6.2.1　向量的加法運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一　　　向量的加法(1)向量加法的定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．(2)向量加法的運(yùn)算法則 知識(shí)點(diǎn)二　　向量的三角形不等式對(duì)任意兩個(gè)向量a，b，均有|a＋b|≤|a|＋|b|.當(dāng)a，b同向時(shí)有|a＋b|＝|a|＋|b|；當(dāng)a，b反向時(shí)有|a＋b|＝||a|－|b||.知識(shí)點(diǎn)三　　　向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．準(zhǔn)確理解向量加法的三角形法則和平行四邊形法則(1)兩個(gè)法則的使用條件不同三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個(gè)不共線的向量求和．(2)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，兩個(gè)法則是一致的．如圖所示：＝＋(平行四邊形法則)，又因?yàn)?/span>＝，所以＝＋(三角形法則)．(3)在使用三角形法則時(shí)，應(yīng)注意“首尾連接”，這個(gè)方法可推廣到多個(gè)向量相加的情形；在使用平行四邊形法則時(shí)，應(yīng)注意范圍的限制及和向量與兩向量起點(diǎn)相同．2．向量a＋b與非零向量a，b的模及方向的關(guān)系(1)當(dāng)a與b不共線時(shí)，a＋b的方向與a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|.(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)當(dāng)a與b反向時(shí)，若|a|≥|b|，則a＋b的方向與a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a|＜|b|，則a＋b的方向與b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)向量相加結(jié)果可能是一個(gè)數(shù)量．(　　)(2)兩個(gè)向量相加實(shí)際上就是兩個(gè)向量的模相加．(　　)(3)任意兩個(gè)向量的和向量不可能與這兩個(gè)向量共線．(　　)   2．做一做(1)對(duì)任意四邊形ABCD，下列式子中不等于的是(　　)A.＋      B.＋＋       C.＋＋    D.＋＋(2)如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，若AB＝1，則|＋＋|等于(　　)A．1         B．2       C.        D.(3)如圖所示，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b＋c.     題型一  向量的三角形和平行四邊形法則例1　如下圖中(1)，(2)所示，試作出向量a與b的和．   (1)應(yīng)用三角形法則求向量和的基本步驟①平移向量使之“首尾相接”，即第一個(gè)向量的終點(diǎn)與第二個(gè)向量的起點(diǎn)重合．②以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，并以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，即為兩個(gè)向量的和．(2)應(yīng)用平行四邊形法則求向量和的基本步驟①平移兩個(gè)不共線的向量使之共起點(diǎn)．②以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形．③平行四邊形中，與兩向量共起點(diǎn)的對(duì)角線表示的向量為兩個(gè)向量的和．(1)如圖，已知a，b，求作a＋b；(2)如圖所示，已知向量a，b，c，試作出向量a＋b＋c. 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　題型二  向量的加法運(yùn)算例2　如圖，在△ABC中，O為重心，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列三式：(1)＋＋；   (2)＋＋；   (3)＋＋.  　解決向量加法運(yùn)算時(shí)應(yīng)關(guān)注的兩點(diǎn)(1)可以利用向量的幾何表示，畫出圖形進(jìn)行化簡(jiǎn)或計(jì)算．(2)要靈活應(yīng)用向量加法運(yùn)算律，注意各向量的起、終點(diǎn)及向量起、終點(diǎn)字母的排列順序，特別注意勿將0寫成0.化簡(jiǎn)或計(jì)算：(1)＋＋；               (2)＋＋＋＋.  題型三  利用向量加法證明幾何問題例3　已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且＝，＝.求證：四邊形ABCD是平行四邊形．   　怎樣用向量方法證明幾何問題用向量方法證明幾何問題，首先要把幾何問題中的邊轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的向量，通過向量的運(yùn)算及其幾何意義得到向量間的關(guān)系，然后再還原成幾何問題．如圖所示，在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD的反向延長(zhǎng)線及延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使BE＝DF，求證：四邊形AECF是平行四邊形．   題型四  向量加法的實(shí)際應(yīng)用例4　在水流速度為向東10 km/h的河中，如果要使船實(shí)際航行的速度的大小為10 km/h，方向垂直于對(duì)岸渡河，求船行駛速度的大小與方向．    　應(yīng)用向量解決平面幾何和物理學(xué)問題的基本步驟在某地抗震救災(zāi)中，一救護(hù)車從A地按北偏東35°的方向行駛800 km到達(dá)B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向行駛800 km送往C地醫(yī)院，求這輛救護(hù)車行駛的路程及兩次位移的和．  