6.3.5　平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示知識點(diǎn)一　　　兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．知識點(diǎn)二　　　三個重要公式1．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示主要解決的問題向量的坐標(biāo)表示和向量的坐標(biāo)運(yùn)算實現(xiàn)了向量運(yùn)算的完全代數(shù)化，并將數(shù)與形緊密結(jié)合起來．本節(jié)主要應(yīng)用有：(1)求兩點(diǎn)間的距離(求向量的模)．(2)求兩向量的夾角．(3)證明兩向量垂直．2．解決向量夾角問題的方法及注意事項(1)先利用平面向量的坐標(biāo)表示求出這兩個向量的數(shù)量積a·b以及|a||b|，再由cosθ＝求出cosθ，也可由坐標(biāo)表示cosθ＝直接求出cosθ.由三角函數(shù)值cosθ求角θ時，應(yīng)注意角θ的取值范圍是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cosθ＝來判斷角θ時，要注意cosθ<0有兩種情況：一是θ是鈍角，二是θ＝π；cosθ>0也有兩種情況：一是θ是銳角，二是θ＝0.1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)向量的模等于向量坐標(biāo)的平方和．(　　)(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(　　)(3)若兩個非零向量的夾角θ滿足cosθ<0，則兩向量的夾角θ一定是鈍角．(　　)2．做一做(1)已知a，b為平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b的夾角θ的余弦值等于(　　)A.  B．－  C.  D．－(2)若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，則實數(shù)m的值為________．(3)已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，則|a＋b|＝________.題型一  平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示例1　已知向量a與b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐標(biāo)；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.    [條件探究]　若將本例改為a與b反向，b＝(1,2)，a·b＝－10，求：(1)向量a的坐標(biāo)；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.   　數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的兩條途徑進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開，再依據(jù)已知計算．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(　　)A．－1  B．0  C．1  D．2＝1.題型二  向量的模的問題例2　(1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，則|a－b|的最小值為________；(2)若向量a的始點(diǎn)為A(－2,4)，終點(diǎn)為B(2,1)，求：①向量a的模；②與a平行的單位向量的坐標(biāo)；③與a垂直的單位向量的坐標(biāo)．         　求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算利用|a|2＝a2，將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題．(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算若a＝(x，y)，則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.設(shè)x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝(　　)A.  B.  C．2  D．10  題型三  向量垂直的坐標(biāo)表示例3　設(shè)O＝(2，－1)，O＝(3,1)，O＝(m,3)．(1)當(dāng)m＝2時，用O和O表示O；(2)若A⊥B，求實數(shù)m的值．       　用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決垂直問題利用坐標(biāo)表示是把垂直條件代數(shù)化．因此判定方法更簡捷、運(yùn)算更直接，體現(xiàn)了向量問題代數(shù)化的思想．已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD為BC邊上的高，求||與點(diǎn)D的坐標(biāo)．             題型四  平面向量的夾角問題例4　已知△ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，(1)若c＝5，求sinA的值；(2)若∠A是鈍角，求c的取值范圍．           　求平面向量夾角的步驟若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)求出a·b＝x1x2＋y1y2；(2)求出|a|＝，|b|＝；(3)代入公式：cosθ＝(θ是a與b的夾角)．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b與c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夾角的大?。?/span>         題型五  向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用例5　已知三點(diǎn)A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求證：AB⊥AD；(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)并求矩形ABCD的對角線的長度．         利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平面圖形問題，常見的題型有：(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用終點(diǎn)坐標(biāo)與始點(diǎn)坐標(biāo)的差得到向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量間的關(guān)系求解．(2)證明兩線段垂直：證明兩線段所對應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可．(3)求線段的長度：求出線段所對應(yīng)的向量的模即可．已知a，b，m，n∈R，設(shè)(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，其中mn≠0，用向量方法求證：＝.            1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，則x等于(　　)A．3          B.      C．－          D．－32．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c等于(　　)A.        B.      C.         D.3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，則|a－b|＝________.4．設(shè)向量a與b的夾角為θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，則cosθ＝________.5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.  

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