課    題： 等差數(shù)列的前n項和（二）教學(xué)目的：1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式.2.了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會用它們解決一些相關(guān)問題.教學(xué)重點：熟練掌握等差數(shù)列的求和公式教學(xué)難點：靈活應(yīng)用求和公式解決問題授課類型：新授課課時安排：1課時教    具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：
      本節(jié)是在集合與簡易邏輯之后學(xué)習(xí)的，映射概念本身就屬于集合的教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：首先回憶一下上一節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：1.等差數(shù)列的前項和公式1： 2.等差數(shù)列的前項和公式2： 3.，當(dāng)d≠0，是一個常數(shù)項為零的二次式4.對等差數(shù)列前項和的最值問題有兩種方法:（1） 利用:當(dāng)>0，d<0，前n項和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值當(dāng)<0，d>0，前n項和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值（2） 利用：由二次函數(shù)配方法求得最值時n的值   二、例題講解   例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素個數(shù)及這些元素的和.解：由2n－1＜60,得n＜,又∵n∈N*∴滿足不等式n＜的正整數(shù)一共有30個.即 集合M中一共有30個元素，可列為：1，3，5，7，9，…，59，組成一個以=1, =59,n=30的等差數(shù)列.∵=,∴==900.答案：集合M中一共有30個元素，其和為900.例2.在小于100的正整數(shù)中共有多少個數(shù)能被3除余2，并求這些數(shù)的和分析：滿足條件的數(shù)屬于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}解：分析題意可得滿足條件的數(shù)屬于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*}由3n+2＜100,得n＜32,且m∈N*,∴n可取0，1，2，3，…，32.即 在小于100的正整數(shù)中共有33個數(shù)能被3除余2.把這些數(shù)從小到大排列出來就是：2，5，8，…，98.它們可組成一個以=2,d=3, =98,n=33的等差數(shù)列.由=,得==1650.答：在小于100的正整數(shù)中共有33個數(shù)能被3除余2，這些數(shù)的和是1650.例3已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和，求證：⑴，-，-成等差數(shù)列；⑵設(shè) （）成等差數(shù)列證明：設(shè)首項是，公差為d則∵ 是以36d為公差的等差數(shù)列同理可得是以d為公差的等差數(shù)列.三、練習(xí)：1．一個等差數(shù)列前4項的和是24，前5項的和與前2項的和的差是27，求這個等差數(shù)列的通項公式.分析：將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后再解.解：根據(jù)題意，得=24, －=27則設(shè)等差數(shù)列首項為,公差為d,則 解之得：     ∴=3+2（n－1）=2n+1.2．兩個數(shù)列1, , , ……,, 5和1, , , ……,, 5均成等差數(shù)列公差分別是, , 求與的值  解：5＝1＋8, ＝, 又5＝1＋7, ＝, ∴＝;        ++……+＝7＝7×＝21, ++ ……+＝3×(1＋5)＝18,       ∴  ＝.3．在等差數(shù)列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求數(shù)列{}的前n項和的最小值  解法1：∵＝＋3d, ∴ －15＝＋9, ＝－24, ∴ ＝－24n＋＝[(n－)－],      ∴ 當(dāng)|n－|最小時，最小，即當(dāng)n＝8或n＝9時，＝＝－108最小.  解法2：由已知解得＝－24, d＝3, ＝－24＋3(n－1), 由≤0得n≤9且＝0, ∴當(dāng)n＝8或n＝9時，＝＝－108最小.  四、小結(jié)  本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：是等差數(shù)列，是其前n項和，則 （）仍成等差數(shù)列五、課后作業(yè)：1．一凸n邊形各內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，公差是10°,最小內(nèi)角為100°,求邊數(shù)n.  解：由(n－2)·180＝100n＋×10，求得n－17n＋72＝0,   n＝8或n＝9, 當(dāng)n＝9時, 最大內(nèi)角100＋(9－1)×10＝180°不合題意，舍去，∴ n＝8. 2．已知非常數(shù)等差數(shù)列{}的前n項和滿足(n∈N, m∈R), 求數(shù)列{}的前n項和.解：由題設(shè)知＝lg()＝lgm＋nlg3＋lg2,即 ＝[]n＋(lg3＋)n＋lgm,  ∵ {}是非常數(shù)等差數(shù)列，當(dāng)d≠0，是一個常數(shù)項為零的二次式∴≠0且lgm＝0, ∴ m＝－1, ∴ ＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,  則 當(dāng)n=1時，＝當(dāng)n≥2時,＝－＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2)＝∴＝    d=== =數(shù)列{}是以=為首項,5d=為公差的等差數(shù)列，    ∴數(shù)列{}的前n項和為n·()＋n(n－1)·()＝ 3．一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32:27，求公差d.  解：設(shè)這個數(shù)列的首項為, 公差為d，則偶數(shù)項與奇數(shù)項分別都是公差為2d的等差數(shù)列，由已知得, 解得d＝5.解法2：設(shè)偶數(shù)項和與奇數(shù)項和分別為S偶，S奇，則由已知得,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5. 4．兩個等差數(shù)列，它們的前n項和之比為, 求這兩個數(shù)列的第九項的比  解：.5．一個等差數(shù)列的前10項和為100，前100項和為10，求它的前110項和 解：在等差數(shù)列中，, －, －, ……, －, －, 成等差數(shù)列，  ∴ 新數(shù)列的前10項和＝原數(shù)列的前100項和，10＋·D＝＝10, 解得D＝－22   ∴ －＝＋10×D＝－120, ∴ ＝－110.6．設(shè)等差數(shù)列{}的前n項和為，已知＝12，>0，<0，(1) 求公差d的取值范圍；(2) 指出, , , ……, 中哪一個最大，說明理由  解：(1) , ∵ ＝＋2d＝12, 代入得   , ∴ －<d<－3,(2) ＝13<0, ∴ <0, 由＝6(＋)>0, ∴ ＋>0,∴>0,    最大.

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2.2 等差數(shù)列

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級： 必修5

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