1．下列等式錯(cuò)誤的是(　　)A．a＋0＝0＋a＝a          B.＋＋＝0C.＋＝0              D.＋＝＋＋2．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且＋＝＋，則(　　)A.＋＋＝0     B.＋＝0   C.＋＝0     D.＋＝03．若a等于“向東走8 km”，b等于“向北走8 km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|A|＝1，則|＋|＝________.5．如圖，在正六邊形OABCDE中，＝a，＝b，試用向量a，b將，，表示出來(lái)．        6.2.2　向量的減法運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一　　　相反向量知識(shí)點(diǎn)二　　　向量的減法1．向量減法的運(yùn)算法則(1)向量的減法運(yùn)算與向量的加法運(yùn)算是互逆運(yùn)算，可以靈活轉(zhuǎn)化，減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量．(2)兩個(gè)向量的差也可用平行四邊形法則及三角形法則求得：用平行四邊形法則時(shí)，如圖，兩個(gè)向量也是共起點(diǎn)，和向量是起點(diǎn)與它們的起點(diǎn)重合的那條對(duì)角線()，而差向量是另一條對(duì)角線()，方向是從減向量指向被減向量；用三角形法則時(shí)，把減向量與被減向量的起點(diǎn)相重合，則差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)．2．非零向量a，b的差向量的三角不等式(1)當(dāng)a，b不共線時(shí)，如圖①，作＝a，＝b，則a－b＝－＝.(2)當(dāng)a，b共線且同向時(shí)，若|a|>|b|，則a－b與a，b同向(如圖②)，于是|a－b|＝|a|－|b|.若|a|<|b|，則a－b與a，b反向(如圖③)，于是|a－b|＝|b|－|a|.(3)當(dāng)a，b共線且反向時(shí)，a－b與a同向，與b反向．于是|a－b|＝|a|＋|b|(如圖④)．可見，對(duì)任意兩個(gè)向量，總有向量不等式成立：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量．(　　)(2)向量的減法實(shí)質(zhì)上是向量的加法的逆運(yùn)算．(　　)(3)向量a與向量b的差與向量b與向量a的差互為相反向量．(　　)(4)相反向量是共線向量．(　　)2．做一做(1)非零向量m與n是相反向量，下列不正確的是(　　)A．m＝n       B．m＝－n      C．|m|＝|n|        D．方向相反(2)－＋＝________.(3)四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，則|－|＝________. 題型一  向量的減法運(yùn)算例1　化簡(jiǎn)：(1)(－)－(－)；      (2)(＋＋)－(－－)．     (1)向量減法運(yùn)算的常用方法(2)向量加減法化簡(jiǎn)的兩種形式①首尾相連且為和；②起點(diǎn)相同且為差．做題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式，同時(shí)要注意逆向應(yīng)用．化簡(jiǎn)下列各式：(1)－－；      (2)＋－；       (3)－－.   題型二  向量減法的幾何意義例2　如圖，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是平行四邊形，且＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示向量，，，及.     [結(jié)論探究]　若例2條件不變，試用a，b，c表示向量.     　求作兩個(gè)向量的差向量的兩種思路(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來(lái)進(jìn)行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點(diǎn)重合，則差向量為連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)的向量．已知一點(diǎn)O到平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的向量分別是a，b，c，則向量等于(　　)A．a＋b＋c       B．a－b＋c      C．a＋b－c        D．a－b－c     題型三  向量加法、減法的綜合應(yīng)用例3　如圖，O為△ABC的外心，H為垂心．求證：＝＋＋.     　用幾個(gè)基本向量表示其他向量的一般步驟(1)觀察待表示的向量位置；(2)尋找相應(yīng)的平行四邊形或三角形；(3)運(yùn)用法則找關(guān)系，化簡(jiǎn)得結(jié)果．如圖，已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，AC，AB的中點(diǎn)．求證：＋＋＝0.         1．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是(　　)A.－＝      B.－＝    C.－＝      D.－＝2．如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則－等于(　　)A.         B.         C.          D.3．若O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是(　　)A.＝＋   B.＝－C.＝－＋   D.＝－－4．若a，b為相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝________，|a－b|＝________.5．已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示. 

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