(shù)的定義；2．  三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)；3．  三角函數(shù)的定義域；4．  終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，即誘導(dǎo)公式一。（四）作業(yè)1．課本P20 習(xí)題4.3 第3，4，5，6，7，8，10題2．預(yù)習(xí)三角函數(shù)的幾何表示                                第二課時(shí) 任意角的三角函數(shù)（二）（一）復(fù)習(xí)引入1、   三角函數(shù)的定義。（豎著書(shū)寫(xiě)，為后面的定義域留下空間）2、   三角函數(shù)在各象限角的符號(hào)。（在坐標(biāo)平面上口答）3、   三角函數(shù)在軸上角的值。（在坐標(biāo)平面上口答）4、   誘導(dǎo)公式（一）：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等。（板書(shū)）5、   三角函數(shù)的定義域。要求：記憶。并指出，三角函數(shù)沒(méi)有定義的地方一定是在軸上角，所以，凡是碰到軸上角時(shí)，要結(jié)合定義進(jìn)行分析。并要求在理解的基礎(chǔ)上記死。（二）新課（單位圓）1．引入：角是一個(gè)圖形概念，也是一個(gè)數(shù)量概念（弧度數(shù)）。作為角的函數(shù)——三角函數(shù)是一個(gè)數(shù)量概念（比值），但它能不能也是一個(gè)圖形概念呢？換句話(huà)說(shuō)，能否用幾何方式來(lái)表示三角函數(shù)呢？答案是肯定的。2．（邊描述邊畫(huà)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度1為半徑畫(huà)一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓。（注意：這個(gè)單位長(zhǎng)度不一定就是1厘米或1米）當(dāng)角α為第一象限角時(shí)，則其終邊與單位圓是否必有一個(gè)交點(diǎn)P（x，y），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸交x軸于點(diǎn)M，則請(qǐng)你觀察，（1）       sinα將等于什么？（提示，因?yàn)閳A是單位圓，所以半徑r=1）（2）       隨著α在第一象限內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，MP是否也跟著變化？而它的長(zhǎng)度值是否永遠(yuǎn)等于sinα？（3）       MP就是sinα的幾何表示，也叫做正弦線(xiàn)。（4）       請(qǐng)問(wèn)，你能找到余弦線(xiàn)嗎？（師生共同探討，最終確定OM是余弦線(xiàn)）（5）       請(qǐng)問(wèn)，你能找到正切線(xiàn)嗎？（發(fā)現(xiàn)在單位圓內(nèi)部不可能，教師啟發(fā)作切線(xiàn)，最終確定AT是正切線(xiàn)）3．但是，當(dāng)α是第二象限角時(shí)，這幾條線(xiàn)是否還存在？是否還能表示正弦值？余弦值和正切值？（1）教師再畫(huà)一個(gè)單位圓，并作出第二象限角，也畫(huà)出MP，OM，學(xué)生將發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)負(fù)值問(wèn)題。（2）我們知道，線(xiàn)段是正值，但三角函數(shù)卻有正數(shù)、負(fù)數(shù)和零，怎樣用線(xiàn)段來(lái)表示正負(fù)數(shù)呢？通常的方法是，將線(xiàn)段規(guī)定一個(gè)方向，使得一個(gè)方向?yàn)檎?，另一個(gè)方向?yàn)樨?fù)。這里，我們就規(guī)定，與坐標(biāo)軸的方向一致的為正，與坐標(biāo)軸方向相反的為負(fù)。那么，此時(shí)，線(xiàn)段OM是正還是負(fù)？（注意，線(xiàn)段OM是指從O到M）（3）此時(shí)，正切線(xiàn)在那里？（教師提示，既然是另畫(huà)一條，就不一定畫(huà)在x軸的負(fù)半軸，而直接在原位與α角的終邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交即得。（注意從比值與符號(hào)兩方面與定義比較）4．完整敘述單位圓與三角函數(shù)線(xiàn)。（1）現(xiàn)在，我們已經(jīng)得到三角函數(shù)的幾何表示法了，其具體步驟如下：A：畫(huà)單位圓，B：設(shè)α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，作PM⊥x軸于M，則有向線(xiàn)段MP是正弦線(xiàn)。C：有向線(xiàn)段OM是余弦線(xiàn)。D：設(shè)單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作垂線(xiàn)與角α的終邊（或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)）交于點(diǎn)T，則有向線(xiàn)段AT就是正切線(xiàn)。（2）旋轉(zhuǎn)角α，分別就四個(gè)象限角、軸上角的情況考察三角函數(shù)線(xiàn)的變化情況，從定義和方向兩個(gè)方面理解三角函數(shù)線(xiàn)。 5．例題和練習(xí)：（1）P15，T1（1）、（4）處理：師生共解。目的：學(xué)習(xí)三角函數(shù)線(xiàn)的畫(huà)法（2）P15，T1（2）、（3）處理：學(xué)生練習(xí)。目的：鞏固三角函數(shù)線(xiàn)的畫(huà)法。（3）提問(wèn)：如果你的手中沒(méi)有計(jì)算器，也沒(méi)有數(shù)學(xué)用表，如何求得sin15°的值？處理：學(xué)生討論。目的：體會(huì)三角函數(shù)線(xiàn)的用處和實(shí)質(zhì)。結(jié)論：三角函數(shù)線(xiàn)就是用幾何方式表示三角函數(shù)值，所以，一旦我們畫(huà)出了某一個(gè)角的三角函數(shù)線(xiàn)，其實(shí)也就求得了這個(gè)角的三角函數(shù)值。（4）練習(xí)：P15，T2。注意，此處的單位圓的半徑不是1，故三角函數(shù)值要求比值。（5）練習(xí)：P20，T1。目的：進(jìn)一步理解單位圓與三角函數(shù)線(xiàn)。（6）       補(bǔ)充：若，試比較α，sinα， tanα的大小。解：作單位圓及三角函數(shù)線(xiàn)                    y顯然：AT=tanα，MP=sinα，AP=α                    T而S△OPM<S扇形OPA<S△OTA                               P   故PM<AP<AT   故sinα<α<tanα                      O    M   A x 目的:進(jìn)一步體會(huì)單位圓的解題妙用,提高學(xué)習(xí)的興趣.二、小結(jié)：1、  定義、定義域、（幾何表示）三角函數(shù)線(xiàn)、象限角的符號(hào)，軸上角的值，誘導(dǎo)公式。2、  方法：數(shù)形結(jié)合，定義出發(fā)，記死公式。（不是死記公式）三、作業(yè)：1、  復(fù)習(xí)：4.32、  作業(yè)本：P20，T23、   每課一練：4.3（一）、（二）