新教材(輔導(dǎo)班)高一數(shù)學(xué)寒假講義10《6.3.1-3.3平面向量的坐標(biāo)表示》課時(shí)(含解析) 學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn) 平面向量基本定理
1．對(duì)基底的理解
(1)基底的兩個(gè)主要特征
①基底是兩個(gè)不共線向量；②基底的選擇是不唯一的．平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底的條件．
(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底．
2．準(zhǔn)確理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問(wèn)題時(shí)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕?，將?wèn)題中涉及的向量向基底化歸，使問(wèn)題得以解決．
3．平面向量基本定理的應(yīng)用
(1)平面向量基本定理唯一性的應(yīng)用
設(shè)a，b是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝x2，,y1＝y(tǒng)2.))
(2)重要結(jié)論
設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)一個(gè)基底，
1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)平面向量的一個(gè)基底{e1，e2}中，e1，e2一定都是非零向量．( )
(2)在平面向量基本定理中，若a＝0，則λ1＝λ2＝0.( )
(3)在平面向量基本定理中，若a∥e1，則λ2＝0；若a∥e2，則λ1＝0.( )
(4)表示同一平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．做一做
(1)設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是( )
A．{e1，e2} B．{e1＋e2,3e1＋3e2} C．{e1,5e2} D．{e1，e1＋e2}
(2)在△ABC中，D為BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，若eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(AC,\s\up16(→))＝b，則eq \(AD,\s\up16(→))＝________(用a，b表示)．
(3)已知向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，則x＝______，y＝______.
(4)已知?ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，設(shè)eq \(MA,\s\up16(→))＝a，eq \(MB,\s\up16(→))＝b，試用基底{a，b}表示eq \(AB,\s\up16(→))＝________，eq \(AD,\s\up16(→))＝________.
答案 (1)B (2)eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b (3)－15 －12 (4)b－a －a－b
題型一正確理解基底的概念
例1 設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組：
①{eq \(AD,\s\up16(→))，eq \(AB,\s\up16(→))}；②{eq \(DA,\s\up16(→))，eq \(BC,\s\up16(→))}；③{eq \(CA,\s\up16(→))，eq \(DC,\s\up16(→))}；④{eq \(OD,\s\up16(→))，eq \(OB,\s\up16(→))}．
其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的一個(gè)基底的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
[解析] ①eq \(AD,\s\up16(→))與eq \(AB,\s\up16(→))不共線；②eq \(DA,\s\up16(→))＝－eq \(BC,\s\up16(→))，則eq \(DA,\s\up16(→))與eq \(BC,\s\up16(→))共線；③eq \(CA,\s\up16(→))與eq \(DC,\s\up16(→))不共線；④eq \(OD,\s\up16(→))＝－eq \(OB,\s\up16(→))，
則eq \(OD,\s\up16(→))與eq \(OB,\s\up16(→))共線．由平面向量基底的概念知，只有不共線的兩個(gè)向量才能構(gòu)成一個(gè)基底，
故①③滿足題意．
[答案] B
能作為基底向量的條件
考查兩個(gè)向量能否作為基底，主要看兩向量是否為非零向量且不共線．此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一表示．注意零向量不能作基底．
設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)一個(gè)基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是( )
A．{e1＋e2，e1－e2} B．{3e1－2e2,4e2－6e1}
C．{e1＋2e2，e2＋2e1} D．{e2，e2＋e1}
答案 B
解析 ∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴兩個(gè)向量共線，不能作為基底.
題型二用基底表示向量
例2 如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且eq \(AN,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(NC,\s\up16(→))，BN與CM相交于點(diǎn)E，
設(shè)eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(AC,\s\up16(→))＝b，試用基底{a，b}表示向量eq \(AE,\s\up16(→)).
[解] 易得eq \(AN,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)b，eq \(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a，由N，E，B三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)m，
滿足eq \(AE,\s\up16(→))＝meq \(AN,\s\up16(→))＋(1－m)eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)mb＋(1－m)a.
由C，E，M三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)n，滿足eq \(AE,\s\up16(→))＝neq \(AM,\s\up16(→))＋(1－n)eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)na＋(1－n)b，
所以eq \f(1,3)mb＋(1－m)a＝eq \f(1,2)na＋(1－n)b，
由于{a，b}為基底，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)，))所以eq \(AE,\s\up16(→))＝eq \f(2,5)a＋eq \f(1,5)b.
[條件探究]
若將本例中的“eq \(AN,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(NC,\s\up16(→))”改為“eq \(AN,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)eq \(NC,\s\up16(→))”，其他條件不變，試用基底{a，b}表示eq \(AE,\s\up16(→)).
