高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修42.2 平面向量的線性運(yùn)算教案及反思

這是一份高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修42.2 平面向量的線性運(yùn)算教案及反思
2.2.3 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 整體設(shè)計(jì) 教學(xué)分析 向量的數(shù)乘運(yùn)算,其實(shí)是加法運(yùn)算的推廣及簡(jiǎn)化,與加法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運(yùn)算.教學(xué)時(shí)從加法入手,引入數(shù)乘運(yùn)算,充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.實(shí)數(shù)與向量的乘積,仍然是一個(gè)向量,既有大小,也有方向.特別是方向與已知向量是共線向量,進(jìn)而引出共線向量定理.共線向量定理是本章節(jié)中重要的內(nèi)容,應(yīng)用相當(dāng)廣泛,且容易出錯(cuò).尤其是定理的前提條件:向量a是非零向量.共線向量定理的應(yīng)用主要用于證明點(diǎn)共線或平行等幾何性質(zhì),且與后續(xù)的知識(shí)有著緊密的聯(lián)系. 三維目標(biāo) 1.通過(guò)經(jīng)歷探究數(shù)乘運(yùn)算法則及幾何意義的過(guò)程,掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義,理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義,掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律. 2.理解兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件,能夠運(yùn)用兩向量共線條件判定兩向量是否平行. 3.通過(guò)探究,體會(huì)類比遷移的思想方法,滲透研究新問(wèn)題的思想和方法,培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進(jìn)取精神.通過(guò)解決具體問(wèn)題,體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的重要作用. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):1.實(shí)數(shù)與向量積的意義.2.實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律.3.兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件及其運(yùn)用. 教學(xué)難點(diǎn):對(duì)向量共線的等價(jià)條件的理解運(yùn)用. 課時(shí)安排 1課時(shí) 教學(xué)過(guò)程 導(dǎo)入新課 思路1.前面兩節(jié)課,我們一起學(xué)習(xí)了向量加減法運(yùn)算,這一節(jié),我們將在加法運(yùn)算基礎(chǔ)上研究相同向量和的簡(jiǎn)便計(jì)算及推廣.在代數(shù)運(yùn)算中,a+a+a=3a,故實(shí)數(shù)乘法可以看成是相同實(shí)數(shù)加法的簡(jiǎn)便計(jì)算方法,那么相同向量的求和運(yùn)算是否也有類似的簡(jiǎn)便計(jì)算. 思路2.一物體做勻速直線運(yùn)動(dòng),一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量為a,那么在同一方向上3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量怎樣表示？是3a嗎？怎樣用圖形表示？由此展開(kāi)新課. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 ①已知非零向量a,試一試作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a). ②你能對(duì)你的探究結(jié)果作出解釋,并說(shuō)明它們的幾何意義嗎? ③引入向量數(shù)乘運(yùn)算后,你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎?怎樣理解兩向量平行？與兩直線平行有什么異同？ 活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)知識(shí)并猜想結(jié)果,對(duì)于運(yùn)算律的驗(yàn)證,點(diǎn)撥學(xué)生通過(guò)作圖來(lái)進(jìn)行.通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手作圖,讓學(xué)生明確向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律及其幾何意義.教師要引導(dǎo)學(xué)生特別注意0·a=0,而不是0·a=0.這個(gè)零向量是一個(gè)特殊的向量,它似乎很不起眼,但又處處存在,稍不注意就會(huì)出錯(cuò),所以要引導(dǎo)學(xué)生正確理解和處理零向量與非零向量之間的關(guān)系.實(shí)數(shù)與向量可以求積,但是不能進(jìn)行加、減運(yùn)算,比如λ+a,λ-a都無(wú)法進(jìn)行.向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律很相似,只是數(shù)乘運(yùn)算的分配律有兩種不同的形式:(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb,數(shù)乘運(yùn)算的關(guān)鍵是等式兩邊向量的模相等,方向相同.判斷兩個(gè)向量是否平行(共線),實(shí)際上就是看能否找出一個(gè)實(shí)數(shù),使得這個(gè)實(shí)數(shù)乘以其中一個(gè)向量等于另一個(gè)向量.一定要切實(shí)理解兩向量共線的條件,它是證明幾何中的三點(diǎn)共線和兩直線平行等問(wèn)題的有效手段. 對(duì)問(wèn)題①,學(xué)生通過(guò)作圖1可發(fā)現(xiàn),=++=a+a+a.類似數(shù)的乘法,可把a(bǔ)+a+a記作3a,即=3a.顯然3a的方向與a的方向相同,3a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍,即|3a|=3|a|.同樣,由圖1可知, 圖1 ==(-a)+(-a)+(-a), 即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).顯然3(-a)的方向與a的方向相反,3(-a)的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍,這樣,3(-a)=-3a. 對(duì)問(wèn)題②,上述過(guò)程推廣后即為實(shí)數(shù)與向量的積. 我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下: (1)|λa|=|λ||a|; (2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ|2a+b| B.|2a||a+2b| D.|2b|0時(shí),λa與a方向相同,當(dāng)λ