?1.2 任意角的三角函數(shù)
1.2.1 任意角的三角函數(shù)
整體設(shè)計
教學分析
學生已經(jīng)學過銳角三角函數(shù),它是用直角三角形邊長的比來刻畫的.銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關(guān)系.任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學模型,它與“解三角形”已經(jīng)沒有什么關(guān)系了.因此,與學習其他基本初等函數(shù)一樣,學習任意角的三角函數(shù),關(guān)鍵是要使學生理解三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),并能用三角函數(shù)描述一些簡單的周期變化規(guī)律,解決簡單的實際問題.
本節(jié)以銳角三角函數(shù)為引子,利用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù).由于三角函數(shù)與單位圓之間的這種緊密的內(nèi)部聯(lián)系,使得我們在討論三角函數(shù)的問題時,對于研究哪些問題以及用什么方法研究這些問題等,都可以從圓的性質(zhì)(特別是對稱性)中得到啟發(fā).三角函數(shù)的研究中,數(shù)形結(jié)合思想起著非常重要的作用.
利用信息技術(shù),可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點坐標、單位圓中的三角函數(shù)線之間的聯(lián)系,并在角的變化過程中,將這種聯(lián)系直觀地體現(xiàn)出來.所以,信息技術(shù)可以幫助學生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì).激發(fā)學生對數(shù)學研究的熱情,培養(yǎng)學生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神;通過學生之間、師生之間的交流合作,實現(xiàn)共同探究、教學相長的教學情境.
三維目標
1.通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義,理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù),并從任意角的三角函數(shù)定義認識正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.
2.通過對任意角的三角函數(shù)定義的理解,掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等.
3.正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來,即用正弦線、余弦線、正切線表示出來.
4.能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡單問題.
重點難點
教學重點:任意角的正弦、余弦、正切的定義,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.
教學難點:用角的終邊上的點的坐標來刻畫三角函數(shù);三角函數(shù)符號;利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值用幾何形式表示.
課時安排
2課時
教學過程
第1課時
導入新課
思路1.我們把角的范圍推廣了,銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎?譬如三角形內(nèi)角和為180°,那么sin200°的值還是三角形中200°的對邊與斜邊的比值嗎?類比角的概念的推廣,怎樣修正三角函數(shù)定義?由此展開新課.另外用“單位圓定義法”單刀直入給出定義,然后再在適當時機聯(lián)系銳角三角函數(shù),這也是一種不錯的選擇.
思路2.教師先讓學生看教科書上的“思考”,通過這個“思考”提出用直角坐標系中角的終邊上點的坐標表示銳角三角函數(shù)的問題,以引導學生回憶銳角三角函數(shù)概念,體會引進象限角概念后,用角的終邊上點的坐標比表示銳角三角函數(shù)的意義,從而為定義任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).教科書在定義任意角的三角函數(shù)之前,作了如下鋪墊:直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)→象限角為載體的銳角三角函數(shù)→單位圓上點的坐標表示的銳角三角函數(shù).
推進新課
新知探究
提出問題
問題①:在初中時我們學了銳角三角函數(shù),你能回憶一下銳角三角函數(shù)的定義嗎?
問題②:你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎?
活動:教師提出問題,學生口頭回答,突出它是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù),教師并對回答正確的學生進行表揚,對回答不出來的同學給予提示和鼓勵.然后教師在黑板上畫出直角三角形.
教師提示:前面我們對角的概念已經(jīng)進行了擴充,并且學習了弧度制,知道了角的集合與實數(shù)集是一一對應(yīng)的,在此基礎(chǔ)上,我們來研究任意角的三角函數(shù).教師在直角三角形所在的平面上建立適當?shù)淖鴺讼?畫出角α的終邊;學生給出相應(yīng)點的坐標,并用坐標表示銳角三角函數(shù).