解由已知得eq \(AN,\s\up16(→))＝eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,5)b，eq \(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a，
∵N，E，B三點(diǎn)共線，∴設(shè)eq \(AE,\s\up16(→))＝meq \(AN,\s\up16(→))＋(1－m)eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \f(m,5)b＋(1－m)a，
又∵C，E，M三點(diǎn)共線，∴設(shè)eq \(AE,\s\up16(→))＝neq \(AM,\s\up16(→))＋(1－n)eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(n,2)a＋(1－n)b，
∴eq \f(m,5)b＋(1－m)a＝eq \f(n,2)a＋(1－n)b，∵a，b不共線，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m,5)＝1－n，,1－m＝\f(n,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9)，))∴eq \(AE,\s\up16(→))＝eq \f(4,9)a＋eq \f(1,9)b.
用基底表示向量的方法
將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)所求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至能用基底表示為止；另一種是通過(guò)列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分別是DC和AB的中點(diǎn)，若eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(AD,\s\up16(→))＝b，試用a，b表示eq \(DC,\s\up16(→))，eq \(BC,\s\up16(→))，eq \(MN,\s\up16(→)).
解如圖所示，連接CN，則四邊形ANCD是平行四邊形．則eq \(DC,\s\up16(→))＝eq \(AN,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a；
eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \(NC,\s\up16(→))－eq \(NB,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))＝b－eq \f(1,2)a；eq \(MN,\s\up16(→))＝eq \(CN,\s\up16(→))－eq \(CM,\s\up16(→))＝－eq \(AD,\s\up16(→))－eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up16(→))＝－eq \(AD,\s\up16(→))－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(AB,\s\up16(→))))＝eq \f(1,4)a－b.
題型三利用平面向量基本定理解決共線問(wèn)題
例3 設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)的一個(gè)基底，如果eq \(AB,\s\up16(→))＝3e1－2e2，eq \(BC,\s\up16(→))＝4e1＋e2，eq \(CD,\s\up16(→))＝8e1－9e2，
求證：A，B，D三點(diǎn)共線．
[證明] ∵eq \(AB,\s\up16(→))＝3e1－2e2，eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))＝15e1－10e2＝5(3e1－2e2)＝5eq \(AB,\s\up16(→))，即eq \(AD,\s\up16(→))＝5eq \(AB,\s\up16(→))，
∴eq \(AD,\s\up16(→))與eq \(AB,\s\up16(→))共線，又eq \(AD,\s\up16(→))與eq \(AB,\s\up16(→))有公共點(diǎn)A，∴A，B，D三點(diǎn)共線．
(1)三點(diǎn)共線問(wèn)題的解法
一是利用平面向量基本定理、結(jié)合向量的線性運(yùn)算表示有公共點(diǎn)的兩向量之間的共線關(guān)系．
二是找直線外一點(diǎn)(任意一點(diǎn)也可)O，若存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)λ，μ∈R使eq \(OP,\s\up16(→))＝λeq \(OA,\s\up16(→))＋μeq \(OB,\s\up16(→))(λ＋μ＝1)．則P，A，B三點(diǎn)共線．
(2)注意向量共線與平面向量基本定理放在一起思考解決是否共線問(wèn)題．
若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共線，向量c＝2e1－9e2，則是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，使d＝λa＋μb與c共線？
解 ∵d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線，
則應(yīng)有實(shí)數(shù)k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝k(2e1－9e2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ.
故存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線．
題型四利用平面向量基本定理解決平面幾何問(wèn)題
例4 如圖所示，L，M，N分別為△ABC的邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且eq \f(BL,BC)＝l，eq \f(CM,CA)＝m，eq \f(AN,AB)＝n，若eq \(AL,\s\up16(→))＋eq \(BM,\s\up16(→))＋eq \(CN,\s\up16(→))＝0，求證：l＝m＝n.
[證明] 令eq \(BC,\s\up16(→))＝a，eq \(CA,\s\up16(→))＝b為一個(gè)基底，根據(jù)已知有eq \(BL,\s\up16(→))＝la，eq \(CM,\s\up16(→))＝mb.
∵eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))＋eq \(CB,\s\up16(→))＝－a－b，則有eq \(AN,\s\up16(→))＝neq \(AB,\s\up16(→))＝－na－nb.
