6.1.1　向量的實(shí)際背景與概念6.1.2　向量的幾何表示6.1.3　相等向量與共線向量知識(shí)點(diǎn)一　　　向量與數(shù)量(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．(2)數(shù)量：只有大小沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量．知識(shí)點(diǎn)二　　　向量的表示具有方向的線段叫做有向線段．它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．向量的大小稱為向量的長(zhǎng)度(或稱模)．  知識(shí)點(diǎn)三　　　向量的有關(guān)概念1．向量與數(shù)量的區(qū)別(1)向量被賦予了幾何意義，即向量是具有方向的，而數(shù)量是一個(gè)代數(shù)量，沒(méi)有方向；(2)數(shù)量可以比較大小，而向量無(wú)法比較大小，即使|a|>|b|，也不能說(shuō)a>b；(3)0與0不同.0表示數(shù)量，但0表示零向量，其中|0|＝0.2．向量與有向線段區(qū)別：從定義上看，向量有大小和方向兩要素，而有向線段有起點(diǎn)、方向、終點(diǎn)三要素，因此這是兩個(gè)不同的量．聯(lián)系：向量可以用有向線段表示，但這并不是說(shuō)向量就是有向線段．3．共線向量與相等向量(1)共線向量的定義指的是非零向量的共線問(wèn)題；(2)共線向量中的向量所在的直線可以平行，也可以重合，與平面幾何中的“共線”“平行”不同；(3)相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量．共線向量?jī)H僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．特別注意：(1)判斷兩個(gè)向量的關(guān)系：一要判斷大小，二要判斷方向，如遇上零向量，必須注意其方向的任意性．(2)定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒(méi)有確定方向．我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同．1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)向量能比較大?。?　　)(2)向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)．(　　)(3)單位向量的模都相等．(　　)(4)向量與向量是相等向量．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．做一做(1)下列說(shuō)法正確的是(　　)A．若|a|＞|b|，則a＞bB．若|a|＝|b|，則a＝bC．若a＝b，則a與b共線D．若a≠b，則a一定不與b共線(2)如圖，四邊形ABCD中，＝，則必有(　　)A.＝    B.＝    C.＝     D.＝(3)△ABC是等腰三角形，則兩腰上的向量與的關(guān)系是________．(4)如圖所示，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形，①圖中與共線的向量有________；②圖中與相等的向量有________；③圖中與模相等的向量有________；④圖中與相等的向量有________．答案　(1)C　(2)D　(3)模相等(4)①，，，，，，　②，③，，，，，，，，　④題型一  向量的有關(guān)概念例1　下列說(shuō)法正確的是(　　)A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小C．向量的大小與方向有關(guān)D．向量的?？梢员容^大小[解析]　A項(xiàng)，不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，不正確；B項(xiàng)，方向相同的向量也不能比較大小，不正確；C項(xiàng)，向量的大小即向量的模，指的是有向線段的長(zhǎng)度，與方向無(wú)關(guān)，不正確；D項(xiàng)，向量的模是一個(gè)數(shù)量，可以比較大小，正確．[答案]　D　解決與向量概念有關(guān)問(wèn)題的方法解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長(zhǎng)度，如：共線向量的核心是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制；相等向量的核心是方向相同且長(zhǎng)度相等；單位向量的核心是方向沒(méi)有限制，但長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度；零向量的核心是方向沒(méi)有限制，長(zhǎng)度是0；規(guī)定零向量與任意向量共線．只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問(wèn)題．給出下列命題：①若向量a＝，b＝，則|a|＝|b|；②若a是單位向量，b也是單位向量，則a與b的方向相同或相反；③若向量是單位向量，則也是單位向量；④以坐標(biāo)平面上的定點(diǎn)A為起點(diǎn)，所有單位向量的終點(diǎn)P的集合是以A為圓心的單位圓．其中正確的個(gè)數(shù)是________．答案　3解析　①正確，由于|a|＝||＝AB，|b|＝||＝BA＝AB，因此有|a|＝|b|.②不正確，由單位向量的定義知，凡長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量均稱為單位向量，但是對(duì)方向沒(méi)有任何要求，因此說(shuō)法②不正確．③正確，因?yàn)閨|＝||，所以當(dāng)是單位向量時(shí)，也是單位向量．④正確，由于向量||＝1，所以點(diǎn)P是以點(diǎn)A為圓心的單位圓上的一點(diǎn)．反過(guò)來(lái)，若點(diǎn)P是以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的單位圓上的任一點(diǎn)，則由于||＝1，所以向量是單位向量，因此說(shuō)法④正確.題型二  向量的幾何表示例2　某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向按東北方向走了10米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)．(1)作出向量，，；(2)求的模．[解]　(1)作出向量，，如圖所示．(2)由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)．所以||＝5米．　向量的兩種表示方法(1)幾何表示法：先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的長(zhǎng)度確定向量的終點(diǎn)．