圖1
如圖1,設(shè)銳角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在α的終邊上任取一點P(a,b),它與原點的距離>0.過P作x軸的垂線,垂足為M,則線段OM的長度為a,線段MP的長度為b.
根據(jù)初中學過的三角函數(shù)定義,我們有
sinα==,cosα==,tanα==.
討論結(jié)果:
①銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù).
②sinα==,cosα==,tanα==.
提出問題
問題①:如果改變終邊上的點的位置,這三個比值會改變嗎?為什么?
問題②:你利用已學知識能否通過取適當點而將上述三角函數(shù)的表達式簡化?
活動:教師先讓學生們相互討論,并讓他們動手畫畫圖形,看看從圖形中是否能找出某種關(guān)系來.然后提問學生,由學生回答教師的問題,教師再引導學生選幾個點,計算一下對應(yīng)的比值,獲得具體認識,并由相似三角形的性質(zhì)來證明.最后可以發(fā)現(xiàn),由相似三角形的知識,對于確定的角α,這三個比值不會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變.
過圖形教師引導學生進行對比,學生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點的距離為1的點可以使表達式簡化.
此時sinα==b,cosα==a,tanα==.
在引進弧度制時我們看到,在半徑為單位長度的圓中,角α的弧度數(shù)的絕對值等于圓心角α所對的弧長(符號由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定).在直角坐標系中,我們稱以原點O為圓心,以單位長度為半徑的圓為單位圓.這樣,上述P點就是α的終邊與單位圓的交點.銳角三角函數(shù)可以用單位圓上點的坐標表示.
同樣地,我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數(shù).

圖2
如圖2所示,設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么:
(1)y叫做α的正弦,記作sinα,即sinα=y;
(2)x叫做α的余弦,記作cosα,即cosα=x;
(3)叫做α的正切,記作tanα,即tanα=(x≠0).
所以,正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù),我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).
教師出示定義后,可讓學生解釋一下定義中的對應(yīng)關(guān)系.教師應(yīng)指出任意角的正弦、余弦、正切的定義是本節(jié)教學的重點.用單位圓上點的坐標表示任意角的三角函數(shù),與學生在銳角三角函數(shù)學習中建立的已有經(jīng)驗有一定的距離,與學生在數(shù)學必修一的學習中建立起來的經(jīng)驗也有一定的距離.學生熟悉的函數(shù)y=f(x)是實數(shù)到實數(shù)的一一對應(yīng),而這里給出的三角函數(shù)首先是實數(shù)(弧度數(shù))到點的坐標的對應(yīng),然后才是實數(shù)(弧度數(shù))到實數(shù)(橫坐標或縱坐標)的對應(yīng),這就給學生的理解造成一定的困難.教師在教學中可以在學生對銳角三角函數(shù)已有的幾何直觀認識的基礎(chǔ)上,先建立直角三角形的銳角與第一象限角的聯(lián)系,在直角坐標系中考查銳角三角函數(shù),得出用角的終邊上點的坐標(比值)表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論,然后再“特殊化”引出用單位圓上點的坐標表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論.在此基礎(chǔ)上,再定義任意角的三角函數(shù).
在導學過程中教師應(yīng)點撥學生注意,盡管我們從銳角三角函數(shù)出發(fā)來引導學生學習任意角的三角函數(shù),但任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間并沒有一般與特殊的關(guān)系.教師在教學中應(yīng)當使學生體會到,用單位圓上點的坐標表示銳角三角函數(shù),不僅簡單、方便,而且反映本質(zhì).
教師可以引導學生通過分析三角函數(shù)定義中的自變量是什么,對應(yīng)關(guān)系有什么特點,函數(shù)值是什么.特別注意α既表示一個角,又是一個實數(shù)(弧度數(shù)).“它的終邊與單位圓交于點P(x,y)”包含兩個對應(yīng)關(guān)系.從而可以把三角函數(shù)看成是自變量為實數(shù)的函數(shù).值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).(2)sinα不是sin與α的乘積,而是一個比值;三角函數(shù)的記號是一個整體,離開自變量的“sin”“tan”等是沒有意義的.
討論結(jié)果:①這三個比值與終邊上的點的位置無關(guān),根據(jù)初中學過的三角函數(shù)定義,有
sinα==,cosα==,
tanα==.
由相似三角形的知識,對于確定的角α,這三個比值不會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變.
②能.
提出問題
問題①:學習了任意角,并利用單位圓表示了任意角的三角函數(shù),引入一個新的函數(shù),我們可以對哪些問題進行討論?
問題②:根據(jù)三角函數(shù)的定義,正弦、余弦、正切的定義域、值域是怎樣的?
活動:教師引導學生結(jié)合在數(shù)學必修一中的有關(guān)函數(shù)的問題,讓學生回顧所學知識,并總結(jié)回答老師的問題,教師對學生總結(jié)的東西進行提問,并對回答正確的學生進行表揚,回答不正確或者不全面的學生給予提示和補充.教師讓學生完成教科書上的“探究”,教師提問或讓學生上黑板板書.
按照這樣的思路,我們一起來探究如下問題:請根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,先將正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表,再將這三種函數(shù)的值在各象限的符號填入圖3中的括號內(nèi).
三角函數(shù)
定義域
sinα