∴eq \(AL,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BL,\s\up16(→))＝(l－1)a－b，eq \(BM,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CM,\s\up16(→))＝a＋mb，
eq \(CN,\s\up16(→))＝eq \(CA,\s\up16(→))＋eq \(AN,\s\up16(→))＝－na＋(1－n)b，又eq \(AL,\s\up16(→))＋eq \(BM,\s\up16(→))＋eq \(CN,\s\up16(→))＝0.
∴(l－n)a＋(m－n)b＝0.
根據(jù)平面向量基本定理，有l(wèi)－n＝m－n＝0.
故l＝m＝n.
(1)平面向量基本定理是向量法的理論基礎(chǔ)，它不僅提供了向量的幾何表示方法，同時(shí)也使向量用坐標(biāo)來(lái)表示成為可能，從而架起了向量的幾何運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算之間的橋梁．這就為幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)論證提供了理論工具．
(2)由平行向量基本定理可知，任意向量都可以用一個(gè)與它共線的非零向量線性表示，而且這種表示是唯一的．因此，平面向量基本定理是平行向量基本定理從一維到二維的推廣．
如圖，設(shè)一直線上三點(diǎn)A，B，P滿足eq \(AP,\s\up16(→))＝λeq \(PB,\s\up16(→))(λ≠－1)，O是平面上任一點(diǎn)，則( )
A.eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \f(\(OA,\s\up16(→))＋λ\(OB,\s\up16(→)),1＋λ) B.eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \f(\(OA,\s\up16(→))＋λ\(OB,\s\up16(→)),1－λ) C.eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \f(\(OA,\s\up16(→))－λ\(OB,\s\up16(→)),1＋λ) D.eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \f(\(OA,\s\up16(→))－λ\(OB,\s\up16(→)),1－λ)
答案 A
解析 eq \(AP,\s\up16(→))＝eq \(OP,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→))＝λeq \(PB,\s\up16(→))＝λ(eq \(OB,\s\up16(→))－eq \(OP,\s\up16(→)))，∴eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \f(\(OA,\s\up16(→))＋λ\(OB,\s\up16(→)),1＋λ).
1．{e1，e2}是平面內(nèi)一個(gè)基底，下面說(shuō)法正確的是( )
A．若實(shí)數(shù)λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0
B．空間內(nèi)任一向量a可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))
C．對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在該平面內(nèi)
D．對(duì)平面內(nèi)任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實(shí)數(shù)λ1，λ2有無(wú)數(shù)對(duì)
答案 A
解析由基底的定義可以知道，e1和e2是平面上不共線的兩個(gè)向量，所以若實(shí)數(shù)λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0，不是空間任一向量都可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，而是平面中的任一向量a，可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2的形式，此時(shí)實(shí)數(shù)λ1，λ2有且只有一對(duì)，而對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2一定在平面內(nèi)，所以A正確．
2．A，B，O是平面內(nèi)不共線的三個(gè)定點(diǎn)，且eq \(OA,\s\up16(→))＝a，eq \(OB,\s\up16(→))＝b，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為R，則eq \(PR,\s\up16(→))等于( )
A．a(chǎn)－b B．2(b－a) C．2(a－b) D．b－a
答案 B
解析如圖，a＝eq \f(1,2)(eq \(OP,\s\up16(→))＋eq \(OQ,\s\up16(→)))，
b＝eq \f(1,2)(eq \(OQ,\s\up16(→))＋eq \(OR,\s\up16(→)))，相減得b－a＝eq \f(1,2)(eq \(OR,\s\up16(→))－eq \(OP,\s\up16(→)))，∴eq \(PR,\s\up16(→))＝2(b－a)．
3．已知向量a，b不共線，且eq \(AB,\s\up16(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up16(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up16(→))＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
答案 A
解析 ∵eq \(AB,\s\up16(→))＝a＋2b，eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))＝2a＋4b，∴2eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(BD,\s\up16(→))，∴eq \(AB,\s\up16(→))∥eq \(BD,\s\up16(→)).
又∵eq \(AB,\s\up16(→))與eq \(BD,\s\up16(→))有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．故選A.
4．已知向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，
則x－y＝________.
答案 3
解析由平面向量基本定理，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝3，))∴x－y＝3.
5．在△ABC中，eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up16(→))，BE與CD交于點(diǎn)P，且eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(AC,\s\up16(→))＝b，用a，b表示eq \(AP,\s\up16(→)).
解如圖，取AE的三等分點(diǎn)M，
使AM＝eq \f(1,3)AE，連接DM，則DM∥BE.設(shè)AM＝t(t＞0)，則ME＝2t.