(2)字母表示法：為了便于運(yùn)算可用字母a，b，c，…表示，為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì)，可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)表示向量，如，，等．      某次軍事演習(xí)中，紅方一支裝甲分隊(duì)為完成對(duì)藍(lán)軍的穿插包圍，先從A處出發(fā)向西迂回了100 km到達(dá)B地，然后又改變方向向北偏西40°走了200 km到達(dá)C地，最后又改變方向，向東突進(jìn)100 km到達(dá)D處，完成了對(duì)藍(lán)軍的包圍．(1)作出向量，，；(2)求||.解　(1)向量，，，如圖所示．(2)由題意，易知與方向相反，故與共線．又||＝||，∴在四邊形ABCD中，AB綊CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．∴＝，||＝||＝200 km. 題型三  相等向量與共線向量例3　(1)①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④兩向量a，b相等的充要條件是⑤|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分條件；⑥＝C的充要條件是A與C重合、B與D重合．其中真命題的個(gè)數(shù)是________．(2)如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c. ①與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有哪些？②與a共線的向量有哪些？③請(qǐng)一一列出與a，b，c相等的向量．[解析]　(1)①不正確．兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同，因此由|a|＝|b|推不出a＝b.②正確．∵＝，∴||＝||且∥.又∵A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD是平行四邊形．反之，若四邊形ABCD是平行四邊形，則AB綊DC，且與方向相同，因此＝.③正確．∵a＝b，∴a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同．又∵b＝c，∴b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同．故a＝c.④不正確．當(dāng)a∥b，但方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故不是a＝b的充要條件．⑤正確．這是因?yàn)閨a|＝|b|a＝b，但a＝b?|a|＝|b|，所以|a|＝|b|是a＝b的必要不充分條件．⑥不正確．這是因?yàn)?/span>＝時(shí)，應(yīng)有||＝||及由A到B與C到D的方向相同，但不一定要有A與C重合、B與D重合．(2)①與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有，，，.②與a共線的向量有，，，，，，，，.③與a相等的向量有，，；與b相等的向量有，，；與c相等的向量有，，.[答案]　(1)3　(2)見(jiàn)解析[結(jié)論探究]　本例(2)條件不變，試寫出與向量相等的向量．解　，，.[綜合探究]　在本例(2)中，若|a|＝1，則正六邊形的邊長(zhǎng)如何？解　因?yàn)锳BCDEF是正六邊形，|a|＝1，所以正六邊形的邊長(zhǎng)也是1.　共線向量與相等向量的區(qū)別與聯(lián)系相等向量是指大小相等且方向相同的向量．共線向量是方向相同或相反的非零向量，共線向量也叫平行向量．相等向量一定是共線向量，而共線向量不一定相等．向量相等具備傳遞性，而向量的共線不具備傳遞性．(1)下列命題：①兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)可能不同；②若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)共線；③若a∥b且b∥c，則a∥c；④若四邊形ABCD是平行四邊形，則一定有＝.其中真命題的個(gè)數(shù)為(　　)A．0  B．1  C．2  D．3(2)如圖所示，四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形．①找出與向量共線的向量；②找出與向量相等的向量．答案　(1)B　(2)見(jiàn)解析解析　(1)相等向量起點(diǎn)相同時(shí)，終點(diǎn)必相同，故①錯(cuò)誤；向量的共線不同于點(diǎn)共線，故當(dāng)與共線時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D不一定共線，即②錯(cuò)誤；當(dāng)b＝0時(shí)，a與c沒(méi)有任何關(guān)系，故③錯(cuò)誤；與同向且等長(zhǎng)，則＝，故④正確．(2)①依據(jù)圖形可知，，，與方向相同，，，，與方向相反，所以與向量共線的向量為，，，，，，.②由四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形，知，與長(zhǎng)度相等且方向相同，所以與向量相等的向量為和.1．有下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．其中，不是向量的個(gè)數(shù)是(　　)A．1  B．2  C．3  D．4答案　C解析　速度、力、加速度這3個(gè)物理量是向量，它們都有大小和方向，其余的不是向量．2．在下列判斷中，正確的是(　　)①長(zhǎng)度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長(zhǎng)度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線．A．①②③     B．②③④        C．①②⑤        D．①③⑤答案　D解析　由定義知①正確，②由于零向量的方向是任意的，故兩個(gè)零向量的方向是否相同不確定，故不正確．顯然③⑤正確，④不正確．3．如圖，在圓O中，向量，，是(　　)A．有相同起點(diǎn)的向量        B．共線向量C．模相等的向量            D．相等的向量答案　C解析　由圖可知，三向量方向不同，但長(zhǎng)度相等．4．如圖所示，以1×2方格紙中的格點(diǎn)(各線段的交點(diǎn))為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與相等的向量有________．答案　，解析　因?yàn)楦鞣礁窬鶠檎叫?，則有＝＝.5．如圖，O是正方形ABCD的中心．(1)寫出與向量相等的向量；(2)寫出與的模相等的向量．解　(1)與向量相等的向量是.(2)與的模相等的向量有：，，，，，，. 

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