cosα

tanα


圖3
教師要注意引導學生從定義出發(fā),利用坐標平面內(nèi)點的坐標的特征得定義域、函數(shù)值的符號等結(jié)論.對于正弦函數(shù)sinα=y,因為y恒有意義,即α取任意實數(shù),y恒有意義,也就是說sinα恒有意義,所以正弦函數(shù)的定義域是R;類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域;對于正切函數(shù)tanα=,因為x=0時,無意義,即tanα無意義,又當且僅當角α的終邊落在縱軸上時,才有x=0,所以當α的終邊不在縱軸上時,恒有意義,即tanα恒有意義,所以正切函數(shù)的定義域是α≠ +kπ(k∈Z).(由學生填寫下表)
三角函數(shù)
定義域
sinα
R
cosα
R
tanα
{α|α≠+kπ,k∈Z}
三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號,取決于x,y的符號,當點P在第一、二象限時,縱坐標y>0,點P在第三、四象限時,縱坐標y0,那么:

圖4
①叫做α的正弦,即sinα=;
②叫做α的余弦,即cosα=;
③叫做α的正切,即tanα=(x≠0).
這樣定義三角函數(shù),突出了點P的任意性,說明任意角α的三角函數(shù)值只與α有關(guān),而與點P在角的終邊上的位置無關(guān),教師要讓學生充分思考討論后深刻理解這一點.
解:由已知,可得OP0==5.

圖5
如圖5,設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P(x,y).分別過點P、P0作x軸的垂線MP、M0P0,則|M0P 0|=4,|MP|=-y,|OM0|=3，|OM|=-x,△OMP∽△OM0P0,
于是sinα=y====;
cosα=x====;
tanα===.
點評:本例是已知角α終邊上一點的坐標,求角α的三角函數(shù)值問題.可以先根據(jù)三角形相似將這一問題化歸到單位圓上,再由定義得解.
變式訓練
求的正弦、余弦和正切值.

圖6
解:在平面直角坐標系中,作∠AOB=,如圖6.
易知∠AOB的終邊與單位圓的交點坐標為(,),
所以sin=,cos=,tan=.
例2 求證:當且僅當下列不等式組成立時,角θ為第三象限角.

活動:教師引導學生討論驗證在不同的象限內(nèi)各個三角函數(shù)值的符號有什么樣的關(guān)系,提示學生從三角函數(shù)的定義出發(fā)來探究其內(nèi)在的關(guān)系.可以知道:三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號,取決于x,y的符號,當點P在第一、二象限時,縱坐標y>0,點P在第三、四象限時,縱坐標y

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1.2 任意的三角函數(shù)

版本： 人教版新課標A

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