又AE＝eq \f(1,4)AC，∴AC＝12t，EC＝9t，
∴在△DMC中，eq \f(CE,CM)＝eq \f(CP,CD)＝eq \f(9,11)，∴CP＝eq \f(9,11)CD，∴DP＝eq \f(2,11)CD，
eq \(AP,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(DP,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \f(2,11)eq \(DC,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,11)(eq \(DA,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)\(AB,\s\up16(→))＋\(AC,\s\up16(→))))＝eq \f(3,11)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(3,11)a＋eq \f(2,11)b.
6.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
6.3.3 平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示
知識(shí)點(diǎn)一平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
(1)平面向量的正交分解
eq \(□,\s\up4(01))把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)平面向量的坐標(biāo)表示
知識(shí)點(diǎn)二平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算
1．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量eq \(OA,\s\up16(→))＝a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)．
2．平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)；應(yīng)把向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)區(qū)別開(kāi)來(lái)，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才與終點(diǎn)的坐標(biāo)相等．
3．符號(hào)(x，y)在直角坐標(biāo)系中有兩重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量．為了加以區(qū)分，在敘述中，就常說(shuō)點(diǎn)(x，y)或向量(x，y)．
特別注意：向量a＝(x，y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x，y)中間沒(méi)有等號(hào)．
4．(1)平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式，只是兩個(gè)基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐標(biāo)的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，即a＝b?x1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(3)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)，而與它們的具體位置無(wú)關(guān)．
(4)當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變．
1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)與x軸平行的向量的縱坐標(biāo)為0；與y軸平行的向量的橫坐標(biāo)為0.( )
(2)兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同．( )
(3)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．( )
(4)向量可以平移，平移前后它的坐標(biāo)發(fā)生變化．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．做一做
(1)已知eq \(AB,\s\up16(→))＝(－2,4)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．A點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)
B．B點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)
C．當(dāng)B是原點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)
D．當(dāng)A是原點(diǎn)時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)
(2)已知eq \(AB,\s\up16(→))＝(1,3)，且點(diǎn)A(－2,5)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為( )
A．(1,8) B．(－1,8) C．(3，－2) D．(－3,2)
(3)若a＝(2,1)，b＝(1,0)，則a＋b的坐標(biāo)是( )
A．(1,1) B．(－3，－1) C．(3,1) D．(2,0)
(4)若點(diǎn)M(3,5)，點(diǎn)N(2,1)，用坐標(biāo)表示向量eq \(MN,\s\up16(→))＝________.
答案 (1)D (2)B (3)C (4)(－1，－4)
題型一平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
例1 (1)已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的始點(diǎn)是原點(diǎn)O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)以及eq \(AB,\s\up16(→))與eq \(AD,\s\up16(→))的坐標(biāo)．
[解析] (1)由平面向量基本定理，知①正確；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄靠梢云揭疲詀＝(x，y)與a的始點(diǎn)是不是原點(diǎn)無(wú)關(guān)，故③錯(cuò)誤；當(dāng)a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)時(shí)，a＝(x，y)是以a的起點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的，故④錯(cuò)誤．
(2)由題知B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點(diǎn)．
設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函數(shù)的定義，得
x1＝cs30°＝eq \f(\r(3),2)，y1＝sin30°＝eq \f(1,2)，∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).
x2＝cs120°＝－eq \f(1,2)，y2＝sin120°＝eq \f(\r(3),2)，∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
∴eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
[答案] (1)A (2)見(jiàn)解析
求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法
(1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)．
(2)在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．
(1)如圖，{e1，e2}是一個(gè)正交基底，且e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，則向量a的坐標(biāo)為( )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
(2)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，|eq \(OA,\s\up16(→))|＝4eq \r(3)，∠x(chóng)OA＝60°，
①求向量eq \(OA,\s\up16(→))的坐標(biāo)；
②若B(eq \r(3)，－1)，求eq \(BA,\s\up16(→))的坐標(biāo)．
答案 (1)A (2)見(jiàn)解析
解析 (1)由圖可知a＝e1＋3e2，又e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，則a＝(1,3)．故選A.
(2)①設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x＝4eq \r(3)cs60°＝2eq \r(3)，
y＝4eq \r(3)sin60°＝6，即A(2eq \r(3)，6)，故eq \(OA,\s\up16(→))＝(2eq \r(3)，6)．
②eq \(BA,\s\up16(→))＝(2eq \r(3)，6)－(eq \r(3)，－1)＝(eq \r(3)，7).
題型二平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示
例2 (1)已知三點(diǎn)A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，則向量eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→))＝________，
eq \(BC,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→))＝________；
(2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐標(biāo)．
[解析] (1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴eq \(AB,\s\up16(→))＝(1,5)，eq \(CA,\s\up16(→))＝(4，－1)，eq \(BC,\s\up16(→))＝(－5，－4)．
∴eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→))＝(1,5)＋(4，－1)＝(1＋4,5－1)＝(5,4)．
eq \(BC,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→))＝(－5，－4)－(1,5)＝(－5－1，－4－5)＝(－6，－9)．
(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．
[答案] (1)(5,4) (－6，－9) (2)見(jiàn)解析
平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行．
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
(3)向量加、減的坐標(biāo)運(yùn)算可完全類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行．
(1)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b的坐標(biāo)；
(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq \(CM,\s\up16(→))＝eq \(CA,\s\up16(→))，eq \(CN,\s\up16(→))＝eq \(CB,\s\up16(→))，求M，N及eq \(MN,\s\up16(→))的坐標(biāo)．
解 (1)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)，
a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)．
(2)由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
可得eq \(CA,\s\up16(→))＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，eq \(CB,\s\up16(→))＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則eq \(CM,\s\up16(→))＝(x1＋3，y1＋4)＝(1,8)，x1＝－2，y1＝4；
eq \(CN,\s\up16(→))＝(x2＋3，y2＋4)＝(6,3)，x2＝3，y2＝－1，所以M(－2,4)，N(3，－1)，
eq \(MN,\s\up16(→))＝(3，－1)－(－2,4)＝(5，－5).
題型三平面向量加、減坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用
例3 如圖所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，用向量的方法證明：DE∥BC.
[證明] 如圖，以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)|eq \(AD,\s\up16(→))|＝1，則|eq \(DC,\s\up16(→))|＝1，|eq \(AB,\s\up16(→))|＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四邊形AECD為正方形，
∴可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．
∵eq \(ED,\s\up16(→))＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，eq \(BC,\s\up16(→))＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴eq \(ED,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))，∴eq \(ED,\s\up16(→))∥eq \(BC,\s\up16(→))，即DE∥BC.
通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，可以將平面內(nèi)的任一向量用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，任一有序?qū)崝?shù)對(duì)都表示一個(gè)向量．因此向量的坐標(biāo)表示實(shí)質(zhì)上是向量的代數(shù)表示，引入向量的坐標(biāo)后，可使向量運(yùn)算代數(shù)化，將數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，從而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決．
已知平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)依次為(3，－1)，(1,2)，(m,1)，(3，n)．
求msinα＋ncsα的最大值．
解 ∵四邊形ABCD為平行四邊形，則eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))，
即(3－3，n＋1)＝(m－1,1－2)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－1＝0，,n＋1＝－1，))得m＝1，n＝－2，
得msinα＋ncsα＝sinα－2csα＝eq \r(5)sin(α＋φ)，其中tanφ＝－2，
故msinα＋ncsα的最大值為eq \r(5).
1．設(shè)平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，則a＋b＝( )
A．(1,6) B．(5,4) C．(1，－6) D．(－6,5)
答案 A
解析 a＋b＝(3,5)＋(－2,1)＝(3－2,5＋1)＝(1,6)．
2．已知向量eq \(OA,\s\up16(→))＝(1，－2)，eq \(OB,\s\up16(→))＝(－3,4)，則eq \(AB,\s\up16(→))＝( )
A．(－4,6) B．(2，－3) C．(2,3) D．(6,4)
答案 A
解析 eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→))＝(－3,4)－(1，－2)＝(－4,6)．
3．如圖，向量a，b，c的坐標(biāo)分別是________，________，________.
答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)
解析將各向量分別向基底i，j所在直線分解，則a＝－4i＋0·j，
∴a＝(－4,0)；b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
4．在平面直角坐標(biāo)系中，|a|＝2eq \r(2)，a的方向相對(duì)于x軸正方向的逆時(shí)針轉(zhuǎn)角為135°，則a的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
答案 (－2,2)
解析因?yàn)閨a|cs135°＝2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝－2，|a|·sin135°＝2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2，
所以a的坐標(biāo)為(－2,2)．
5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量a，b的位置如圖所示，已知|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分別求向量a，b的坐標(biāo)．
解設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由于∠AOx＝45°，
所以a1＝|a|cs45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，a2＝|a|sin45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2).
由已知可以求得向量b的方向相對(duì)于x軸正方向的逆時(shí)針轉(zhuǎn)角為120°，
所以b1＝|b|cs120°＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(3,2)，
b2＝|b|sin120°＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
故a＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).

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